3.1 数项级数与收敛判别法

部分和与尾和

定义

级数收敛

若部分和 $s_N=\sum_{n=1}^N a_n$ 收敛至 $s$，则称级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛至 $s$。若 $\sum|a_n|$ 收敛，称绝对收敛；若原级数收敛但非绝对收敛，称条件收敛。

部分和的柯西判据指出，收敛等价于：对每个 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使所有 $n\ge m\ge N$ 都有 $|\sum_{k=m}^n a_k|<\varepsilon$。特别地，收敛必有 $a_n\to0$，但此必要条件并不充分：调和级数发散。

定理

比较与绝对收敛

若最终有 $0\le a_n\le b_n$，则 $\sum b_n$ 收敛蕴含 $\sum a_n$ 收敛；$\sum a_n$ 发散蕴含 $\sum b_n$ 发散。若 $\sum|a_n|$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛。

证明

尾和控制证明绝对收敛蕴含收敛

若 $\sum|a_n|$ 收敛，其非负尾和可任意小。由三角不等式，$|\sum_{k=m}^n a_k|\le\sum_{k=m}^n|a_k|$，故带符号级数的部分和是柯西数列，并在 $\mathbb R$ 中收敛。比较结果由单调有界部分和及逆否命题得到。

例题

等比、调和与 p 级数

若 $|r|<1$，$\sum_{n=0}^N r^n=(1-r^{N+1})/(1-r)$ 趋向 $1/(1-r)$。对调和级数，从 $1/2$ 起分组：$1/2$，再 $1/3+1/4$，再 $1/5+\cdots+1/8$，如此类推；每组至少为 $1/2$。部分和无界，故级数发散，虽然项趋零。标准 $p$ 级数 $\sum n^{-p}$ 在 $p>1$ 时收敛、在 $p\le1$ 时发散；可用积分或二进分组比较判别法证明此界线。

比值及交错判别法

若最终 $a_n\ne0$ 且 $\limsup|a_{n+1}/a_n|<1$，则由等比级数比较可得绝对收敛。若最终 $|a_{n+1}/a_n|\ge1$，则项不可能趋零，级数发散。比值极限为 $1$ 时不能判断：$\sum1/n$ 和 $\sum1/n^2$ 的比值均趋向 $1$，但收敛性不同。

比值判别法收敛情形的证明。 假设充分大的 $n$ 均有 $a_n\ne0$，且 $\limsup |a_{n+1}/a_n|<1$。取严格大于该上极限的 $0<q<1$。存在 $N$，使每个 $n\ge N$ 都满足 $|a_{n+1}/a_n|\le q$。逐项迭代得到

$$|a_{N+k}|\le |a_N|q^k\qquad(k\ge0).$$

几何级数 $\sum_{k\ge0}|a_N|q^k$ 收敛，故比较判别法证明绝对值尾和收敛。有限前缀不影响收敛，因此 $\sum a_n$ 绝对收敛。对一族级数作一致结论，还需要对输入一致成立的界。

若 $b_n\ge0$ 非递增并趋于零，则 $\sum(-1)^{n-1}b_n$ 收敛，且取 $N$ 项后的误差绝对值至多 $b_{N+1}$。偶数部分和非递减，奇数部分和非递增，且 $S_{2n+1}-S_{2n}=b_{2n+1}\to0$。因此交错调和级数收敛但非绝对收敛。

例题

选对判别法

对 $\sum_{n=1}^\infty n/3^n$，相邻正项比值 $(n+1)/(3n)\to1/3<1$，故收敛。对 $\sum(-1)^{n-1}/n$，交错判别法给收敛，而调和级数发散排除绝对收敛。后者的比值趋向 $1$，因此比值判别法不能决定。

方法比较

先检查 $a_n\to0$；失败即发散，成功却不足以证收敛。非负级数可与等比或 $p$ 级数比较。阶乘及指数项常可用比值判别法，但比值须远离 $1$。交错且单调递减至零时可用交错判别法及误差界。绝对收敛容许比条件收敛更强的操作；任意重排条件收敛级数须特别小心。

比值判别法收敛情形的证明。 假设充分大的 $n$ 均有 $a_n\ne0$，且 $\limsup |a_{n+1}/a_n|<1$。取严格大于该上极限的 $0<q<1$。存在 $N$，使每个 $n\ge N$ 都满足 $|a_{n+1}/a_n|\le q$。逐项迭代得到

$$|a_{N+k}|\le |a_N|q^k\qquad(k\ge0).$$

几何级数 $\sum_{k\ge0}|a_N|q^k$ 收敛，故比较判别法证明绝对值尾和收敛。有限前缀不影响收敛，因此 $\sum a_n$ 绝对收敛。对一族级数作一致结论，还需要对输入一致成立的界。

练习

1. 判断 $\sum1/2^n$ 的收敛性。
2. 判断 $\sum1/n$ 的收敛性。
3. 判断 $\sum(-1)^{n-1}/n$ 是绝对收敛还是条件收敛。
4. 解释为何 $a_n\to0$ 不能证明 $\sum a_n$ 收敛。

详解

1. 这是公比 $1/2$ 的等比级数，从 $n=1$ 起的和为 $1$。
2. 上述二进分组显示部分和无界，故发散。
3. 交错判别法给收敛；绝对值级数是发散的调和级数，故条件收敛。
4. 调和级数项 $1/n\to0$，但级数发散。项趋零只是必要条件，不是充分条件。

总结

级数是部分和的极限。判别法透过比较或相消控制尾和；只检查个别项不足以确立收敛。