12. 综合模型与解题工作坊

目的与准备

本工作坊通过假设的商业与社会科学模型联系基本方法。完整解答说明定义域、选择数学表示、推导结论并检查结论在模型中的含义。第 1–4 章和第 5–11 章提供基础内容。

12.1 一个问题，多种有效表示

假设虚构项目的价格规则为 $p(q)=12-q$，可变成本为 $2q$，固定成本为 $9$。作为连续规划近似，允许实数产量 $0\le q\le10$。收入为 $R(q)=12q-q^2$，利润为

$$\Pi(q)=R(q)-(2q+9)=10q-q^2-9.$$

因式分解给出 $\Pi(q)=-(q-1)(q-9)$，故非负利润出现在 $[1,9]$。配方得 $\Pi(q)=16-(q-5)^2$，确立可行区间内 $q=5$ 处全局最大值为 $16$。独立求导得 $\Pi'=10-2q$，在 $5$ 前为正、之后为负。端点给出 $\Pi(0)=\Pi(10)=-9$，与全局结论一致。

不同表示高效回答不同问题：因式定位盈亏平衡水平，平方形式定位最优值，导数描述局部变化，它们不是互相竞争的答案。若只有整数产量有意义，必须另行检查整数可行性；此处 $5$ 已是整数。收入最大值则在 $q=6$，$R(6)=36$，说明“最大化收入”和“最大化利润”不可互换。

12.2 变化率、累积总量与非初等反函数

考虑假设处理速率 $r(t)=(t+1)e^{-t}$，其中 $t\ge0$、$t$ 以小时计，速率单位与之相容。到时间 $T$ 的处理总量为

$$A(T)=\int_0^T(t+1)e^{-t}\,dt=2-(T+2)e^{-T}.$$

推导时分部积分得 $\int t e^{-t}dt=-(t+1)e^{-t}$；加上 $\int e^{-t}dt=-e^{-t}$ 得 $-(t+2)e^{-t}$。端点相减得到所示总量，求导恢复 $A'=r$ 作为检验。

速率为正，故 $A$ 严格递增。由于 $(T+2)e^{-T}>0$，有 $A(T)<2$。指数项最终压倒线性因子，可由第 11 章练习 11 的界论证，故 $A(T)\to2$。因此值域为 $[0,2)$，该范围内每个总量有唯一反向时间。目标总量 $2$ 没有有限解。

反函数存在，但未必能用这里教授的初等函数表达。解 $A(T)=1$ 得 $(T+2)e^{-T}=1$，取对数得到 $\ln(T+2)-T=0$。变量同时出现在对数和线性项中；取对数没有将其分离。计算 $A(1)\approx0.896$、$A(2)\approx1.459$，由连续性和单调性将唯一解夹在一至两小时之间。证明存在、唯一及给出有用区间不需要精确公式。

12.3 周期性水平与周期性变化率

假设每周工作量指数按月观察，令

$$Q(t)=100+20\cos(\pi t/6),\qquad0\le t\le12.$$

周期为 $12$ 个月，值域为 $[80,120]$，并且

$$Q'(t)=-\frac{10\pi}{3}\sin(\pi t/6),\qquad Q''(t)=-\frac{5\pi^2}{9}\cos(\pi t/6).$$

水平从 $0$ 至 $6$ 个月下降，从 $6$ 至 $12$ 个月上升。在 $6$ 处最小为 $80$，两端点最大为 $120$。净变化为

$$Q(12)-Q(0)=\int_0^{12}Q'(t)\,dt=0.$$

这不同于 $\int_0^{12}Q(t)dt=1200$，后者单位为工作量指数乘月。若所指量是以每月任务数计的速率，后一个积分的单位则是任务数。代数不能决定哪种解释是原意；必须由模型定义给出。

12.4 分级综合练习

基础到核心迁移

1. 等差计划从 $10$ 项任务开始，每周增加 $2$ 项；等比计划从 $10$ 项开始，每周数量乘 $1.1$。求各自第五周水平和五周总量。哪些比较是水平，哪些是累积？
2. 使用二项式定理展开 $(1+h)^4$，再用 Bernoulli 不等式证明每个 $h\ge-1$ 满足 $(1+h)^4\ge1+4h$。当 $h$ 为负时，丢弃二项展开前两项之外的所有项能否证明后一个不等式？
3. 设 $S(t)=60(1-e^{-t/3})$，$t\ge0$。求值域、该值域上的反函数、前两阶导数，以及 $S=30$ 的时间。
4. 设报告指标在 $x\le0$ 时 $f(x)=x^2$，$x>0$ 时 $f(x)=\sin x$。从定义判断零处连续性与可微性。

综合

5. 对第 12.1 节利润模型加入容量限制 $0\le q\le4$。求最优可行利润，解释为什么只令导数为零不够。再对容量 $q\le4$、$q$ 为非负整数的情况重复。
6. 对 $g(x)=(x^2+2x)/(x^2+x-2)$，求最大实数定义域、截距、空点、竖直渐近线和水平渐近线，并给出每条竖直渐近线处的单侧符号。
7. 使用分部积分再作代数运算，计算 $\int_0^1x\ln(1+x)dx$。由 $\ln(1+x)\le x$ 给出简单上界，并检查精确答案。
8. 解释并修复三个错误：(a)“$x^2$ 在 $\mathbb R$ 上的反函数是 $\sqrt x$”；(b)“$\lim_{h\to0}\sin(5h)/h=1$”；(c)“$\int_0^1x e^{x^2}dx=e+C$”。

12.5 完整解答与方法说明

1. 等差第五项为 $10+4(2)=18$，总和为 $5(10+18)/2=70$。等比第五项为 $10(1.1)^4=14.641$，总和为 $10[(1.1)^5-1]/0.1=61.051$。比较 $18$ 与 $14.641$ 是比较单周水平；比较 $70$ 与 $61.051$ 是比较五周累积。增长按比例发生，并不意味着等比计划最初就必须超过等差计划。

2. 展开为 $1+4h+6h^2+4h^3+h^4$。第 6 章的 Bernoulli 不等式直接证明 $h\ge-1$ 上的界。对负 $h$，三次项为负，故未经论证逐项丢弃所有额外项不合法。正确的直接检查将余项分组为 $h^2(h^2+4h+6)=h^2[(h+2)^2+2]\ge0$；实际上这证明此四次幂不等式对所有实数 $h$ 成立。

3. 值域为 $[0,60)$。解 $s=60(1-e^{-t/3})$ 得 $t=-3\ln(1-s/60)$，其中 $0\le s<60$。导数为 $S'=20e^{-t/3}>0$、$S''=-(20/3)e^{-t/3}<0$。当 $s=30$，$t=3\ln2$。水平增加而变化率下降；极限水平 $60$ 在有限时间内不会取得。

4. 由正弦连续性，左右极限均为零；$f(0)=0$，故连续。在零处，$h<0$ 时差商为 $h$，$h>0$ 时为 $\sin h/h$。两者极限为 $0$ 和 $1$，因此双侧导数不存在。

5. 在 $[0,4]$ 上，$\Pi'=10-2q\ge2>0$，故利润递增。最大值在 $q=4$ 处，值为 $40-16-9=15$。驻点输入 $5$ 不可行。此例中整数可行性不改变结果，因为 $4$ 是允许的整数端点；其他模型中非整数容量或驻点需要单独比较整数。

6. 分解得 $g(x)=x(x+2)/[(x+2)(x-1)]$。原定义域排除 $-2,1$，在那里化简式为 $x/(x-1)$。唯一截距为 $(0,0)$；$-2$ 被排除，故不是根。$(-2,2/3)$ 是空点，$1$ 处为竖直渐近线。由于 $g=1+1/(x-1)$，在 $1$ 处左极限为 $-\infty$、右极限为 $+\infty$。两端水平渐近线为 $y=1$。

7. 令 $u=\ln(1+x)$、$dv=x\,dx$，分部积分得到

   $$\int_0^1x\ln(1+x)dx=\tfrac12\ln2-\tfrac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}dx.$$

   除法得 $x^2/(1+x)=x-1+1/(1+x)$，其积分为 $1/2-1+\ln2=\ln2-1/2$。因此精确答案为 $1/4$。当 $x\ge0$，面积定义给出 $\ln(1+x)\le x$，故原积分至多为 $\int_0^1x^2dx=1/3$。正的精确值 $1/4$ 符合此界。

8. (a) 平方在 $\mathbb R$ 上不单射。在限制定义域 $[0,\infty)$ 上，它在 $[0,\infty)$ 上的反函数是 $\sqrt x$；在 $(-\infty,0]$ 上反函数为 $-\sqrt x$。(b) 将商写成 $5[\sin(5h)/(5h)]$，在弧度输入下极限为 $5$。(c) 换元 $u=x^2$ 带来因子 $1/2$，积分界从 $0,1$ 变为 $0,1$；值为 $(e-1)/2$。定积分是数，不带任意 $C$。

总结：可靠的解题流程

计算前先转换问题：识别输入集合、单位、模型假设及所求输出。有意识地选择表示：用因式求根、用平方形式确定全局二次界、用反函数处理反向问题、用导数求变化率、用积分求累积变化。然后检查定义域、端点、符号与尺度。连续模型之后可能还需要检查整数可行性。反函数可以存在而没有初等公式，有限的极限水平也可能在实际值域之外。