3.2 紧致性、极值与一致连续

实数线上的紧致子集

集合 $K\subset\mathbb R$ 若每个开覆盖都有有限子覆盖，便称紧致。在 $\mathbb R$ 中，Heine–Borel 定理指出，这等价于闭且有界，也等价于 $K$ 内每个数列都有收敛至 $K$ 中某点的子列。闭性使子列极限留在集合内；有界性则容许抽取子列。以下证明使用序列形式。

定理

极值定理

若 $K\subset\mathbb R$ 非空且紧致，$f:K\to\mathbb R$ 连续，则 $f$ 有界并在 $K$ 上取得最大值及最小值。

证明

抽取逼近最大值的子列

若 $f$ 无上界，选 $x_n\in K$ 使 $f(x_n)>n$。存在子列 $x_{n_k}\to x\in K$；连续性给 $f(x_{n_k})\to f(x)$，与其趋向无穷矛盾。对 $-f$ 作同样论证可得下界。令 $s=\sup f(K)$，选 $x_n\in K$ 使 $s-1/n<f(x_n)\le s$。某收敛子列趋向 $x\in K$，由连续性有 $f(x)=s$。对 $-f$ 同理得最小值。

例题

哪个假设失效？

连续函数 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上有界，但没有最大值或最小值，因为 $0$、$1$ 不在定义域。此集合有界但不闭，故不紧致。在 $[0,1]$ 上两端点都存在，因此取得极值。紧致性是充分的全局假设，不是每个个别函数取得极值的必要条件。

一致连续

定义

整个定义域共用一个 delta

若对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使所有 $x,y\in A$ 只要满足 $|x-y|<\delta$，便有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，则称 $f:A\to\mathbb R$ 在 $A$ 上一致连续。$\delta$ 可依赖 $\varepsilon$，但不可依赖 $x$ 或 $y$。

定理

Heine–Cantor 定理

紧致集合上的每个连续实值函数都一致连续。

证明

用紧致性作反证

若非一致连续，则存在 $\varepsilon_0>0$，使每个 $n$ 都有 $x_n,y_n\in K$，满足 $|x_n-y_n|<1/n$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0$。紧致性给子列 $x_{n_k}\to x\in K$；由两点距离趋零，也有 $y_{n_k}\to x$。连续性给 $f(x_{n_k})\to f(x)$ 及 $f(y_{n_k})\to f(x)$，与输出距离至少为 $\varepsilon_0$ 矛盾。

例题

无界定义域上连续但非一致连续

$f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上连续，但不一致连续。取 $x_n=n$、$y_n=n+1/n$，则 $|x_n-y_n|=1/n\to0$，但 $|f(y_n)-f(x_n)|=2+1/n^2\not\to0$。在任何闭有界区间上，Heine–Cantor 定理却保证一致连续。也可直接证明：若 $|x|,|y|\le M$，则 $|x^2-y^2|\le2M|x-y|$。

方法比较

用紧致性及连续性保证有界、取得极值及共用连续尺度；在 $\mathbb R$ 中须检查闭与有界。即使定义域非紧致，也可用 Lipschitz 估计 $|f(x)-f(y)|\le C|x-y|$ 直接证一致连续。要否定一致连续，可构造输入距离趋零、输出距离却保持大于某固定正数的点对。

练习

1. 证明 $f(x)=3x-2$ 在 $\mathbb R$ 上一致连续。
2. 证明 $f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续。
3. $[0,1]$ 上每个连续函数都取得最大值和最小值吗？说明所用定理。
4. $f(x)=0$ 在 $\mathbb R$ 上一致连续，是否需要紧致性？

详解

1. 给定 $\varepsilon>0$，选 $\delta=\varepsilon/3$。若 $|x-y|<\delta$，则 $|f(x)-f(y)|=3|x-y|<\varepsilon$。
2. 取 $n\ge2$ 的 $x_n=1/n$、$y_n=1/(2n)$。距离趋零，但 $|1/x_n-1/y_n|=n$ 不趋零。因此对 $\varepsilon=1$，没有共用的 $\delta$。
3. 是。此区间非空且紧致，函数连续；极值定理保证取得两个极值。
4. 不需要。零函数在任何定义域上一致连续；紧致性只是充分条件，不是必要条件。

总结

紧致性使数列可抽取极限留在定义域内的子列。连续性再把这些极限转为全局极值及一致输入尺度。不紧致会失去这些保证，但不代表每个结论都必然失败。