三角学、几何与周期模型

学习目标与准备

本章以第 1 章的函数、方程与二次函数为基础，发展角度和周期函数作为定量工具。你将区分角度与弧度、在定义域内使用三角恒等式、在完整区间内求解方程，并在三角形和反函数问题中选择正确分支。

2.1 弧度、圆与基本恒等式

角的弧度值是有向弧长除以圆半径。因此一整圈是 $2\pi$ 弧度，$\theta$ 度等于 $\pi\theta/180$ 弧度。单位圆上的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$，故 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$。

正弦和余弦对所有实角有定义，以 $2\pi$ 为周期。正切是它们的商 $\sin\theta/\cos\theta$，须排除 $\theta=\pi/2+k\pi$，其中 $k\in\mathbb Z$，其周期为 $\pi$。除以三角表达式可能丢失该表达式为零处的解，就像代数方程中除以未知数会丢失零解一样。

例 1：弧与弦。 半径为 $10$ 米的圆上，$60^\circ=\pi/3$ 弧度的角对应弧长 $10\pi/3$ 米。直线弦长为 $2(10)\sin(\pi/6)=10$ 米。两者连接相同端点，但距离不同。

加法公式为

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$ $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

证明

我们采用旋转的几何事实：绕原点的旋转保持距离与平面定向（顺、逆时针次序），并且对坐标分量是线性的。令 $R_\alpha$ 表示逆时针旋转 $\alpha$。由单位圆，两个坐标基向量分别旋转为

$$R_\alpha e_1=(\cos\alpha,\sin\alpha)^T,\qquad R_\alpha e_2=(-\sin\alpha,\cos\alpha)^T.$$

由线性性，它对角为 $\beta$ 的点的作用为

$$R_\alpha(\cos\beta,\sin\beta)^T =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)^T.$$

从几何上看，连续旋转的角度相加，所以同一点也是 $(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))^T$。比较坐标即证明两个恒等式，而无需预先使用它们。令 $\beta=\alpha=\theta$，得到 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 和 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$。恒等式对定义域内每个输入成立；方程询问哪些输入使特定等式成立。

特别地，$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$、$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$。三角恒等式对所有允许输入均成立，并不是需要单独求解的方程。

2.2 方程与反函数主值

周期性的正弦函数在整条实线上不是单射；把它限制在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 上，就得到反函数 $\arcsin:[-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2]$。类似地，$\arccos$ 取值于 $[0,\pi]$，$\arctan$ 取值于 $(-\pi/2,\pi/2)$。

对 $c\in[-1,1]$，令 $\alpha=\arcsin c$，正弦方程的全部解为 $\theta=\alpha+2k\pi$ 或 $\theta=\pi-\alpha+2k\pi$，其中 $k\in\mathbb Z$。区间限制从中选出允许的解。反函数主值给出方便的参数化，但不是完整的周期解集。

例 2：关于余弦的二次方程。 在 $0\le\theta<2\pi$ 上解 $2\cos^2\theta-3\cos\theta+1=0$。分解得到 $(2\cos\theta-1)(\cos\theta-1)=0$，所以余弦值为 $1/2$ 或 $1$。解为 $\pi/3$、$5\pi/3$ 和 $0$；端点 $2\pi$ 被排除。若把方程除以 $\cos\theta-1$，会丢失真正的零解。

例 3：反函数分支的陷阱。 $\arcsin(\sin(5\pi/6))=\pi/6$，因为正弦值为 $1/2$，反函数输出必须位于 $[-\pi/2,\pi/2]$。若返回 $5\pi/6$，就是忽略了函数指定的值域。

2.3 三角形几何与歧义

在三角形中，边长 $a,b,c$ 分别与角 $A,B,C$ 相对，余弦定理为

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$

将长度为 $b,c$ 的两边视作向量，其端点分别为 $(b,0)$ 和 $(c\cos A,c\sin A)$。端点间距离的平方为 $(b-c\cos A)^2+(c\sin A)^2$，化简即得该公式。

面积为 $\Delta=bc\sin A/2$。用其他两对边角表示面积，得到非退化三角形的正弦定理 $a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C$。

例 4：两边与夹角。 若 $b=5$、$c=7$、$A=60^\circ$，则 $a^2=25+49-70(1/2)=39$，故 $a=\sqrt{39}$；面积为 $(35/2)(\sqrt3/2)=35\sqrt3/4$。长度和面积均取几何上的正值。

已知两边与非夹角时，可能存在两个三角形。若 $a=7$、$b=10$、$A=30^\circ$，正弦定理给出 $\sin B=5/7$。无论取 $B=\arcsin(5/7)$ 还是 $B=\pi-\arcsin(5/7)$，减去 $A$ 后第三个角都仍为正。没有其他信息时，单次反正弦计算不能选出唯一三角形。若算出的正弦值超过一，则不存在实三角形。

2.4 周期定量模型

对 $f(t)=m+A\cos(\omega t+\phi)$，其中 $A,\omega$ 均非零，中线为 $m$、振幅为 $|A|$、周期为 $T=2\pi/|\omega|$，值域为 $[m-|A|,m+|A|]$。若模型量不能为负，须保证值域符合此限制，或限制模型适用的时间。

时间变量与角频率必须采用相容单位，使角度参数无量纲。从月改为年时，频率的数值也改变，不是仅给同一输入改个名称。

例 5：合并两个季节分量。 设

$$Q(t)=120+20\cos(\pi t/6)-15\sin(\pi t/6),$$

其中 $t$ 以月计。选取 $\phi\in(0,\pi/2)$，使 $\cos\phi=4/5$、$\sin\phi=3/5$。由加法恒等式得 $Q(t)=120+25\cos(\pi t/6+\phi)$。周期为 $12$ 个月，值域为 $[95,145]$，零时的值为 $140$。在非负时间的首次最大值出现在 $t=12-6\phi/\pi$，而非零。相位改变出现时间，不改变振幅或周期。

非负周期图像若未指定支撑和归一化，就不能直接视为概率密度。

2.5 坐标与方位角

长度为 $R$、从水平正方向逆时针量得角 $\theta$ 的有向位移，分量是 $(R\cos\theta,R\sin\theta)$。若方位角从北向顺时针量起，则采用不同约定：东、北分量分别为 $(R\sin\beta,R\cos\beta)$。计算前应先说明约定。

例 6：测量方向。 长度 $10$、方位角 $30^\circ$ 的路径，其东向分量为 $10\sin30^\circ=5$，北向分量为 $10\cos30^\circ=5\sqrt3$。若 $30^\circ$ 改从正东方量起，这两个分量会互换；公式变化的原因是参考方向改变。

2.6 分级练习

基础

1. 将 $150^\circ$ 化为弧度，并将 $7\pi/6$ 弧度化为角度。
2. 半径为 $4$ 的圆上，求 $90^\circ$ 角对应的弧长和弦长。
3. 写出所有使 $\tan\theta$ 无定义的实输入。

核心

4. 在 $0\le x<2\pi$ 上解 $\sin(2x)=0$。
5. 利用主值范围计算 $\arccos(\cos(4\pi/3))$。
6. 三角形两边长为 $3,4$，夹角为直角；用一般公式求第三边及面积。
7. 求 $f(t)=7-2\sin(\pi t/4)$ 的中线、振幅、值域与周期。
8. 将 $8\cos t+6\sin t$ 写为 $R\cos(t-\delta)$，其中 $\delta$ 位于第一象限，并给出其正弦与余弦。

综合

9. 某三角形拟满足 $a=3$、$b=8$、$A=30^\circ$。用正弦定理判断它是否存在，并解释为什么反正弦计算无法补救。
10. 一条长度为 $20$ 的路径，方位角从北向顺时针量为 $120^\circ$。求东、北分量，并验证分量长度为 $20$。

2.7 完整解答

1. $150^\circ=5\pi/6$ 弧度；反过来，$7\pi/6$ 弧度等于 $210^\circ$。
2. 角为 $\pi/2$ 弧度，故弧长为 $4(\pi/2)=2\pi$，弦长为 $2(4)\sin(\pi/4)=4\sqrt2$。
3. 正切在余弦为零处无定义：$\theta=\pi/2+k\pi$，其中 $k$ 是整数。
4. $2x=k\pi$，其中 $k\in\mathbb Z$，故 $x=k\pi/2$。四个允许的值为 $0,\pi/2,\pi,3\pi/2$。
5. $4\pi/3$ 处的余弦为 $-1/2$；在 $[0,\pi]$ 中具有该余弦的角为 $2\pi/3$。
6. 余弦定理得 $a^2=3^2+4^2-2(3)(4)\cos(\pi/2)=25$，故第三边为 $5$；面积为 $(1/2)(3)(4)\sin(\pi/2)=6$。
7. 中线 $7$、振幅 $2$、值域 $[5,9]$、周期 $2\pi/(\pi/4)=8$ 个时间单位。
8. $R=\sqrt{64+36}=10$，其中 $\cos\delta=4/5$、$\sin\delta=3/5$。展开 $10\cos(t-\delta)$ 可得原式。
9. 正弦定理要求 $\sin B=b\sin A/a=8(1/2)/3=4/3>1$。没有实角的正弦值为此数，故不存在这样的三角形。输入超出定义域时主值反函数无定义；改变分支也无法创造有效的正弦值。
10. 东向分量为 $20\sin120^\circ=10\sqrt3$，北向分量为 $20\cos120^\circ=-10$。北向分量为负表示向南运动；长度为 $\sqrt{300+100}=20$。

总结与后续联系

角度需要单位和参考方向。反函数分支不会消除周期性解；三角形数据可能有歧义，也可能不可能实现。恒等式给出精确关系，而相位、振幅和频率描述周期模型的不同特征。分量坐标为向量与矩阵作准备，弧度函数为后续求导作准备。