8. 多项式因式分解与图像

学习目标与准备

多项式图像受其因式、重数、首项和连续性约束。本章联系这些结构，而不是把图像描绘当作猜测。你将推导余式定理和因式定理，分解选定的实多项式，并建立有依据的符号和形状描述。第 1 章已推导二次根与顶点；第 7 章从函数角度说明定义域和图像变换。

8.1 结构与次数

实多项式是有限表达式

$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0,$$

具有实系数和非负整数指数。若 $a_n\ne0$，次数为 $n$，$a_n$ 是首项系数。按本章约定，零多项式没有次数；非零常数次数为零。$x^{-1}$ 或 $\sqrt x$ 等表达式不是 $x$ 的多项式。

对非零多项式 $P,Q$，乘积首项是首项之积，所以 $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$。在和中首项可能相消：$(x^3+x)+(-x^3+2)=x+2$ 的次数是一而不是三。

一些有用恒等式为

$$u^2-v^2=(u-v)(u+v),$$ $$u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2),$$ $$u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2).$$

通过相乘可验证。尝试更复杂的方法之前应先提出公因子。在实数上 $x^2+1$ 没有一次因子，因为对每个实数 $x$ 它的值均为正。因式分解总有背景系数域；本章使用实数。

8.2 除法、余式与根

对多项式 $P$ 和非零多项式 $D$，除法产生多项式 $Q,R$，满足

$$P=DQ+R,\qquad R=0\text{ or }\deg R<\deg D.$$

算法反复减去消去当前最高次项的 $D$ 的倍数。每次减法降低该次数，故有限步后停止。唯一性来自：两个表示会给出 $D(Q_1-Q_2)=R_2-R_1$。若 $Q_1-Q_2$ 非零，左边次数至少为 $\deg D$，右边次数更小，不可能。

对 $D=x-c$，余式是常数。代入 $x=c$ 得 $P(c)=R$，证明余式定理。特别地，$P(c)=0$ 当且仅当 $x-c$ 整除 $P$，即因式定理。

例 1——找根并保留商。 对

$$P(x)=x^3-2x^2-5x+6,$$

有 $P(1)=0$。除以 $x-1$ 得 $x^2-x-6$，因此

$$P(x)=(x-1)(x-3)(x+2).$$

三个不同的根为 $-2,1,3$。展开结果可验证分解并发现符号错误；只猜出根还不足以论证完整乘积。

次数为 $n$ 的非零多项式至多有 $n$ 个不同实根。证明时用因式定理提出一个实根，其他不同根都为次数减一的商的根。对次数归纳，从无根的非零常数开始。这是上界，不保证有 $n$ 个实根。

对首项系数为 $a_n$、常数项 $a_0\ne0$ 的整数系数多项式，任何满足 $q>0$ 的最简有理根 $p/q$ 必须满足 $p$ 整除 $a_0$、$q$ 整除 $a_n$。将 $P(p/q)=0$ 乘以 $q^n$，所得整数方程模 $p$ 化简给出 $p\mid a_0q^n$，由 $p,q$ 互素得 $p\mid a_0$；模 $q$ 化简同理得 $q\mid a_np^n$，从而 $q\mid a_n$。这限制候选值，不保证任何候选值是根。

8.3 重数与符号变化

若

$$P(x)=(x-c)^mQ(x),\qquad Q(c)\ne0.$$

则根 $c$ 的重数为 $m\ge1$。由于 $Q$ 连续且在 $c$ 非零，其符号在充分小邻域内不变。若 $m$ 为奇数，$(x-c)^m$ 穿过 $c$ 时变号，$P$ 也变号；若 $m$ 为偶数，则不变号，图像接触轴而不穿过。更高重数也使图像更平：求导产生因子 $(x-c)^{m-1}$，所以 $m\ge2$ 时根处斜率为零。“穿过”与“斜率非零”并不等价：$x^3$ 在零处穿过但切线水平。

例 2——含重根的符号表。 对 $P(x)=(x+2)(x-1)^2$，平方因子除 $1$ 外均为正。因此 $P<0$ 在 $(-\infty,-2)$ 上，$P>0$ 在 $(-2,1)$ 和 $(1,\infty)$ 上，零点为 $-2,1$。故 $P(x)\le0$ 的解为 $(-\infty,-2]\cup\{1\}$。符号表不能丢弃接触根处的孤立零点。

8.4 首项决定端部行为

对非零 $n$ 次多项式，

$$\frac{P(x)}{a_nx^n}=1+\frac{a_{n-1}}{a_nx}+\cdots+\frac{a_0}{a_nx^n}\longrightarrow1 \quad\text{as }x\to\pm\infty.$$

每个倒数幂都趋于零。因此当 $n\ge1$，在两个方向足够远处，$P$ 与首项同号且绝对值无界。正首项偶次图像两端上升，负首项偶次图像两端下降。正首项奇次图像左降右升，负首项奇次图像相反。非零常数是水平直线，而不是无界尾部。

连续性填补重要逻辑空隙。两个输入之间变号，由介值定理迫使中间有根。但偶重根不迫使变号，所以变号搜索可能遗漏根。

例 3——有依据的三次图像。 对 $P(x)=(x+2)(x-1)^2=x^3-3x+2$：

• 截距为 $(-2,0)$、$(1,0)$ 和 $(0,2)$。
• 根 $-2$ 为单根并穿过，根 $1$ 为二重根并接触。
• 首项为 $x^3$，故图像左降右升。
• 使用第 4 章的幂法则，$P'(x)=3(x-1)(x+1)$。在 $-1,1$ 分出的区间上，其符号依次为 $+,-,+$。
• 因此图像上升至 $(-1,4)$，下降至 $(1,0)$，之后上升。这两点分别为局部最大与局部最小，而不是整个 $\mathbb R$ 上的全局极值。

这些性质无需绘图软件即可确立。图画应与其一致，而不是用来证明它们。

8.5 变换与非唯一图像

对 $y=A P(B(x-h))+k$（$A,B\ne0$），水平位移为 $h$，竖直位移为 $k$。水平长度比例为 $1/|B|$，不是 $|B|$；负 $B$ 表示关于平移后的竖直轴反射。负 $A$ 反转竖直方向。将变换视作复合有助于保持次序。

例 4——变换后的四次幂。 对 $Q(x)=16-(x-2)^4$，最大值为 $16$，在 $x=2$ 处取得，因为四次幂非负。图像关于 $x=2$ 对称，零点为 $0,4$，两端趋于负无穷。值域为 $(-\infty,16]$。零点是单根：在每个零点附近值都变号。指数四描述中心 $x=2$ 附近的行为，不是根 $0,4$ 的重数。

变号本身只证明重数为奇数，并不证明是单根；$x^3$ 就是该推断的反例。对这个特定 $Q$，使用精确分解

$$Q(x)=\bigl(4-(x-2)^2\bigr)\bigl(4+(x-2)^2\bigr)=x(4-x)\bigl(4+(x-2)^2\bigr).$$

在 $x=0$，其他因子之积为 $(4-0)(4+4)=32\ne0$；在 $x=4$，写成 $Q(x)=-(x-4)x(4+(x-2)^2)$，其他因子之积为 $-32\ne0$。因此由重数定义，两根的重数都恰好为一。

仅有根不能唯一确定多项式。$(x-1)(x+2)$ 和 $5(x-1)(x+2)$ 有相同根，$(x-1)^2(x+2)$ 则改变重数和次数。首项系数、重数与其他数值区分它们。同样，正确符号表本身不能定位每个转折点。

8.6 分级练习

基础

1. 判断哪些是多项式，适用时写出次数：$3x^4-2$、$x+1/x$、$7$、零多项式。
2. 在实数上完全分解 $x^4-16$。
3. 求 $2x^3+x-5$ 除以 $x+1$ 的余式。

核心

4. 已知 $x=-1$ 是根，分解 $x^3-4x^2+x+6$。
5. 对 $P(x)=-(x+1)^2(x-3)^3$，给出根的重数、穿过或接触行为，以及两端走势。
6. 解 $(x+1)^2(x-3)\ge0$。
7. 二次多项式的根为 $-2,3$，在 $0$ 处值为 $12$。求该多项式。
8. 求 $2x^3-3x^2-8x+12$ 的全部有理根，并在实数上分解。

综合

9. 对 $P(x)=x^3-3x$，求截距和驻点，分类驻点并说明尾部。
10. 证明非零奇次多项式至少有一个实根，并说明使用的连续性事实。偶次多项式必须有实根吗？
11. 构造一个五次多项式，在 $-1$ 有二重根，在 $2$ 有三重根，且在 $0$ 处值为 $8$。
12. 学生在 $R(x)=(x-1)(x+2)/(x-1)$ 中消去 $x-1$ 并画出整条直线 $y=x+2$。解释缺失的图像特征，以及 $x=1$ 是否为原函数的根。

8.7 完整解答

1. $3x^4-2$ 为四次。$x+1/x$ 不是 $x$ 的多项式。非零常数 $7$ 次数为零。按本章约定零多项式无次数。
2. $x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)$。最后的二次式无实根，也无实一次因子。
3. 除式为 $x-(-1)$，故余式为 $P(-1)=-2-1-5=-8$。
4. 除以 $x+1$ 得 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$，因此多项式为 $(x+1)(x-2)(x-3)$。
5. 根 $-1$ 为二重并接触；$3$ 为三重并以零斜率穿过。次数为五、首项系数为 $-1$：左端趋于 $+\infty$，右端趋于 $-\infty$。
6. 除 $-1$ 外，平方因子为正，故符号与 $x-3$ 相同。包括零点 $-1$ 和所有 $x\ge3$，答案为 $\{-1\}\cup[3,\infty)$。
7. 写 $P(x)=A(x+2)(x-3)$，则 $P(0)=-6A=12$，故 $A=-2$、$P(x)=-2x^2+2x+12$。
8. 分组：$x^2(2x-3)-4(2x-3)=(2x-3)(x^2-4)=(2x-3)(x-2)(x+2)$。全部根为 $3/2,2,-2$；三次排除其他不同根。
9. $P=x(x^2-3)$ 给出截距 $-\sqrt3,0,\sqrt3$。由 $P'=3(x^2-1)$，驻点输入为 $-1,1$。导数在 $[-1,1]$ 外为正、内部为负，故 $(-1,2)$ 为局部最大，$(1,-2)$ 为局部最小。三次首项使左端趋于 $-\infty$、右端趋于 $+\infty$。
10. 首项在充分大的正负输入处符号相反，选择符号相反的有限端点。多项式在两端之间的闭区间连续，介值定理给出零点。偶次不一定有根：$x^2+1>0$ 处处成立；也可能有根，例如 $x^2-1$。
11. 所需形式为 $A(x+1)^2(x-2)^3$，零处值为 $-8A=8$，故 $A=-1$。每个根处另一因子非零，因此重数恰为所需值。
12. 原定义域排除 $1$，因此直线在 $(1,3)$ 处有空点。函数在 $1$ 处无定义，该点不能是根；唯一根为 $-2$。如第 9 章所述，空点处极限存在且为 $3$。

总结与迁移

除法解释余式与因式定理。因式给出根和重数；奇重数穿过，偶重数接触。首项控制尾部，使用导数时可定位其他转折行为。连续性允许介值结论，但变号搜索不能发现每个重根。化简成多项式的有理表达式仍可能有不同定义域和图像。