极限、介值与一致连续延拓

学习目标与相对定义域上的极限

利用上确界性质证明介值定理，正确使用极限的序列判别法，并把一致连续函数延拓到闭包。若 $A\subseteq\mathbb R$，且 $a$ 是 $A$ 的聚点，则相对定义域上的极限 $f(x)\to L$（$x\to a$、$x\in A$）表示：对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使 $x\in A$、$0<|x-a|<\delta$ 蕴含 $|f(x)-L|<\varepsilon$。函数不必在 $a$ 有定义。

定理：极限的序列判别法

上述极限等于 $L$，当且仅当每个收敛到 $a$ 的序列 $x_n\in A\setminus\{a\}$ 都满足 $f(x_n)\to L$。

证明。 由极限定义，对选定的 $\delta$，充分靠后的 $x_n$ 均在该距离内，故其函数值与极限之差小于 $\varepsilon$。反之，若极限定义不成立，则存在 $\varepsilon_0>0$，使得对每个 $n$，都能选到 $x_n\in A$ 满足 $0<|x_n-a|<1/n$ 和 $|f(x_n)-L|\ge\varepsilon_0$。此序列收敛到 $a$，但其函数值不收敛到 $L$，与判别条件矛盾。该条件要求检验每一个序列，而非仅检验方便的例子。

定理：介值性质

若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，$a<b$ 且 $f(a)<c<f(b)$，则存在 $s\in(a,b)$ 满足 $f(s)=c$。

证明。 令 $S=\{x\in[a,b]:f(x)\le c\}$；此集合非空且有上界。设 $s=\sup S$。在 $a$ 处的连续性与 $f(a)<c$ 保证 $S$ 在 $a$ 右侧有点，故 $s>a$。在 $b$ 处的连续性与 $f(b)>c$ 则使 $b$ 附近的末段区间不与 $S$ 相交，故 $s<b$。对每个 $n$，由上确界性质可取 $x_n\in S$ 满足 $s-1/n<x_n\le s$。由连续性得 $f(s)\le c$。若 $f(s)<c$，连续性使 $s$ 右侧、仍在 $[a,b]$ 内的充分近的点处满足 $f<c$，这与 $s$ 是上界矛盾。因此 $f(s)=c$。交换端点的函数值大小，或考虑端点取等，即得其他情形。

一致连续函数延拓到闭包

设 $f:A\to\mathbb R$ 一致连续，则存在唯一的连续延拓 $\overline f:\overline A\to\mathbb R$，且该延拓一致连续。

证明。 对 $x\in\overline A$，选取 $a_n\in A$ 使 $a_n\to x$。此序列是 Cauchy 序列。一致连续性使 $f(a_n)$ 也是 Cauchy 序列：针对给定输出容差选取统一的 $\delta$ 后，$a_n$ 中充分靠后的任意两项之距小于该 $\delta$。实数完备性保证其极限存在。若另选 $b_n\to x$，则 $|a_n-b_n|\to0$；由一致连续性，$f(a_n)-f(b_n)\to0$。因此极限与逼近序列的选择无关，将其定义为 $\overline f(x)$。对 $x\in A$ 使用常值逼近序列，可知该函数延拓了 $f$。

为证明一致连续性，固定 $\varepsilon>0$，取 $f$ 对输出容差 $\varepsilon/2$ 的统一输入容差 $\delta>0$。若 $x,y\in\overline A$ 且 $|x-y|<\delta/3$，在 $A$ 中取序列 $a_n\to x,b_n\to y$。当 $n$ 足够大时，$|a_n-b_n|<\delta$，故 $|f(a_n)-f(b_n)|<\varepsilon/2$。令序号趋于无穷得到 $|\overline f(x)-\overline f(y)|\le\varepsilon/2<\varepsilon$，且该估计对 $x,y$ 一致成立。最后，任何连续延拓都必须给出相同的序列极限，故延拓唯一。若 $A=\varnothing$，闭包与延拓均为空，结论以空真方式成立。

例子

可去的缺失端点。 在 $(0,1)$ 上，$f(x)=x^2$ 是 Lipschitz 函数，因为 $|x^2-y^2|\le2|x-y|$。定理给出其到 $[0,1]$ 的唯一连续延拓，两个缺失端点的值分别为零和一。

为什么普通连续性不够。 函数 $1/x$ 在 $(0,1)$ 连续，但在零处没有有限的连续延拓。当 $n\ge2$ 时，点对 $x_n=1/n$ 与 $y_n=1/(2n)$ 相距趋于零，而函数值之差等于 $n$，因此它不是一致连续的，不能应用该定理。值域空间的完备性也重要：有理数的 Cauchy 序列未必收敛到有理数。

分级练习

1. 基础。 用介值定理证明 $x^3+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 有解，再证明解唯一。
2. 核心。 证明一致连续函数将其定义域中的任意 Cauchy 序列映为 Cauchy 序列。
3. 核心。 给出 $(0,1)$ 上的连续函数，它因振荡而非无界，不能连续延拓到 $[0,1]$。
4. 证明。 若 $\mathbb R$ 上两个连续函数在 $\mathbb Q$ 上相等，证明它们处处相等。在整数上相等是否足够？

完整解答

1. 该多项式在两个端点的值为 $-1$ 和 $1$，且连续，故由介值定理存在零点。若 $y>x$，则 $(y^3+y)-(x^3+x)=(y-x)(y^2+xy+x^2+1)>0$，因此函数严格递增，至多有一个零点。
2. 给定 $\varepsilon>0$，取函数一致连续性中的 $\delta$。输入 Cauchy 序列中充分靠后的任意两项之距均小于 $\delta$，故其函数值之差小于 $\varepsilon$。这正是输出序列的 Cauchy 条件。
3. 取 $f(x)=\sin(1/x)$。序列 $x_n=1/(\pi/2+2n\pi)$ 与 $y_n=1/(3\pi/2+2n\pi)$ 都趋于零，函数值却分别为 $1$、$-1$，所以虽函数有界，端点极限仍不存在。
4. 对任意实数 $x$，由有理数的稠密性可取序列 $q_n\to x$。连续性给出 $f(x)=\lim f(q_n)=\lim g(q_n)=g(x)$。整数并不稠密：$f(x)=0$ 与 $g(x)=\sin(\pi x)$ 在每个整数处相等，在 $1/2$ 处却不同。

总结与术语

聚点可由定义域中其他点任意逼近。闭包加入所有极限点。连续延拓填补缺失的函数值而保持连续性。一致连续性在整个定义域上一致控制点对，因此保持 Cauchy 性质；值域空间的完备性则提供填补闭包所需的极限。介值性质来自完备性与连续性，而非图像外观。