動機
本章需要直角坐標、弧度、基本三角恆等式和代數。我們在此前坐標章節的基礎上增加兩個新結構：點的極坐標描述與複數運算。你應能按正確象限轉換坐標、解釋簡單極坐標軌跡、以直角和極形式計算複數，並求簡單複數冪方程的全部根。
點、向量和複數都可用一對實數表示，但解釋並不相同。極坐標以距離與方向描述同一平面；複數運算增加了編碼縮放和旋轉的乘法。
8.1 極坐標及其非唯一性
定義
固定原點和正水平軸。一對極坐標 ( r , θ ) (r,\theta) ( r , θ )
x = r cos θ , y = r sin θ . x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta. x = r cos θ , y = r sin θ . 默認約定 r ≥ 0 r\ge0 r ≥ 0 r > 0 r>0 r > 0 r r r θ \theta θ k k k ( r , θ + 2 k π ) (r,\theta+2k\pi) ( r , θ + 2 kπ ) r = 0 r=0 r = 0
有些教材允許帶符號的半徑。在該約定下，
( r , θ ) and ( − r , θ + π ) (r,\theta)\quad\text{and}\quad(-r,\theta+\pi) ( r , θ ) and ( − r , θ + π ) 描述同一點。負半徑表示沿所示角的相反方向移動，不是負距離。允許帶符號半徑時我們會明確說明；否則使用 r ≥ 0 r\ge0 r ≥ 0
例題
例 1：極坐標轉直角坐標。 當 ( r , θ ) = ( 4 , 5 π / 6 ) (r,\theta)=(4,5\pi/6) ( r , θ ) = ( 4 , 5 π /6 )
x = 4 ( − 3 / 2 ) = − 2 3 , y = 4 ( 1 / 2 ) = 2. x=4(-\sqrt3/2)=-2\sqrt3,\qquad y=4(1/2)=2. x = 4 ( − 3 /2 ) = − 2 3 , y = 4 ( 1/2 ) = 2. 該點在第二象限，距離平方為 12 + 4 = 16 12+4=16 12 + 4 = 16 ( − 4 , − π / 6 ) (-4,-\pi/6) ( − 4 , − π /6 )
8.2 求角度時不要丟失象限
給定非零點 ( x , y ) (x,y) ( x , y )
r = x 2 + y 2 > 0. r=\sqrt{x^2+y^2}>0. r = x 2 + y 2 > 0. 角必須同時滿足 cos θ = x / r \cos\theta=x/r cos θ = x / r sin θ = y / r \sin\theta=y/r sin θ = y / r x ≠ 0 x\ne0 x = 0 tan θ = y / x \tan\theta=y/x tan θ = y / x π \pi π ( − π , π ] (-\pi,\pi] ( − π , π ] π \pi π − π -\pi − π
用 x , y x,y x , y 2 π 2\pi 2 π x = 0 x=0 x = 0 y > 0 y>0 y > 0 θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ = π /2 x = 0 x=0 x = 0 y < 0 y<0 y < 0 θ = − π / 2 \theta=-\pi/2 θ = − π /2
例題
例 2：象限陷阱。 對 ( x , y ) = ( − 3 , − 1 ) (x,y)=(-\sqrt3,-1) ( x , y ) = ( − 3 , − 1 ) r = 2 r=2 r = 2 y / x = 1 / 3 y/x=1/\sqrt3 y / x = 1/ 3 π / 6 \pi/6 π /6 − 5 π / 6 -5\pi/6 − 5 π /6 π / 6 \pi/6 π /6 ( 2 , − 5 π / 6 ) (2,-5\pi/6) ( 2 , − 5 π /6 ) arctan ( y / x ) \arctan(y/x) arctan ( y / x )
對一般非零點，若沒有熟悉的特殊角，可用其正弦和餘弦精確給出角度。雙參數求角函數可以編碼象限，但仍需檢查其輸出區間和對 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
8.3 軌跡與坐標系統轉換
恆等式
r 2 = x 2 + y 2 , r cos θ = x , r sin θ = y r^2=x^2+y^2,\qquad r\cos\theta=x,\qquad r\sin\theta=y r 2 = x 2 + y 2 , r cos θ = x , r sin θ = y 聯繫兩個系統，尤其適用於曲線方程。轉換方程要保持點集，包括可能的原點。除以 r r r r r r
對 R > 0 R>0 R > 0 r = R r=R r = R x 2 + y 2 = R 2 x^2+y^2=R^2 x 2 + y 2 = R 2 r ≥ 0 r\ge0 r ≥ 0 θ = α \theta=\alpha θ = α θ = α \theta=\alpha θ = α θ = α + π \theta=\alpha+\pi θ = α + π
例題
例 3：變半徑描述的圓。 考慮 r = 4 cos θ r=4\cos\theta r = 4 cos θ r ≥ 0 r\ge0 r ≥ 0 r r r
r 2 = 4 r cos θ ⟹ x 2 + y 2 = 4 x , r^2=4r\cos\theta\quad\implies\quad x^2+y^2=4x, r 2 = 4 r cos θ ⟹ x 2 + y 2 = 4 x , 即 ( x − 2 ) 2 + y 2 = 4 (x-2)^2+y^2=4 ( x − 2 ) 2 + y 2 = 4 ( 2 , 0 ) (2,0) ( 2 , 0 ) r > 0 r>0 r > 0 r r r r = 4 cos θ r=4\cos\theta r = 4 cos θ θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ = π /2 r = 0 r=0 r = 0 cos θ < 0 \cos\theta<0 cos θ < 0
例題
例 4：直線與不可隨意除法。 直線 x = − 2 x=-2 x = − 2 r cos θ = − 2 r\cos\theta=-2 r cos θ = − 2 r r r r = − 2 / cos θ r=-2/\cos\theta r = − 2/ cos θ cos θ ≠ 0 \cos\theta\ne0 cos θ = 0 cos θ < 0 \cos\theta<0 cos θ < 0 r = 0 r=0 r = 0 θ \theta θ
常見錯誤
圖像是輔助工具，不能代替定義域檢查。轉換不等式時，用來相乘的因子的符號也很重要，與一元代數一樣。
8.4 直角形式的複數運算
定義
複數 形如 z = a + b i z=a+bi z = a + bi a , b ∈ R a,b\in\mathbb R a , b ∈ R i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 Re z = a \operatorname{Re}z=a Re z = a Im z = b \operatorname{Im}z=b Im z = b b b b b i bi bi
可以嚴格地將複數定義為數對：( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) ( a , b ) ( c , d ) = ( a c − b d , a d + b c ) (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc) ( a , b ) ( c , d ) = ( a c − b d , a d + b c ) ( a , 0 ) (a,0) ( a , 0 ) a a a ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) i i i i 2 i^2 i 2 − 1 -1 − 1
( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i . (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. ( a + bi ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i . 證明細節：複數乘法背後的代數
第 8.4 節的數對定義只使用實數運算。以下核對後續證明所需的規則，不預先假設複數分配律。寫 z = ( a , b ) z=(a,b) z = ( a , b ) w = ( c , d ) w=(c,d) w = ( c , d ) u = ( e , f ) u=(e,f) u = ( e , f ) ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( a , b ) (a,b) ( a , b ) ( − a , − b ) (-a,-b) ( − a , − b ) a c = c a ac=ca a c = c a a d + b c = c b + d a ad+bc=cb+da a d + b c = c b + d a ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 )
對分配律，展開數對定義：
z ( w + u ) = ( a ( c + e ) − b ( d + f ) , a ( d + f ) + b ( c + e ) ) = z w + z u . z(w+u)=(a(c+e)-b(d+f),\ a(d+f)+b(c+e))=zw+zu. z ( w + u ) = ( a ( c + e ) − b ( d + f ) , a ( d + f ) + b ( c + e )) = z w + z u . 對結合律，只用實數分配律展開，( z w ) u (zw)u ( z w ) u z ( w u ) z(wu) z ( w u )
( a c e − b d e − a d f − b c f , a c f − b d f + a d e + b c e ) . (ace-bde-adf-bcf,\ acf-bdf+ade+bce). ( a ce − b d e − a df − b c f , a c f − b df + a d e + b ce ) . 因此後續複數計算中的重新組合和分配分解都有依據。特別地，i = ( 0 , 1 ) i=(0,1) i = ( 0 , 1 ) ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) a ↦ ( a , 0 ) a\mapsto(a,0) a ↦ ( a , 0 )
對 w = ( c , d ) ≠ ( 0 , 0 ) w=(c,d)\ne(0,0) w = ( c , d ) = ( 0 , 0 ) q = c 2 + d 2 q=c^2+d^2 q = c 2 + d 2
( c , d ) ( c q , − d q ) = ( c 2 + d 2 q , − c d + d c q ) = ( 1 , 0 ) . (c,d)\left(\frac c q,-\frac d q\right)
=\left(\frac{c^2+d^2}{q},\frac{-cd+dc}{q}\right)=(1,0). ( c , d ) ( q c , − q d ) = ( q c 2 + d 2 , q − c d + d c ) = ( 1 , 0 ) . 由交換律，另一順序的乘積也為一。這先證明了逆元；再定義除法 z / w = z w − 1 z/w=zw^{-1} z / w = z w − 1 z w = 0 zw=0 z w = 0 z ≠ 0 z\ne0 z = 0 w = ( z − 1 z ) w = z − 1 ( z w ) = 0 w=(z^{-1}z)w=z^{-1}(zw)=0 w = ( z − 1 z ) w = z − 1 ( z w ) = 0
對 z = a + b i z=a+bi z = a + bi w = c + d i w=c+di w = c + d i
z w ‾ = ( a c − b d ) − ( a d + b c ) i = ( a − b i ) ( c − d i ) = z ˉ w ˉ , z + w ‾ = ( a + c ) − ( b + d ) i = z ˉ + w ˉ . \overline{zw}=(ac-bd)-(ad+bc)i=(a-bi)(c-di)=\bar z\bar w,
\qquad
\overline{z+w}=(a+c)-(b+d)i=\bar z+\bar w. z w = ( a c − b d ) − ( a d + b c ) i = ( a − bi ) ( c − d i ) = z ˉ w ˉ , z + w = ( a + c ) − ( b + d ) i = z ˉ + w ˉ . 最後，對兩個三角數對應用該公式，得到
( cos α + i sin α ) ( cos β + i sin β ) = ( cos α cos β − sin α sin β ) + i ( cos α sin β + sin α cos β ) = cos ( α + β ) + i sin ( α + β ) . \begin{aligned}
(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)
&=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\
&\quad+i(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)\\
&=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta).
\end{aligned} ( cos α + i sin α ) ( cos β + i sin β ) = ( cos α cos β − sin α sin β ) + i ( cos α sin β + sin α cos β ) = cos ( α + β ) + i sin ( α + β ) . 最後一個等號使用實數兩角和公式。它給出第 8.6 節所用的乘法規則，不需要定義複指數，也不需要對複數排序。
複數包含實數，但不存在與通常有序域規則相容的全體複數排序。這樣的排序會使每個非零平方為正，包括 i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 z z z z > 0 z>0 z > 0
例題
例 5：乘法與求解。 首先，
( 2 − 3 i ) ( 1 + 4 i ) = 2 + 8 i − 3 i − 12 i 2 = 14 + 5 i . (2-3i)(1+4i)=2+8i-3i-12i^2=14+5i. ( 2 − 3 i ) ( 1 + 4 i ) = 2 + 8 i − 3 i − 12 i 2 = 14 + 5 i . 其次，z 2 + 2 z + 5 = 0 z^2+2z+5=0 z 2 + 2 z + 5 = 0 ( z + 1 ) 2 = − 4 (z+1)^2=-4 ( z + 1 ) 2 = − 4 z = − 1 + 2 i z=-1+2i z = − 1 + 2 i z = − 1 − 2 i z=-1-2i z = − 1 − 2 i
( z + 1 ) 2 + 4 = ( z + 1 − 2 i ) ( z + 1 + 2 i ) (z+1)^2+4=(z+1-2i)(z+1+2i) ( z + 1 ) 2 + 4 = ( z + 1 − 2 i ) ( z + 1 + 2 i ) 且 C \mathbb C C
8.5 共軛、模與除法
z = a + b i z=a+bi z = a + bi 共軛 為 z ˉ = a − b i \bar z=a-bi z ˉ = a − bi 模 為非負實數
∣ z ∣ = a 2 + b 2 . |z|=\sqrt{a^2+b^2}. ∣ z ∣ = a 2 + b 2 . 直接計算得 z z ˉ = a 2 + b 2 = ∣ z ∣ 2 z\bar z=a^2+b^2=|z|^2 z z ˉ = a 2 + b 2 = ∣ z ∣ 2 ∣ z ∣ = 0 |z|=0 ∣ z ∣ = 0 z = 0 z=0 z = 0 z + z ˉ = 2 Re z z+\bar z=2\operatorname{Re}z z + z ˉ = 2 Re z z − z ˉ = 2 i Im z z-\bar z=2i\operatorname{Im}z z − z ˉ = 2 i Im z
若 w = c + d i ≠ 0 w=c+di\ne0 w = c + d i = 0 c 2 + d 2 > 0 c^2+d^2>0 c 2 + d 2 > 0
z w = z w ˉ w w ˉ = ( a c + b d ) + ( b c − a d ) i c 2 + d 2 . \frac zw=\frac{z\bar w}{w\bar w}
=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}. w z = w w ˉ z w ˉ = c 2 + d 2 ( a c + b d ) + ( b c − a d ) i . 特別地 w − 1 = w ˉ / ∣ w ∣ 2 w^{-1}=\bar w/|w|^2 w − 1 = w ˉ /∣ w ∣ 2 w w w
例題
例 6：複數商。 計算
3 + 2 i 1 − i = ( 3 + 2 i ) ( 1 + i ) 2 = 1 + 5 i 2 . \frac{3+2i}{1-i}
=\frac{(3+2i)(1+i)}2
=\frac{1+5i}{2}. 1 − i 3 + 2 i = 2 ( 3 + 2 i ) ( 1 + i ) = 2 1 + 5 i . 乘以 1 − i 1-i 1 − i 3 + 2 i 3+2i 3 + 2 i
命題
展開還證明 z w ‾ = z ˉ w ˉ \overline{zw}=\bar z\bar w z w = z ˉ w ˉ z + w ‾ = z ˉ + w ˉ \overline{z+w}=\bar z+\bar w z + w = z ˉ + w ˉ
∣ z w ∣ 2 = z w z w ‾ = ( z z ˉ ) ( w w ˉ ) = ∣ z ∣ 2 ∣ w ∣ 2 . |zw|^2=zw\overline{zw}=(z\bar z)(w\bar w)=|z|^2|w|^2. ∣ z w ∣ 2 = z w z w = ( z z ˉ ) ( w w ˉ ) = ∣ z ∣ 2 ∣ w ∣ 2 . 取非負平方根得 ∣ z w ∣ = ∣ z ∣ ∣ w ∣ |zw|=|z||w| ∣ z w ∣ = ∣ z ∣∣ w ∣ w ≠ 0 w\ne0 w = 0 ∣ z / w ∣ = ∣ z ∣ / ∣ w ∣ |z/w|=|z|/|w| ∣ z / w ∣ = ∣ z ∣/∣ w ∣
證明
對 z = a + b i z=a+bi z = a + bi w = c + d i w=c+di w = c + d i a c + b d ≤ ∣ z ∣ ∣ w ∣ ac+bd\le|z||w| a c + b d ≤ ∣ z ∣∣ w ∣
∣ z + w ∣ 2 = ∣ z ∣ 2 + ∣ w ∣ 2 + 2 ( a c + b d ) ≤ ( ∣ z ∣ + ∣ w ∣ ) 2 , |z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2(ac+bd)\le(|z|+|w|)^2, ∣ z + w ∣ 2 = ∣ z ∣ 2 + ∣ w ∣ 2 + 2 ( a c + b d ) ≤ ( ∣ z ∣ + ∣ w ∣ ) 2 , 取平方根得到複數三角不等式 ∣ z + w ∣ ≤ ∣ z ∣ + ∣ w ∣ |z+w|\le|z|+|w| ∣ z + w ∣ ≤ ∣ z ∣ + ∣ w ∣
8.6 複數極形式與乘法
將 z = a + b i z=a+bi z = a + bi ( a , b ) (a,b) ( a , b ) z ≠ 0 z\ne0 z = 0 r = ∣ z ∣ > 0 r=|z|>0 r = ∣ z ∣ > 0 θ \theta θ cos θ = a / r \cos\theta=a/r cos θ = a / r sin θ = b / r \sin\theta=b/r sin θ = b / r
z = r ( cos θ + i sin θ ) = r cis θ , z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\,\operatorname{cis}\theta, z = r ( cos θ + i sin θ ) = r cis θ , 其中 cis θ \operatorname{cis}\theta cis θ cos θ + i sin θ \cos\theta+i\sin\theta cos θ + i sin θ 2 π 2\pi 2 π 主輻角 在此記為 Arg z \operatorname{Arg}z Arg z ( − π , π ] (-\pi,\pi] ( − π , π ]
由分配律和兩角和公式，
cis α cis β = cis ( α + β ) . \operatorname{cis}\alpha\,\operatorname{cis}\beta
=\operatorname{cis}(\alpha+\beta). cis α cis β = cis ( α + β ) . 因此，對正半徑 r , s r,s r , s
( r cis α ) ( s cis β ) = r s cis ( α + β ) , (r\operatorname{cis}\alpha)(s\operatorname{cis}\beta)
=rs\operatorname{cis}(\alpha+\beta), ( r cis α ) ( s cis β ) = rs cis ( α + β ) , 除以第二個非零數則給出半徑 r / s r/s r / s α − β \alpha-\beta α − β 2 π 2\pi 2 π
例題
例 7：作為變換的乘法。 乘以 1 + i = 2 cis ( π / 4 ) 1+i=\sqrt2\operatorname{cis}(\pi/4) 1 + i = 2 cis ( π /4 ) 2 \sqrt2 2 π / 4 \pi/4 π /4 z = 2 − i z=2-i z = 2 − i
( 1 + i ) ( 2 − i ) = 3 + i . (1+i)(2-i)=3+i. ( 1 + i ) ( 2 − i ) = 3 + i . 原模為 5 \sqrt5 5 10 \sqrt{10} 10
對非負整數 n n n De Moivre（棣莫弗）公式
( cis θ ) n = cis ( n θ ) . (\operatorname{cis}\theta)^n=\operatorname{cis}(n\theta). ( cis θ ) n = cis ( n θ ) . 基礎情形 n = 0 n=0 n = 0 cis θ \operatorname{cis}\theta cis θ cis ( − θ ) \operatorname{cis}(-\theta) cis ( − θ ) z = r cis θ z=r\operatorname{cis}\theta z = r cis θ n n n
z n = r n cis ( n θ ) . z^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta). z n = r n cis ( n θ ) . 對 z = 0 z=0 z = 0
例題
例 8：不作長展開的冪。 因為 1 + i = 2 cis ( π / 4 ) 1+i=\sqrt2\operatorname{cis}(\pi/4) 1 + i = 2 cis ( π /4 )
( 1 + i ) 6 = ( 2 ) 6 cis ( 3 π / 2 ) = − 8 i . (1+i)^6=(\sqrt2)^6\operatorname{cis}(3\pi/2)=-8i. ( 1 + i ) 6 = ( 2 ) 6 cis ( 3 π /2 ) = − 8 i . 角為 6 π / 4 = 3 π / 2 6\pi/4=3\pi/2 6 π /4 = 3 π /2 3 π 3\pi 3 π ( 1 + i ) 2 = 2 i (1+i)^2=2i ( 1 + i ) 2 = 2 i ( 2 i ) 3 = − 8 i (2i)^3=-8i ( 2 i ) 3 = − 8 i
在完備有序實數域中，對 b > 0 b>0 b > 0 m ≥ 1 m\ge1 m ≥ 1 S = { t ≥ 0 : t m ≤ b } S=\{t\ge0:t^m\le b\} S = { t ≥ 0 : t m ≤ b } min { 1 , b } > 0 \min\{1,b\}>0 min { 1 , b } > 0 max { 1 , b } \max\{1,b\} max { 1 , b } r = sup S > 0 r=\sup S>0 r = sup S > 0 t , r ≤ M t,r\le M t , r ≤ M
t m − r m = ( t − r ) ∑ j = 0 m − 1 t m − 1 − j r j , ∣ t m − r m ∣ ≤ m M m − 1 ∣ t − r ∣ . t^m-r^m=(t-r)\sum_{j=0}^{m-1}t^{m-1-j}r^j,\qquad |t^m-r^m|\le mM^{m-1}|t-r|. t m − r m = ( t − r ) j = 0 ∑ m − 1 t m − 1 − j r j , ∣ t m − r m ∣ ≤ m M m − 1 ∣ t − r ∣. 取 M = r + 1 M=r+1 M = r + 1 r m < b r^m<b r m < b 0 < h < 1 0<h<1 0 < h < 1 m M m − 1 h < b − r m mM^{m-1}h<b-r^m m M m − 1 h < b − r m ( r + h ) m < b (r+h)^m<b ( r + h ) m < b r r r r m > b r^m>b r m > b 0 < h < min { 1 , r } 0<h<\min\{1,r\} 0 < h < min { 1 , r } m M m − 1 h < r m − b mM^{m-1}h<r^m-b m M m − 1 h < r m − b ( r − h ) m > b (r-h)^m>b ( r − h ) m > b r − h r-h r − h S S S r m = b r^m=b r m = b b = 0 b=0 b = 0 t > s ≥ 0 t>s\ge0 t > s ≥ 0 t m > s m t^m>s^m t m > s m
8.7 求複數冪的全部根
命題
設 n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 w = R cis ϕ ≠ 0 w=R\operatorname{cis}\phi\ne0 w = R cis ϕ = 0 R > 0 R>0 R > 0 z n = w z^n=w z n = w z = r cis θ z=r\operatorname{cis}\theta z = r cis θ
r n = R , n θ = ϕ + 2 k π ( k ∈ Z ) . r^n=R,\qquad n\theta=\phi+2k\pi\quad(k\in\mathbb Z). r n = R , n θ = ϕ + 2 kπ ( k ∈ Z ) . 因為 r > 0 r>0 r > 0 R 1 / n R^{1/n} R 1/ n
z k = R 1 / n cis ( ϕ + 2 k π n ) , k = 0 , 1 , … , n − 1. z_k=R^{1/n}\operatorname{cis}\left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right),
\qquad k=0,1,\ldots,n-1. z k = R 1/ n cis ( n ϕ + 2 kπ ) , k = 0 , 1 , … , n − 1. 它們互不相同：兩個所列角相差 2 π ( k − j ) / n 2\pi(k-j)/n 2 π ( k − j ) / n k = j k=j k = j 2 π 2\pi 2 π k k k n n n ϕ \phi ϕ w = 0 w=0 w = 0 n n n
例題
例 9：負實數的立方根。 寫 − 8 = 8 cis π -8=8\operatorname{cis}\pi − 8 = 8 cis π π / 3 \pi/3 π /3 π \pi π 5 π / 3 5\pi/3 5 π /3
1 + i 3 , − 2 , 1 − i 3 . 1+i\sqrt3,\qquad -2,\qquad 1-i\sqrt3. 1 + i 3 , − 2 , 1 − i 3 . 任一根取立方時角乘三、半徑取立方，得到 − 8 -8 − 8 ( 1 + i 3 ) 2 = − 2 + 2 i 3 (1+i\sqrt3)^2=-2+2i\sqrt3 ( 1 + i 3 ) 2 = − 2 + 2 i 3 − 8 -8 − 8 − 2 -2 − 2
8.8 複數記號中的幾何方程
由於 ∣ z − z 0 ∣ |z-z_0| ∣ z − z 0 ∣ z z z z 0 z_0 z 0 ∣ z − z 0 ∣ = R |z-z_0|=R ∣ z − z 0 ∣ = R R > 0 R>0 R > 0 R = 0 R=0 R = 0 z 0 z_0 z 0 R < 0 R<0 R < 0
例題
例 10：等距軌跡。 對 z = x + i y z=x+iy z = x + i y
∣ z − 1 ∣ = ∣ z + 1 ∣ |z-1|=|z+1| ∣ z − 1∣ = ∣ z + 1∣ 比較到 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 )
( x − 1 ) 2 + y 2 = ( x + 1 ) 2 + y 2 ⟺ − 4 x = 0. (x-1)^2+y^2=(x+1)^2+y^2\iff -4x=0. ( x − 1 ) 2 + y 2 = ( x + 1 ) 2 + y 2 ⟺ − 4 x = 0. 因此軌跡是虛軸 x = 0 x=0 x = 0
8.9 分級練習
基礎
思考檢查
練習 1
將 ( r , θ ) = ( 6 , 2 π / 3 ) (r,\theta)=(6,2\pi/3) ( r , θ ) = ( 6 , 2 π /3 )
思考檢查
練習 2
使用 r ≥ 0 r\ge0 r ≥ 0 − π < θ ≤ π -\pi<\theta\le\pi − π < θ ≤ π ( x , y ) = ( 1 , − 3 ) (x,y)=(1,-\sqrt3) ( x , y ) = ( 1 , − 3 )
思考檢查
練習 3
給出原點的兩個極坐標描述，解釋為甚麼它們都不是原點的唯一方向。
思考檢查
練習 4
計算 ( 3 − 2 i ) + ( 1 + 5 i ) (3-2i)+(1+5i) ( 3 − 2 i ) + ( 1 + 5 i ) ( 3 − 2 i ) ( 1 + 5 i ) (3-2i)(1+5i) ( 3 − 2 i ) ( 1 + 5 i ) i 2026 i^{2026} i 2026
思考檢查
練習 5
對 z = − 3 + 4 i z=-3+4i z = − 3 + 4 i z ˉ \bar z z ˉ ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣ z z ˉ z\bar z z z ˉ Re z \operatorname{Re}z Re z Im z \operatorname{Im}z Im z
核心
思考檢查
練習 6
將 r = 2 sin θ r=2\sin\theta r = 2 sin θ r ≥ 0 r\ge0 r ≥ 0
思考檢查
練習 7
θ = π / 3 \theta=\pi/3 θ = π /3 r ≥ 0 r\ge0 r ≥ 0 思考檢查
練習 8
計算 ( 2 − i ) / ( 1 + 2 i ) (2-i)/(1+2i) ( 2 − i ) / ( 1 + 2 i )
思考檢查
練習 9
在 C \mathbb C C z 2 − 4 z + 13 = 0 z^2-4z+13=0 z 2 − 4 z + 13 = 0
思考檢查
練習 10
寫 z = x + i y z=x+iy z = x + i y z + 2 z ˉ = 3 + 4 i z+2\bar z=3+4i z + 2 z ˉ = 3 + 4 i
思考檢查
練習 11
求 ( cis ( 3 π / 4 ) ) 2 (\operatorname{cis}(3\pi/4))^2 ( cis ( 3 π /4 ) ) 2
思考檢查
練習 12
將 ( 3 + i ) 4 (\sqrt3+i)^4 ( 3 + i ) 4
思考檢查
練習 13
求 − 16 -16 − 16
思考檢查
練習 14
求 ∣ z − ( 1 + i ) ∣ = 2 |z-(1+i)|=2 ∣ z − ( 1 + i ) ∣ = 2
思考檢查
練習 15
將 ( 1 + i ) / ( 3 − i ) (1+i)/(\sqrt3-i) ( 1 + i ) / ( 3 − i )
綜合
思考檢查
練習 16
證明 Re z = ( z + z ˉ ) / 2 \operatorname{Re}z=(z+\bar z)/2 Re z = ( z + z ˉ ) /2 Im z = ( z − z ˉ ) / ( 2 i ) \operatorname{Im}z=(z-\bar z)/(2i) Im z = ( z − z ˉ ) / ( 2 i )
思考檢查
練習 17
令 ω = cis ( 2 π / 3 ) \omega=\operatorname{cis}(2\pi/3) ω = cis ( 2 π /3 ) 1 + ω + ω 2 = 0 1+\omega+\omega^2=0 1 + ω + ω 2 = 0 z 3 = 1 z^3=1 z 3 = 1
思考檢查
練習 18
變換將 z z z ( 1 − i ) z + 2 (1-i)z+2 ( 1 − i ) z + 2 i i i
思考檢查
練習 19
用三角不等式證明對複數 z , w z,w z , w ∣ z + w ∣ ≥ ∣ ∣ z ∣ − ∣ w ∣ ∣ |z+w|\ge\big||z|-|w|\big| ∣ z + w ∣ ≥ ∣ z ∣ − ∣ w ∣ ∣ z ∣ = 5 |z|=5 ∣ z ∣ = 5 ∣ w ∣ = 2 |w|=2 ∣ w ∣ = 2
思考檢查
練習 20
學生在 r 2 = 3 r cos θ r^2=3r\cos\theta r 2 = 3 r cos θ r r r r = 0 r=0 r = 0
8.10 完整解答
解答 · 練習 1
點為 ( 6 ( − 1 / 2 ) , 6 ( 3 / 2 ) ) = ( − 3 , 3 3 ) (6(-1/2),6(\sqrt3/2))=(-3,3\sqrt3) ( 6 ( − 1/2 ) , 6 ( 3 /2 )) = ( − 3 , 3 3 ) 9 + 27 = 36 9+27=36 9 + 27 = 36
解答 · 練習 2
半徑為二。點位於第四象限，餘弦為 1 / 2 1/2 1/2 − 3 / 2 -\sqrt3/2 − 3 /2 − π / 3 -\pi/3 − π /3 ( 2 , − π / 3 ) (2,-\pi/3) ( 2 , − π /3 )
解答 · 練習 3
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 0 , π / 2 ) (0,\pi/2) ( 0 , π /2 ) ( x , y ) = ( 0 , 0 ) (x,y)=(0,0) ( x , y ) = ( 0 , 0 ) 解答 · 練習 4
和為 4 + 3 i 4+3i 4 + 3 i 3 + 15 i − 2 i − 10 i 2 = 13 + 13 i 3+15i-2i-10i^2=13+13i 3 + 15 i − 2 i − 10 i 2 = 13 + 13 i i i i 2026 = 4 ( 506 ) + 2 2026=4(506)+2 2026 = 4 ( 506 ) + 2 i 2026 = i 2 = − 1 i^{2026}=i^2=-1 i 2026 = i 2 = − 1
解答 · 練習 5
共軛為 − 3 − 4 i -3-4i − 3 − 4 i 25 25 25 − 3 -3 − 3 4 4 4
解答 · 練習 6
乘以 r r r r 2 = 2 r sin θ r^2=2r\sin\theta r 2 = 2 r sin θ x 2 + y 2 = 2 y x^2+y^2=2y x 2 + y 2 = 2 y x 2 + ( y − 1 ) 2 = 1 x^2+(y-1)^2=1 x 2 + ( y − 1 ) 2 = 1 r = 0 r=0 r = 0 θ = 0 \theta=0 θ = 0 r = 2 sin θ r=2\sin\theta r = 2 sin θ
解答 · 練習 7
它是射線，直角坐標描述為 y = 3 x y=\sqrt3x y = 3 x x ≥ 0 x\ge0 x ≥ 0
解答 · 練習 8
乘以共軛得 ( 2 − i ) ( 1 − 2 i ) / 5 = ( − 5 i ) / 5 = − i (2-i)(1-2i)/5=(-5i)/5=-i ( 2 − i ) ( 1 − 2 i ) /5 = ( − 5 i ) /5 = − i ( 1 + 2 i ) ( − i ) = 2 − i (1+2i)(-i)=2-i ( 1 + 2 i ) ( − i ) = 2 − i
解答 · 練習 9
配方得 ( z − 2 ) 2 = − 9 (z-2)^2=-9 ( z − 2 ) 2 = − 9 z = 2 ± 3 i z=2\pm3i z = 2 ± 3 i ( z − 2 − 3 i ) ( z − 2 + 3 i ) (z-2-3i)(z-2+3i) ( z − 2 − 3 i ) ( z − 2 + 3 i )
解答 · 練習 10
寫 z = x + i y z=x+iy z = x + i y z + 2 z ˉ = 3 x − i y z+2\bar z=3x-iy z + 2 z ˉ = 3 x − i y x = 1 x=1 x = 1 y = − 4 y=-4 y = − 4 z = 1 − 4 i z=1-4i z = 1 − 4 i ( 1 − 4 i ) + 2 ( 1 + 4 i ) = 3 + 4 i (1-4i)+2(1+4i)=3+4i ( 1 − 4 i ) + 2 ( 1 + 4 i ) = 3 + 4 i
解答 · 練習 11
乘積為 cis ( 3 π / 2 ) \operatorname{cis}(3\pi/2) cis ( 3 π /2 ) − π / 2 -\pi/2 − π /2 3 π / 2 3\pi/2 3 π /2
解答 · 練習 12
這裏 3 + i = 2 cis ( π / 6 ) \sqrt3+i=2\operatorname{cis}(\pi/6) 3 + i = 2 cis ( π /6 ) 16 cis ( 2 π / 3 ) = − 8 + 8 3 i 16\operatorname{cis}(2\pi/3)=-8+8\sqrt3i 16 cis ( 2 π /3 ) = − 8 + 8 3 i 2 + 2 3 i 2+2\sqrt3i 2 + 2 3 i
解答 · 練習 13
半徑為二，角為 π / 4 \pi/4 π /4 3 π / 4 3\pi/4 3 π /4 5 π / 4 5\pi/4 5 π /4 7 π / 4 7\pi/4 7 π /4 2 + i 2 \sqrt2+i\sqrt2 2 + i 2 − 2 + i 2 -\sqrt2+i\sqrt2 − 2 + i 2 − 2 − i 2 -\sqrt2-i\sqrt2 − 2 − i 2 2 − i 2 \sqrt2-i\sqrt2 2 − i 2 16 16 16 π \pi π
解答 · 練習 14
它是圓心 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) z = x + i y z=x+iy z = x + i y ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = 4 (x-1)^2+(y-1)^2=4 ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = 4
解答 · 練習 15
分子模為 2 \sqrt2 2 π / 4 \pi/4 π /4 − π / 6 -\pi/6 − π /6 ( 1 / 2 ) cis ( 5 π / 12 ) (1/\sqrt2)\operatorname{cis}(5\pi/12) ( 1/ 2 ) cis ( 5 π /12 ) 3 + i \sqrt3+i 3 + i [ ( 3 − 1 ) + i ( 3 + 1 ) ] / 4 [(\sqrt3-1)+i(\sqrt3+1)]/4 [( 3 − 1 ) + i ( 3 + 1 )] /4 [ ( 3 − 1 ) 2 + ( 3 + 1 ) 2 ] / 16 = 1 / 2 [(\sqrt3-1)^2+(\sqrt3+1)^2]/16=1/2 [( 3 − 1 ) 2 + ( 3 + 1 ) 2 ] /16 = 1/2
解答 · 練習 16
寫 z = a + b i z=a+bi z = a + bi 2 a 2a 2 a 2 b i 2bi 2 bi i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1
解答 · 練習 17
有 ω 3 = cis ( 2 π ) = 1 \omega^3=\operatorname{cis}(2\pi)=1 ω 3 = cis ( 2 π ) = 1 ω ≠ 1 \omega\ne1 ω = 1 ( ω − 1 ) ( 1 + ω + ω 2 ) = ω 3 − 1 = 0 (\omega-1)(1+\omega+\omega^2)=\omega^3-1=0 ( ω − 1 ) ( 1 + ω + ω 2 ) = ω 3 − 1 = 0 ω − 1 \omega-1 ω − 1 1 , ω , ω 2 1,\omega,\omega^2 1 , ω , ω 2 z 3 = 1 z^3=1 z 3 = 1
解答 · 練習 18
乘以 1 − i = 2 cis ( − π / 4 ) 1-i=\sqrt2\operatorname{cis}(-\pi/4) 1 − i = 2 cis ( − π /4 ) 2 \sqrt2 2 π / 4 \pi/4 π /4 i i i ( 1 − i ) i + 2 = 3 + i (1-i)i+2=3+i ( 1 − i ) i + 2 = 3 + i
解答 · 練習 19
三角不等式給出 ∣ z ∣ = ∣ ( z + w ) − w ∣ ≤ ∣ z + w ∣ + ∣ w ∣ |z|=|(z+w)-w|\le|z+w|+|w| ∣ z ∣ = ∣ ( z + w ) − w ∣ ≤ ∣ z + w ∣ + ∣ w ∣ ∣ z ∣ − ∣ w ∣ ≤ ∣ z + w ∣ |z|-|w|\le|z+w| ∣ z ∣ − ∣ w ∣ ≤ ∣ z + w ∣ z , w z,w z , w 3 ≤ ∣ z + w ∣ ≤ 7 3\le|z+w|\le7 3 ≤ ∣ z + w ∣ ≤ 7
解答 · 練習 20
在 r = 0 r=0 r = 0 r 2 = 3 r cos θ r^2=3r\cos\theta r 2 = 3 r cos θ r = 3 cos θ r=3\cos\theta r = 3 cos θ r = 0 r=0 r = 0 cos θ = 0 \cos\theta=0 cos θ = 0 ( 0 , π / 2 ) (0,\pi/2) ( 0 , π /2 ) ( x − 3 / 2 ) 2 + y 2 = 9 / 4 (x-3/2)^2+y^2=9/4 ( x − 3/2 ) 2 + y 2 = 9/4
圖像專題 G3
思考檢查
圖像題 G3 極坐標對、圓與原點
設 r , x , y r,x,y r , x , y θ \theta θ
x = r cos θ , y = r sin θ . x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta. x = r cos θ , y = r sin θ . 考慮極坐標方程
r = 4 cos θ , r ≥ 0. r=4\cos\theta,\qquad r\ge0. r = 4 cos θ , r ≥ 0. 圖中兩個直角坐標軸使用相同尺度。經過 P P P θ = π / 3 \theta=\pi/3 θ = π /3
將極坐標方程化為直角坐標方程，驗證從圖讀出的圓心與半徑。證明逆向結論並單獨檢查原點，確定完整點集。
解答 · 圖像題 G3
兩邊乘以 r r r r 2 = 4 r cos θ r^2=4r\cos\theta r 2 = 4 r cos θ
x 2 + y 2 = 4 x ⟺ ( x − 2 ) 2 + y 2 = 4. x^2+y^2=4x\iff(x-2)^2+y^2=4. x 2 + y 2 = 4 x ⟺ ( x − 2 ) 2 + y 2 = 4. 圓心是 ( 2 , 0 ) (2,0) ( 2 , 0 ) r = x 2 + y 2 > 0 r=\sqrt{x^2+y^2}>0 r = x 2 + y 2 > 0 r 2 = 4 r cos θ r^2=4r\cos\theta r 2 = 4 r cos θ r = 4 cos θ r=4\cos\theta r = 4 cos θ r = 0 r=0 r = 0 θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ = π /2
繼續完成圖像專題 G3 的四問與詳解 。
總結
極坐標轉換需要半徑約定和考慮象限的角度。多個坐標對可能表示一個點，原點尤其如此。複數加法和乘法由分量、分配律及 i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 n n n n n n
聯繫。 直角坐標與三角學來自第 2–3 章；本章發展極坐標和複數。第 7 章的不等式與歸納法論證模估計及整數次冪。第 5 章的有限幾何因式分解解釋簡單的單位根恆等式。
