3.2 一致收敛与极限交换

证明

下文所用的先修证明

学习目标与定义

推导可积性结论背后的证明，并区分有界与可积。设 $a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。对分割 $P:a=x_0<\cdots<x_n=b$，记 $m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f$、$M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f$，并定义 $L(f,P)=\sum m_i\Delta x_i$、$U(f,P)=\sum M_i\Delta x_i$。下积分 $\underline I$ 是所有下和的上确界，上积分 $\overline I$ 是所有上和的下确界。加细分割使下和不减、上和不增。

对任意两个分割 $P,Q$，由其公共加细得 $L(f,P)\le U(f,Q)$，故 $\underline I\le\overline I$。有界性保证这些量有限。上下积分相等时，称函数 Riemann 可积。

定理：Darboux 判据

有界函数可积，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$ 都存在分割，使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

证明。 若上下积分均等于 $I$，由上下确界逼近性质，取一个大于 $I-\varepsilon/2$ 的下和及一个小于 $I+\varepsilon/2$ 的上和。它们的公共加细的上下和之差小于 $\varepsilon$。反之，若对每个正的 $\varepsilon$ 都有这样的分割，则不等式 $0\le\overline I-\underline I\le U(f,P)-L(f,P)$ 迫使上下积分之差为零。

正常 Riemann 可积实函数的一致极限

设 $a<b$ 为有限实数，每个实函数 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上正常 Riemann 可积，并在该区间一致收敛到 $f$。一个充分靠后的 $f_N$ 有界，且与 $f$ 的一致误差有界，所以 $f$ 有界。令 $L=b-a>0$。给定 $\varepsilon>0$，选择 $N$ 使 $\eta=\sup|f-f_N|<\varepsilon/(4L)$。对任一分割小区间 $I$，$f$ 的上确界至多为 $f_N$ 的上确界加 $\eta$，下确界至少为 $f_N$ 的下确界减 $\eta$，因此

$$U(f,P)-L(f,P)\le U(f_N,P)-L(f_N,P)+2\eta(b-a).$$

对固定的可积函数 $f_N$，选分割 $P$ 使其 Darboux 上下和差小于 $\varepsilon/2$；于是 $f$ 的上述差小于 $\varepsilon$，由实际已证的 Darboux 判据得到 $f$ 可积。完成这一步之后，才相减两者的正常积分。利用可积函数的积分界及 $|f-f_n|\le\sup|f-f_n|$，得到

$$\left|\int_a^b f-\int_a^b f_n\right|\le (b-a)\sup_{[a,b]}|f-f_n|\longrightarrow0.$$

当 $a=b$，这些有向积分均为零，没有除以 $L=0$；反向端点由改变符号处理。本定理不推出瑕积分或非紧定义域上的对应断言。

逐点与一致

定义

两种收敛方式

对 $A$ 上的函数 $f_n,f$，逐点收敛指：对每个 $x\in A$ 及每个 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使 $n\ge N$ 蕴含 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$；$N$ 可依赖 $x$。一致收敛指：对每个 $\varepsilon>0$，存在同一个 $N$，使所有 $n\ge N$ 及所有 $x\in A$ 都满足 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$。

当 $A$ 非空时，等价地，一致收敛表示 $\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|\to0$，且上确界最终有限。要否定一致收敛，可找 $\varepsilon_0>0$、$n_k\to\infty$ 的指标，以及 $x_k\in A$ 使 $|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|\ge\varepsilon_0$。

例题

逐点收敛可能失去连续性

在 $[0,1]$ 上，$f_n(x)=x^n$ 逐点收敛至 $f(x)=0$（$0\le x<1$）及 $f(1)=1$。每个 $f_n$ 都连续，但极限在 $1$ 不连续。收敛不可能一致；例如 $x_n=1-1/n$ 给 $x_n^n\to e^{-1}$，而 $f(x_n)=0$。在 $0<r<1$ 的 $[0,r]$ 上，$\sup|x^n|=r^n\to0$，故一致收敛。

定理

一致极限保持连续

若每个 $f_n$ 相对 $A$ 在 $a\in A$ 连续，且 $f_n\to f$ 在 $A$ 上一致收敛，则 $f$ 在 $a$ 连续。

证明

三项估计

给定 $\varepsilon>0$，选 $N$ 使所有 $x\in A$ 都有 $|f_N(x)-f(x)|<\varepsilon/3$。由固定函数 $f_N$ 在 $a$ 连续，选 $\delta$ 使 $|x-a|<\delta$ 时 $|f_N(x)-f_N(a)|<\varepsilon/3$。则

$$|f(x)-f(a)|\le|f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(a)|+|f_N(a)-f(a)|<\varepsilon.$$

积分、微分与级数

若黎曼可积的 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛至 $f$，则 $f$ 可积且 $\int_a^b f_n\to\int_a^b f$。积分之差可由 $(b-a)\sup|f_n-f|$ 控制；一致极限的可积性则可用足够小的一致误差，加上固定 $f_N$ 的一个分割来证明。

单靠 $f_n$ 一致收敛，不能保证导数收敛。例如 $f_n(x)=\sin(nx)/n$ 在 $\mathbb R$ 上一致收敛至零，但每个 $n$ 都有 $f_n'(0)=1$，而极限的导数为零。一个有用的充分定理是：若 $a<b$，$f_n$ 在 $[a,b]$ 上属 $C^1$，某个 $x_0\in[a,b]$ 的 $f_n(x_0)$ 收敛，且 $f_n'$ 一致收敛至 $g$，则 $f_n$ 一致收敛至 $f$，且 $f$ 在 $(a,b)$ 可微、在那里 $f'=g$。基本定理及一致积分结果给出 $f(x)=\lim f_n(x_0)+\int_{x_0}^xg(t)dt$；连续导数的一致极限保证 $g$ 连续。

函数级数的一致收敛是指部分和一致收敛。Weierstrass M 判别法指出：若对所有 $x\in A$ 有 $|u_n(x)|\le M_n$，且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 一致收敛，并在每点绝对收敛。证明使用一致柯西尾和界 $|\sum_{k=m}^n u_k(x)|\le\sum_{k=m}^nM_k$。

例题

一致级数界

对 $[0,1]$ 上的 $u_n(x)=x^n/2^n$，有 $|u_n(x)|\le2^{-n}$。等比优级数收敛，故 M 判别法给一致收敛。每个部分和连续，所以极限连续。事实上由等比公式可得其和为 $x/(2-x)$。

方法比较

证逐点收敛时先固定 $x$；证一致收敛时寻找与 $x$ 无关的上确界估计或可和优级数。要证失败，可选移动点 $x_n$ 暴露最坏行为。交换微分需要比函数一致收敛更强的条件；使用前先写出确切的充分假设。

练习

1. $f_n(x)=x/n$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛至零吗？在 $\mathbb R$ 上呢？
2. 证明 $x^n\to0$ 在 $[0,1/2]$ 上一致成立。
3. 用 M 判别法处理 $[-1,1]$ 上的 $\sum_{n=1}^\infty x^n/3^n$。
4. 给出一列一致收敛的可微函数，使其导数在某点不收敛至极限函数的导数。

详解

1. 在 $[0,1]$，$\sup|x/n|=1/n\to0$，所以是。在 $\mathbb R$，每个 $n$ 的误差均无界，故不一致收敛，尽管逐点收敛。
2. $\sup_{[0,1/2]}|x^n|=(1/2)^n\to0$。
3. $|x^n/3^n|\le3^{-n}$，等比优级数收敛，故原级数一致收敛且逐点绝对收敛。
4. $f_n(x)=\sin(nx)/n$ 一致收敛至零，但每个 $n$ 都有 $f_n'(0)=1$，不等于 $0$。

总结

一致收敛为整个定义域提供同一尾部界。它保持连续性，并支持紧致区间上的积分交换；微分则需额外定理及假设。