2.3 上极限与下极限

观察尾部

对有界实数数列 $(x_n)$，定义

$$u_N=\sup\{x_n:n\ge N\},\qquad \ell_N=\inf\{x_n:n\ge N\}.$$

随 $N$ 增加，尾集缩小，因此 $(u_N)$ 递减、$(\ell_N)$ 递增。两者都有界，故均收敛。定义

$$\limsup_{n\to\infty}x_n=\lim_{N\to\infty}u_N=\inf_N u_N, \qquad \liminf_{n\to\infty}x_n=\lim_{N\to\infty}\ell_N=\sup_N\ell_N.$$

有限个初始项可改变最初的尾界，但不改变两个极限。无界数列可使用扩充实数值；本节限于有界数列，故所有上述数量均为实数。

例题

振荡加上消失的修正项

设 $x_n=(-1)^n+1/n$。偶数子列趋向 $1$、奇数子列趋向 $-1$。因每项 $x_n\le1+1/n$，尾上确界至多为 $1+1/N$；任意后期的偶数项都趋向 $1$，故尾上确界至少为 $1$，所以 $u_N\to1$。同理，对任意大的奇数 $n$ 有 $-1\le\ell_N\le-1+1/n$，得 $\ell_N\to-1$。因此 $\limsup x_n=1$、$\liminf x_n=-1$。

定理

子列刻画

对有界实数数列，上极限是最大的子列极限，下极限是最小的子列极限。整个数列收敛当且仅当上、下极限相等，此时共同值就是极限。

证明

构造子列并夹逼整列

令 $U=\lim u_N$，并设 $n_0=0$。选递增下标 $n_k\ge k$ 使 $x_{n_k}>u_{n_{k-1}+1}-1/k$；相关尾部的上确界性质保证可以选到。由于起始下标趋无穷，其上确界趋向 $U$；而 $n_k\ge k$ 给 $x_{n_k}\le u_k$。因此 $x_{n_k}\to U$。若某子列趋向 $L$，对每个固定 $N$，该子列充分后期的项均在第 $N$ 个尾部，故 $L\le u_N$，因而 $L\le U$。对 $-x_n$ 应用同一论证，即得下极限结论。

对每个 $n\ge N$ 均有 $\ell_N\le x_n\le u_N$。若两个界趋向同一值，夹逼原理证明 $x_n$ 收敛至该值。反过来，若原数列收敛，每个子列极限都等于原极限，因此上下极限相等。

例题

初始大项不影响收敛极限

设 $x_1=100$，且 $n\ge2$ 时 $x_n=1/n$。所有项的上确界为 $100$，但 $\limsup x_n=\liminf x_n=0$。上极限关注任意后期的行为，而非出现过的最大项。

方法比较

对明显交替的模式，可求各部分子列极限，再为全部项建立界。直接依定义证明时，处理尾部上确界和下确界。要证普通收敛，可证上下极限相等；要否定收敛，可找不同子列极限。不要把全局上确界等同尾部极限。

练习

1. 求 $(-1)^n$ 的上极限与下极限。
2. 求 $1/n$ 的上极限与下极限。
3. 求 $x_n=2+(-1)^n/n$ 的上极限与下极限。
4. 解释为何单个很大的初始项不改变上极限。

详解

1. 每个尾部都含 $1$ 和 $-1$，上确界为 $1$、下确界为 $-1$；故上下极限分别为 $1$、$-1$。
2. 每个尾部的上确界为 $1/N$、下确界为 $0$，所以两个极限均为 $0$。
3. 因 $|x_n-2|\le1/n\to0$，故 $x_n\to2$，上下极限均为 $2$。
4. 删除或更改有限项，不改变任何充分后期的尾部，因此尾上确界及下确界的极限不变。

总结

上下极限分别捕捉子列可达到的最大与最小极限；对有界数列，两者相等恰好表示整个数列收敛。