一致 Cauchy 控制与极限的求导

学习目标与量词

从一致尾部控制得到一致极限，区分保持连续性与保持导数，并以中值定理证明求导定理。对非空集合 $A$ 上的实函数，一致收敛意味着 $\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|\to0$，且误差最终有限。一致 Cauchy 指对每个 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使所有 $x\in A$ 及所有 $m,n\ge N$ 均满足 $|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon$。若 $A=\varnothing$，则采用的 epsilon–N 条件空真成立，不使用空集的实数上确界。

定理：一致完备性

实值函数列一致收敛，当且仅当它一致 Cauchy。

证明。 一致收敛时，两个大小为 $\varepsilon/2$ 的误差给出 Cauchy 估计。反之，一致 Cauchy 蕴含每个固定 $x$ 的 $(f_n(x))$ 都是实数 Cauchy 序列，故定义 $f(x)=\lim_n f_n(x)$。固定 $\varepsilon>0$，使用容差 $\varepsilon/2$ 的一致 Cauchy 条件。对每个 $x$ 和 $n\ge N$，在估计中令 $m\to\infty$，得到 $|f_n(x)-f(x)|\le\varepsilon/2<\varepsilon$。同一 $N$ 对所有点有效，故一致收敛。值域空间 $\mathbb R$ 的完备性提供逐点极限。

不假设 $C^1$ 的求导与极限交换

定理

设 $a<b$。假设每个 $f_n$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可微；若在一个固定点 $x_0\in[a,b]$ 处 $f_n(x_0)$ 收敛，且 $f_n'$ 在 $(a,b)$ 一致收敛到 $g$，则 $f_n$ 在 $[a,b]$ 一致收敛到连续函数 $f$，后者在 $(a,b)$ 可微且 $f'=g$。不要求各导数函数连续。

存在性的证明。 导数一致收敛，故一致 Cauchy。当 $m,n$ 充分大时，对 $f_n-f_m$ 在 $x_0$ 与任意 $x$ 之间应用中值定理，得到

$$|f_n(x)-f_m(x)|\le|f_n(x_0)-f_m(x_0)|+(b-a)\sup_{(a,b)}|f_n'-f_m'|.$$

锚点值序列为 Cauchy 序列，因此右侧一致地趋小。一致完备性给出一致极限 $f$；连续函数的一致极限连续。

导数恒等式的证明。 固定内部点 $x$ 和 $\varepsilon>0$。选取 $N$，使所有内部点 $t$ 和所有 $n\ge N$ 均满足 $|f_n'(t)-f_N'(t)|\le\varepsilon$，并且 $|g(x)-f_N'(x)|\le\varepsilon$。对充分小的非零 $h$，在从 $x$ 到 $x+h$ 的线段上对 $f_n-f_N$ 应用中值定理：

$$\left|\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}h-\frac{f_N(x+h)-f_N(x)}h\right|\le\varepsilon.$$

在这两个固定输入处令 $n\to\infty$，相同不等式对以 $f$ 代替 $f_n$ 的情形成立。固定的 $f_N$ 在 $x$ 可微，故当 $h$ 足够小时，它的差商与 $f_N'(x)$ 相差小于 $\varepsilon$。三角不等式说明 $f$ 的差商与 $g(x)$ 之差的绝对值至多为 $3\varepsilon$。$\varepsilon$ 任意，便证明可微且导数相等。此论证没有对 $g$ 积分，因此没有暗中假设 $g$ 连续或 Riemann 可积。

反例

仅函数一致收敛不够。 函数 $f_n(x)=\sin(nx)/n$ 在任意实定义域上一致趋于零，因为绝对值至多为 $1/n$。但 $f_n'(0)=1$，极限函数的导数却为零。因此不能仅以 $f_n$ 的一致收敛取代导数条件。

导数逐点收敛不够。 在 $[0,1]$ 上令 $f_n(x)=\sqrt{x^2+1/n}$。这些函数一致收敛到 $f(x)=x$，因为非负差值至多为 $1/\sqrt n$。其导数为 $x/\sqrt{x^2+1/n}$：对 $x>0$ 逐点趋于一，在零处却趋于零。这个端点现象说明端点的单侧导数与导数列的极限可能不一致；定理的可微结论只针对内部。若要内部反例，在 $[-1,1]$ 上同一函数列收敛到 $|x|$，后者在零处不可微，尽管各函数都光滑。导数不一致收敛，其逐点极限不连续。

分级练习

1. 基础。 证明 $x/n$ 在 $[-2,2]$ 一致收敛，但在 $\mathbb R$ 上不一致收敛。
2. 核心。 在 $[-1,1]$ 上通过控制导数级数，对 $f_n(x)=\sum_{k=1}^n x^k/2^k$ 应用定理。
3. 核心。 证明 $[0,1]$ 上的 $u_n(x)=nx(1-x^2)^n$ 逐点趋于零但不一致趋于零。
4. 证明。 解释为什么即使所有导数恒为零，也不能省略 $f_n$ 在单个锚点的收敛性。

完整解答

1. 在 $[-2,2]$ 上误差上确界为 $2/n\to0$。在整个实数直线上，每个 $n$ 的误差都无界，因此不一致收敛，但仍逐点收敛。
2. 导数项满足 $|kx^{k-1}/2^k|\le k/2^k$，其数项级数由比值判别法收敛。由 Weierstrass M 判别法，导数列一致收敛；所有部分和在零处均为零，提供锚点。因此其和可微，导数等于逐项导数级数。已知几何级数和为 $x/(2-x)$，其导数为 $2/(2-x)^2$。
3. 在 $x=0$ 和 $x=1$ 处各项为零。对固定的 $0<x<1$，$(1-x^2)^n$ 的指数衰减快于 $n$ 的增长，故极限为零。取 $x_n=1/\sqrt{2n}$，则 $u_n(x_n)=\sqrt{n/2}(1-1/(2n))^n$，由 Bernoulli 不等式得 $(1-1/(2n))^n\ge1/2$，因此 $u_n(x_n)\ge\sqrt{n/2}/2\to\infty$。误差上确界不趋于零。
4. 取 $f_n(x)=n$。每个导数都为零并一致趋于零，但函数在每点都发散。导数信息只控制函数值之差；锚点固定了加法常数。

总结与术语

一致 Cauchy 函数族在整个定义域上使用同一个尾部阈值。锚点值固定原本自由的加法常数。求导与极限交换需要导数的一致控制，而不只是函数误差小。中值估计在比连续导数积分证明更弱的假设下证明定理，且结论明确只涉及内部点。