2.2 子列、柯西数列与完备性

子列

定义

子列

$(x_n)$ 的子列是 $(x_{n_k})$，其中 $n_1<n_2<\cdots$ 为正整数。若 $x_n\to L$，每个子列都收敛至 $L$，因为 $n_k\ge k$，最终会超过任意指定下标。

定理

Bolzano–Weierstrass 定理

每个有界实数数列都有收敛子列。

证明

套叠区间证明

把所有项放入闭有界区间 $I_1$，并把它平分。至少一半含无穷多个数列项；选该半区间为 $I_2$。继续进行，得到长度趋零的套叠闭区间 $I_k$，每个都含无穷多项。选严格递增的下标 $n_k$ 使 $x_{n_k}\in I_k$；因每个区间含无穷多项，故可做到。完备性给出所有区间的一个共同点 $L$：左端点集合的上确界位于每个区间内，因为每个左端点都不超过每个右端点。由 $x_{n_k},L\in I_k$，二者距离不超过区间长度，故趋零。

结论是关于子列，而非整个数列。例如 $(-1)^n$ 有分别收敛至 $1$ 及 $-1$ 的常数子列，但自身不收敛。

柯西判据

定义

柯西数列

$(x_n)$ 是柯西数列，指对每个 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使只要 $m,n\ge N$ 就有 $|x_m-x_n|<\varepsilon$。与极限定义不同，此处不必预先指定候选极限。

定理

实数的柯西完备性

实数数列收敛，当且仅当它是柯西数列。

证明

两个方向

若 $x_n\to L$，取一个距离 $L$ 小于 $\varepsilon/2$ 的尾部，对 $x_m-L$ 与 $L-x_n$ 用三角不等式即可。反过来，柯西数列有界：取一个尾部使它的各项距离某固定尾项小于 $1$，再加入有限个初始项。由 Bolzano–Weierstrass，它有子列 $x_{n_k}\to L$。给定 $\varepsilon>0$，选 $N$ 使 $N$ 之后任意两项相差小于 $\varepsilon/2$，再选 $k$ 使 $n_k\ge N$ 且 $|x_{n_k}-L|<\varepsilon/2$。对每个 $n\ge N$，$|x_n-L|\le|x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-L|<\varepsilon$。

这个等价关系使用了 $\mathbb R$ 的完备性。「每个有理柯西数列都收敛至有理数」则不成立。例如 $\sqrt2$ 的小数截断都是有理数并构成柯西数列，但没有有理数极限。

例题

不知道和也能证收敛

令 $s_n=\sum_{k=1}^n2^{-k}$。若 $m>n$，

$$|s_m-s_n|\le\sum_{k=n+1}^\infty2^{-k}=2^{-n}.$$

给定 $\varepsilon>0$，选 $N$ 使 $2^{-N}<\varepsilon$。若 $m,n\ge N$，两者之间的尾和至多 $2^{-N}$，所以 $(s_n)$ 是柯西数列而收敛。精确和是 $1$，但柯西论证无须猜出它便证明存在性。等比尾和公式亦可由有限等比和及初等极限 $2^{-j}\to0$ 验证。

方法比较

由有界性可抽取收敛子列，但不能只凭它证整个数列收敛。两个极限不同的子列可否定收敛。若尾项之差比未知极限更容易控制，可用柯西判据。实数完备性保证柯西数列收敛；单凭有界则不足。

练习

1. 证明收敛数列的每个子列都收敛至相同极限。
2. 求 $x_n=(-1)^n+1/n$ 的两个收敛子列，并判断整列是否收敛。
3. 证明 $x_n=1/n$ 是柯西数列。
4. 解释为何存在一个收敛子列，不能推出整个数列收敛。

详解

1. 给定 $\varepsilon>0$，为原数列选 $N$。因 $n_k\ge k$，当 $k\ge N$ 时，$n_k\ge N$ 且 $|x_{n_k}-L|<\varepsilon$。
2. $x_{2k}=1+1/(2k)\to1$，而 $x_{2k-1}=-1+1/(2k-1)\to-1$。两个极限不同，所以原数列不收敛。
3. 给定 $\varepsilon>0$，选 $N>2/\varepsilon$。若 $m,n\ge N$，则 $|1/m-1/n|\le1/m+1/n\le2/N<\varepsilon$。
4. $(-1)^n$ 有恒为 $1$ 的子列，但奇数子列恒为 $-1$，故整列发散。

总结

有界性给出收敛子列，柯西性则控制整个尾部。完备性把尾部内在的接近性提升为一个实数极限。