瑕积分、绝对收敛与振荡尾部

证明

下文所用的先修证明

学习目标与定义

推导可积性结论背后的证明，并区分有界与可积。设 $a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。对分割 $P:a=x_0<\cdots<x_n=b$，记 $m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f$、$M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f$，并定义 $L(f,P)=\sum m_i\Delta x_i$、$U(f,P)=\sum M_i\Delta x_i$。下积分 $\underline I$ 是所有下和的上确界，上积分 $\overline I$ 是所有上和的下确界。加细分割使下和不减、上和不增。

对任意两个分割 $P,Q$，由其公共加细得 $L(f,P)\le U(f,Q)$，故 $\underline I\le\overline I$。有界性保证这些量有限。上下积分相等时，称函数 Riemann 可积。

定理：Darboux 判据

有界函数可积，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$ 都存在分割，使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

证明。 若上下积分均等于 $I$，由上下确界逼近性质，取一个大于 $I-\varepsilon/2$ 的下和及一个小于 $I+\varepsilon/2$ 的上和。它们的公共加细的上下和之差小于 $\varepsilon$。反之，若对每个正的 $\varepsilon$ 都有这样的分割，则不等式 $0\le\overline I-\underline I\le U(f,P)-L(f,P)$ 迫使上下积分之差为零。

学习目标与定义

分别检验每个端点，证明绝对收敛蕴含收敛，并分析绝对值不可积的振荡积分。若函数在每个有限区间 $[a,R]$ 上 Riemann 可积，仅当极限有限时定义 $\int_a^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int_a^R f$。有限奇异端点使用单侧极限；有多个奇点时，应将区间拆开，并要求各部分分别收敛。

Cauchy 判据指出，无穷尾积分收敛，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$，存在 $A$，使得只要 $T>S\ge A$ 就有 $|\int_S^Tf|<\varepsilon$。这是把实数 Cauchy 判据应用于端点趋于无穷时的有限积分函数；有限初始区间上的值不影响该尾部条件。

定理：具有局部正常可积性假设的比较与绝对收敛

固定实基点 $A$。比较情形假设 $f,g$ 在每个有限区间 $[A,R]$ 上 Riemann 可积，且在 $[A,\infty)$ 上 $0\le f\le g$。若这一支配关系只从某个 $B\ge A$ 开始，先将基点改为 $B$：$[A,B]$ 上两个正常积分都是有限常数，不影响收敛性。若 $\int_A^\infty g$ 收敛，则 $\int_A^\infty f$ 收敛。对于可正可负的情形，须明确假设 $f$ 在每个有限区间 $[A,R]$ 上 Riemann 可积。若 $\int_A^\infty|f|$ 收敛，则 $\int_A^\infty f$ 收敛。本节的绝对可积约定包括这一局部正常 Riemann 可积性假设。

证明。 在比较情形，$f$ 的有限积分非负、随端点非递减，并被 $g$ 的积分总量所界。其上确界 $L$ 有限。对每个 $\varepsilon>0$，存在一个有限端点，使积分大于 $L-\varepsilon$；之后的每个积分均夹在该值与 $L$ 之间，故极限为 $L$。

对可正可负的 $f$，局部 Riemann 可积性也保证 $|f|$ 局部可积：在每个小区间上，它的振幅不大于 $f$ 的振幅，故可用 Darboux 判据。正常积分估计给出 $|\int_S^T f|\le\int_S^T|f|$。非负绝对值积分收敛，因此每个带符号尾积分均可任意小。记 $F(R)=\int_A^R f$，则序列 $F(A+n)$ 是实柯西列，由实数完备性有有限极限 $L$。给定 $\varepsilon>0$，选择同一个尾区间，使 $|F(T)-F(S)|<\varepsilon/2$。固定尾区间内任意 $R$，将 $F(R)$ 与所有充分大的 $F(A+n)$ 比较，再取实数极限，得到 $|F(R)-L|\le\varepsilon/2<\varepsilon$。因此极限对所有实端点成立，而非只沿整数序列成立。同一论证证明前述带符号 Cauchy 尾部判据的充分性；必要性由 $|F(T)-F(S)|\le|F(T)-L|+|F(S)-L|$ 得到。

为何局部可积性不可缺少。 在 $[1,\infty)$ 上，对有理点令 $f(x)=1/x^2$，对无理点令 $f(x)=-1/x^2$，则其绝对值的瑕积分为一。然而在任意 $1\le S<T$ 的 $[S,T]$ 上，由稠密性，每个小区间的上确界至少为 $1/T^2$，下确界至多为 $-1/T^2$。每个 Darboux 上下和差因此至少为 $2(T-S)/T^2>0$，带符号函数没有正常有限积分。不能单凭 $|f|$ 可积就推断缺少的局部假设。其他奇异端点仍须分别检验。

当 $p\ne1$ 时，$x^{-p}$ 的原函数为 $x^{1-p}/(1-p)$。端点极限给出：$\int_1^\infty x^{-p}$ 收敛当且仅当 $p>1$；$\int_0^1x^{-p}$ 收敛当且仅当 $p<1$。当 $p=1$ 时，原函数 $\ln x$ 在两个有问题的端点都发散。不同端点对应不同阈值。

例题：正弦尾积分的条件收敛

在 $[1,\infty)$ 上，对 $T>S\ge1$ 分部积分得到

$$\int_S^T\frac{\sin x}{x}\,dx=\left[-\frac{\cos x}{x}\right]_S^T-\int_S^T\frac{\cos x}{x^2}\,dx.$$

其绝对值至多为 $1/S+1/T+\int_S^Tx^{-2}dx=2/S$。由 Cauchy 判据积分收敛，并且带符号积分的尾部绝对值有界 $2/S$。在零处，$\sin x/x$ 的可去极限为一，因此在那里连续延拓后，$\int_0^\infty\sin x/x$ 也存在。这里证明的是存在性，而不是积分的某个具体值。

其绝对值积分发散。对整数 $k\ge1$，在每个区间 $[k\pi+\pi/6,k\pi+5\pi/6]$ 上，$|\sin x|\ge1/2$ 且 $x\le(k+1)\pi$。因此该区间上的积分至少为 $[2\pi/3]/[2(k+1)\pi]=1/[3(k+1)]$。对这些互不相交的区间求和，得到发散的调和级数下界。所以正弦积分条件收敛，而非绝对收敛。

例题：相消不等于通常意义下的收敛

对 $(-1,1)$ 上的 $1/x$，零点两侧的单侧积分分别发散。对称截断给出 $\int_{-1}^{-\varepsilon}dx/x+\int_\varepsilon^1dx/x=0$，但这只定义 Cauchy 主值。若负侧排除 $\alpha$、正侧排除 $\beta$ 并独立趋于零，则结果为 $\ln\alpha-\ln\beta$，其值取决于两者之比。因此通常意义的积分不存在。

分级练习

1. 基础。 哪些 $p$ 使 $\int_0^1x^{-p}dx$ 收敛？收敛时值是多少？
2. 核心。 判断 $\int_1^\infty dx/[x(x+1)]$ 是否收敛并计算其值。
3. 核心。 证明 $\int_1^\infty\cos x/x\,dx$ 收敛，并给出带符号尾积分的界。
4. 证明。 若 $f$ 在 $[a,\infty)$ 上绝对可积，证明当 $R\to\infty$ 时 $\int_a^R f$ 有极限，并解释没有额外条件时为什么不必有 $f(x)\to0$。

完整解答

1. 原函数及零处极限给出：当且仅当 $p<1$ 时收敛，值为 $1/(1-p)$；当 $p\ge1$ 时发散。
2. 分解为 $1/[x(x+1)]=1/x-1/(x+1)$。有限积分为 $\ln R-\ln(R+1)+\ln2$，趋于 $\ln2$。被积函数非负，故也绝对收敛。
3. 分部积分得 $\int_S^T\cos x/x=[\sin x/x]_S^T+\int_S^T\sin x/x^2$。其绝对值至多为 $1/S+1/T+1/S-1/T=2/S$，满足 Cauchy 判据，并给出带符号无穷尾积分的界 $2/S$。
4. 三角不等式用绝对值尾积分控制每个带符号尾积分，因而满足 Cauchy 判据。为说明点态趋零不是必要条件，构造高度为一的连续三角尖峰：中心取正整数 $n\ge2$，各自支撑在 $[n-2^{-n-2},n+2^{-n-2}]$ 上，其余处为零。支撑集互不相交，总面积为 $\sum_{n\ge2}2^{-n-2}<\infty$，但在每个尖峰中心函数值都为一。它局部可积且绝对可积，却不趋于零。总面积有限不能单独推出点态极限。

总结与术语

瑕积分是普通有限积分的指定极限。绝对收敛无需相消即可控制尾部；条件收敛依赖取绝对值后消失的相消。Cauchy 主值把截断耦合，不能替代互相独立的单侧收敛。处理发散表达式前，应先写清极限定义。