3.1 函数极限与连续性

极限与定义域中的点

定义

函数极限

设 $A\subset\mathbb R$，$c$ 是 $A$ 的聚点，即 $c$ 的每个去心邻域都与 $A$ 相交。对 $f:A\to\mathbb R$，若对每个 $\varepsilon>0$ 都存在 $\delta>0$，使 $x\in A$ 且 $0<|x-c|<\delta$ 蕴含 $|f(x)-L|<\varepsilon$，则称 $\lim_{x\to c,\,x\in A}f(x)=L$。

$f(c)$ 的值若有定义，也与这个去心极限无关。聚点条件防止孤立点处的定义对每个 $L$ 都空泛成立。定义域限制很重要：闭区间端点的极限是相对定义域的单侧极限。

例题

epsilon–delta 估计

对 $f(x)=x^2$ 在 $c=2$，目标为 $L=4$。若 $|x-2|<1$，则 $|x+2|<5$，所以 $|x^2-4|=|x-2||x+2|<5|x-2|$。给定 $\varepsilon>0$，选 $\delta=\min(1,\varepsilon/5)$，便有 $0<|x-2|<\delta$ 蕴含 $|x^2-4|<\varepsilon$。

定理

函数极限的序列判据

若 $c$ 是 $A$ 的聚点，则 $f$ 在 $c$ 的极限为 $L$，当且仅当对每个 $x_n\in A\setminus\{c\}$ 且 $x_n\to c$ 的数列，都有 $f(x_n)\to L$。

证明

证明判据

若 epsilon–delta 极限成立，对任何这类数列，最终有 $0<|x_n-c|<\delta$，故 $|f(x_n)-L|<\varepsilon$。反过来，若极限不成立，存在 $\varepsilon_0>0$ 使每个 $\delta>0$ 均失败。对每个 $n$ 选 $x_n\in A$，使 $0<|x_n-c|<1/n$ 且 $|f(x_n)-L|\ge\varepsilon_0$。则 $x_n\to c$，但 $f(x_n)$ 不收敛至 $L$，违反序列假设。

例题

两种趋近可否定极限

在 $\mathbb R\setminus\{0\}$ 上，令 $f(x)=\sin(1/x)$。$x_n=(\pi/2+2\pi n)^{-1}$ 与 $y_n=(3\pi/2+2\pi n)^{-1}$ 均趋近 $0$，但 $f(x_n)=1$、$f(y_n)=-1$，故共同极限不存在。反之，要证明极限存在，少数选定路径或数列不足够：判据要求每个符合条件的数列。

连续性与介值定理

定义

相对定义域的连续性

对 $c\in A$，$f:A\to\mathbb R$ 在 $c$ 连续，指对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使 $x\in A$ 且 $|x-c|<\delta$ 蕴含 $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$。在 $A$ 的孤立点，此条件自动成立；在聚点，它等价于极限等于 $f(c)$。

定理

介值定理

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，而 $y$ 位于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，则存在 $c\in[a,b]$ 使 $f(c)=y$。

证明

完备性定位穿越点

若 $y=f(a)$ 或 $y=f(b)$，取相应端点即可。否则，假设 $f(a)<y<f(b)$；反向次序可把 $f$ 换成 $-f$，同时把 $y$ 换成 $-y$。集合 $S=\{x\in[a,b]:f(x)\le y\}$ 非空且有上界。令 $c=\sup S$。若 $f(c)<y$，由连续性，右侧附近点的值仍小于 $y$；因 $c<b$，这违反上界性质。若 $f(c)>y$，连续性使 $c$ 附近值均大于 $y$；上确界近似性质却给出该邻域内一个 $S$ 的元素，矛盾。故 $f(c)=y$。

例题

不需封闭公式也能证根存在

多项式 $f(x)=x^3+x-1$ 连续。因 $f(0)=-1$、$f(1)=1$，介值定理给出 $(0,1)$ 内一个根。若 $0\le x<y\le1$，则 $f(y)-f(x)=(y-x)(y^2+xy+x^2+1)>0$，所以该区间内的根唯一。介值定理本身只给存在性，不给唯一性或明确根。

方法比较

直接证明极限或连续性可用 epsilon–delta 估计。要否定极限存在，可找两个趋近数列，其输出极限不同。介值定理可证连续函数取到中间值；唯一性需另行论证。应始终说明定义域并核对整个区间上的连续性。

练习

1. 用 epsilon–delta 语言证明 $\lim_{x\to1}(3x+2)=5$。
2. 令 $x\ne0$ 时 $f(x)=1$、$f(0)=0$。它在 $0$ 连续吗？
3. 证明 $x^3+x-3$ 在 $(1,2)$ 内有根。
4. 离散定义域 $\{1,2,3\}$ 上的每个函数，相对此定义域都连续吗？

详解

1. 给定 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon/3$。则 $0<|x-1|<\delta$ 蕴含 $|3x+2-5|=3|x-1|<\varepsilon$。
2. 不连续。去心极限为 $1$，而 $f(0)=0$。取 $\varepsilon=1/2$，每个邻域都有非零点，使输出与 $f(0)$ 的距离为 $1$。
3. 多项式连续，在 $1$ 和 $2$ 的值分别是 $-1$、$7$，故介值定理给出两者之间的根。
4. 是。每个定义域点都是孤立点，可选充分小的 $\delta$ 排除其他定义域点；此时唯一可能的 $x$ 是该点本身，输出差为零。

总结

函数极限控制所有充分靠近的定义域点；连续性把极限与实际函数值联系。完备性及连续性给出中间值，但要证唯一性仍需额外论证。