1. 商业与社会科学模型的代数

学习目标与准备

本章为学习微积分之前的读者发展代数推理，预备知识包括有符号数运算、分数和基本百分数。你将学习把文字模型转化为方程、识别可行解、求解线性和二次问题，并用指数与对数比较增长。例子采用假设模型。

在模型指定的适用范围内，先陈述假设、求解，再用原来的单位解释结果。

1.1 数量、单位与百分比

变量表示可以改变的量，参数在一次计算中保持固定。函数为每个允许的输入指定一个输出。例如，$C(q)=120+8q$ 可表示生产 $q\ge0$ 单位时以元计的总成本；$120$ 是固定成本，系数 $8$ 的单位是每单位产量的元数。定义域可能还要限制，例如要求 $q$ 为整数或不超过产能。

百分比变化把差值与初始值比较：

$$\text{相对变化}=\frac{\text{新值}-\text{原值}}{\text{原值}},\qquad\text{原值}\ne0.$$

若正价格 $P$ 按比例 $r$ 上涨，其中 $0<r<1$，新价格为 $P(1+r)$。随后按比例 $r$ 下跌，得到 $P(1+r)(1-r)=P(1-r^2)$，而不是 $P$。两次百分比变化使用的基数不同。

例 1：还原折扣。 某价格减价 $20\%$ 后为 $72$。若原价为 $P$，则 $0.8P=72$，故 $P=90$。把 $72$ 增加 $20\%$ 只得 $86.4$，不能还原折扣。

指数数值是相对于参考值的比率。指数从 $120$ 升至 $132$，增加了 $12$ 个指数点，增幅却是 $10\%$。应区分水平之差与相对变化。

1.2 线性方程与盈亏平衡

仿射函数形如 $f(x)=mx+c$，图像是一条直线。斜率 $m$ 是输入每增加一个单位时输出的变化量。严格的数学术语中，“线性”要求 $c=0$；不过初等应用中也常把所有直线模型称为线性模型。

设产品每单位售价为固定的 $p$、单位生产成本为 $v$，固定成本为 $F\ge0$。收入、成本和利润为

$$R(q)=pq,\qquad C(q)=F+vq,\qquad \Pi(q)=(p-v)q-F.$$

若 $p>v$，盈亏平衡产量为 $F/(p-v)$。若 $p=v$，正的固定成本无法收回；若 $p<v$ 且 $F>0$，每个非负产量都亏损。使用公式时应分别检查这些情况。

例 2：整数可行性。 设 $p=18$、$v=11$、$F=500$。利润非负要求 $7q-500\ge0$，故 $q\ge500/7$。若只能生产整数件，达到盈亏平衡或盈利的最小产量是 $72$；其利润为 $4$，而生产 $71$ 件亏损 $3$。四舍五入并不是正确的决策规则：应取满足不等式的最小可行整数。

1.3 方程组与均衡

两个线性方程可表示两个同时成立的条件。代入和消元的每一步都可逆，因此这些变换保持解集。

例 3：简单市场模型。 每周需求量与供给量为

$$q_d=140-4p,\qquad q_s=20+2p.$$

假设 $p\ge0$、$q\ge0$，并假设模型在均衡附近适用。令 $q_d=q_s$ 得 $120=6p$，因此 $p=20$、$q=60$，两者都可行。

对一般方程组 $ax+by=u$、$cx+dy=v$，适当倍乘并消元得到 $(ad-bc)y=av-cu$。若 $ad-bc\ne0$，解为

$$x=\frac{du-bv}{ad-bc},\qquad y=\frac{av-cu}{ad-bc}.$$

代回得到 $a(du-bv)+b(av-cu)=u(ad-bc)$ 和 $c(du-bv)+d(av-cu)=v(ad-bc)$，因此两个方程均成立。任何解经消元均须满足这两个公式，所以解唯一。若该系数为零，两个方程可能重复，也可能不相容，须进一步判断。两个方程、两个未知数并不保证唯一解。

1.4 二次函数与可行定义域

二次函数为 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a\ne0$。配方得到

$$f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}.$$

这一恒等式无需微积分就能证明顶点公式。若 $a>0$，平方项非负，顶点是实数范围上的最小值点；若 $a<0$，则是最大值点。在受限区间上，顶点可能不可行，还须比较有关端点。

方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根为

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

前提是判别式非负。判别式为负时没有实根。

例 4：需求曲线下的收入。 设价格为 $p(q)=30-q/2$，可行产量为 $0\le q\le60$。收入为

$$R(q)=q\left(30-\frac q2\right)=450-\frac12(q-30)^2.$$

因此最大值为 $450$，在 $q=30$ 处取得，对应价格 $15$；该产量位于可行域内。若产能改为 $0\le q\le20$，则 $(q-30)^2$ 在 $q=20$ 处最小，可行的最大收入是 $400$，而非 $450$。

求解二次不等式时，可分解因式或找实根，再确定根之间的符号。例如，$(q-2)(q-5)\le0$ 在 $[2,5]$ 上成立。不能只把两个因式各自当作非正来判断乘积的符号：一个因式为正、另一个为负时，乘积也可以为负。

1.5 幂、指数与对数

几何增长模型为 $A_n=A_0(1+r)^n$，其中 $A_0>0$、$1+r>0$，$n$ 计数等长周期。连续时间指数模型为 $A(t)=A_0e^{kt}$。这些公式表达不同的增长假设，参数含义也不同。若时间以年计，$k$ 的单位为年$^{-1}$。

自然对数 $\ln$ 是 $e^x$ 的反函数，只对正输入有定义。当 $u,v>0$ 时有 $\ln(uv)=\ln u+\ln v$，当 $u>0$ 时有 $\ln(u^a)=a\ln u$。不存在把和的对数拆成各项对数的法则。

例 5：达到阈值的时间。 某计划的参与人数在达到容量之前按 $N(t)=200e^{0.08t}$ 建模，时间以年计。达到 $300$ 的时间满足

$$e^{0.08t}=\frac32\implies t=\frac{\ln(3/2)}{0.08}.$$

这是精确值，约为 $5.07$ 年；它有意义的前提是该指数近似在此之前一直适用。

比较正数时，由于 $\ln$ 递增，取对数保持不等号方向。若 $0<a<1$，则对 $0<r<1$，不等式 $a^n\le r$ 变成 $n\ln a\le\ln r$；除以负数 $\ln a$ 时不等号方向要反转。

1.6 分段规则与阈值计费

分段费率可对不同区间收取不同单价。设前 $100$ 个单位每个收费 $2$，超过 $100$ 的部分每单位收费 $3$。对于 $q\ge0$，

$$T(q)=\begin{cases}2q,&0\le q\le100,\\200+3(q-100),&q>100.\end{cases}$$

第二个公式包含第一档的费用，不是 $3q$。两分支在 $100$ 处趋于同一账单金额，因此该处没有跳跃。相反，若越过阈值会触发固定费用，账单会跳跃；模型应说明采用哪种规则。

例 6：由分段账单反求用量。 账单 $290$ 超过第一档总额 $200$，所以使用第二分支：$200+3(q-100)=290$，得到 $q=130$。答案满足 $q>100$。只解某个分支而忽略其条件，可能得到不可行的候选值。

1.7 分级练习

基础

1. 正价格先上涨 $25\%$，再下跌 $20\%$。总百分比变化是多少？用乘数解释。
2. 折后价 $136$ 比原价低 $15\%$。求原价。
3. 固定成本 $360$、单位成本 $9$、单位售价 $15$，求利润非负的最小整数产量。
4. 解方程组 $2x+y=11$、$x-y=1$，并验证两个方程。

核心

5. 需求为 $q=100-2p$，供给为 $q=10+p$。求模型的均衡并检查非负性。
6. 在 $0\le q\le40$ 上，不用微积分求 $R(q)=40q-q^2$ 的最大值；若产能为 $q\le15$，再求一次。
7. 解 $q^2-7q+10\le0$；若 $q$ 必须是整数，解释答案。
8. 设 $N(t)=500e^{-0.1t}$、$t\ge0$。求 $N=200$ 时的精确时间，并解释该时间为什么为正。

综合

9. 某服务前 $20$ 个单位每单位收费 $5$，之后每个额外单位收费 $3$，无固定费用。写出账单函数，计算 $35$ 个单位的费用，并由账单 $160$ 反求用量。
10. 某正数量每月乘以 $0.9$。求使其不超过原值一半的最小非负整数 $n$，解释不等号为何反向并检查相邻两个整数。

1.8 完整解答

1. 乘数为 $1.25(0.8)=1$，故总变化为 $0\%$。这次抵消是两种不同变动率的特殊情况；相同的非零百分比上涨与下跌不会相互抵消。
2. 若原价为 $P$，则 $0.85P=136$，因此 $P=160$。
3. 利润为 $(15-9)q-360=6q-360$，在 $q\ge60$ 时非负。最小整数产量为 $60$。
4. 两式相加得 $3x=12$，故 $x=4$、$y=3$。核对：$2(4)+3=11$ 且 $4-3=1$。
5. 令 $100-2p=10+p$，得 $p=30$、$q=40$。两者非负，需求与供给公式均给出 $40$。
6. $R(q)=400-(q-20)^2$，所以在 $[0,40]$ 上，最大值为 $400$，在 $20$ 处取得。在 $[0,15]$ 上，与 $20$ 的距离在 $15$ 处最小；最大值是 $400-25=375$。
7. 分解为 $(q-2)(q-5)\le0$。首项系数为正，表达式在两根之间及端点处非正，即 $q\in[2,5]$。若 $q$ 为整数，可取 $2,3,4,5$。
8. $e^{-0.1t}=2/5$，故 $t=-10\ln(2/5)=10\ln(5/2)$。由于 $5/2>1$，其对数为正，故时间为正；时间单位按模型的规定。
9. 当 $0\le q\le20$ 时，$T(q)=5q$；当 $q>20$ 时，$T(q)=100+3(q-20)$。在 $35$ 时，账单为 $145$。账单 $160$ 超过 $100$，使用上分支：$3(q-20)=60$，得 $q=40$，满足分支条件。
10. 要求 $0.9^n\le0.5$。取对数得 $n\ln0.9\le\ln0.5$。由于 $\ln0.9<0$，相除后得 $n\ge\ln0.5/\ln0.9\approx6.579$，最小整数为 $7$。直接计算有 $0.9^6=0.531441>0.5$ 和 $0.9^7=0.4782969\le0.5$。

总结与后续联系

使用单位区分数量与系数；可行定义域是模型的一部分。线性方程组表达同时成立的条件；配方可用于优化二次函数；对数可反解正的指数模型。百分比变化通过乘法复合，分段公式须保留分支条件。

后续联系。 代数函数与对数为微分和积分作准备，方程组为向量和矩阵作准备。连续模型与整数可行性的区别也用于后续优化。

本篇所用方法的证明

有限实数极限运算与等比数列：补全证明

使用有序实数、阿基米德性质、正整数归纳法及绝对值三角不等式。数列收敛至有限实数 $L$，是指每个 $\varepsilon>0$ 都有对所有 $n\ge N$ 有效的下标 $N$。

唯一性、有界性与子列。 若 $a_n\to L,M$ 且 $L\ne M$，在同一充分大下标使两误差均小于 $|L-M|/3$，三角不等式便给出 $|L-M|<2|L-M|/3$，矛盾。要证有界，令尾部 $|a_n-L|<1$，再取 $|L|+1$ 与有限个初始绝对值的最大值。对子列下标 $n_1<n_2<\cdots$，归纳给出 $n_k\ge k$，故原数列的每个尾部阈值最终也适用于子列。

和、数乘及积。 若 $a_n\to a$、$b_n\to b$，令两个输入误差均小于 $\varepsilon/2$，则

$$|(a_n+b_n)-(a+b)|\le|a_n-a|+|b_n-b|<\varepsilon.$$

对固定 $c\ne0$，使用输入容差 $\varepsilon/|c|$；$c=0$ 直接成立。取所有 $|b_n|$ 的一个上界 $B\ge1$，要求

$$|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2B},\qquad |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}.$$

在共同的后期阈值后，$|a_nb_n-ab|\le B|a_n-a|+|a||b_n-b|<\varepsilon$。

倒数与商。 若 $b\ne0$，先令 $|b_n-b|<|b|/2$，从而 $|b_n|>|b|/2$，分母非零。于是

$$\left|\frac1{b_n}-\frac1b\right|\le\frac{2|b_n-b|}{|b|^2}.$$

再要求 $|b_n-b|<\varepsilon|b|^2/2$，便证明倒数收敛。乘积法则继而给出 $a_n/b_n\to a/b$。可省略最初有限个无定义的商；收敛只约束尾部。

保序与夹逼。 若最终 $a_n\le b_n$ 且分别趋于 $a,b$，则 $a\le b$；否则将两误差限制在 $(a-b)/3$ 内会迫使 $a_n>b_n$。若最终 $a_n\le z_n\le b_n$，两端都趋于 $L$，令两端误差均小于 $\varepsilon$，就得到 $L-\varepsilon<z_n<L+\varepsilon$，所以 $z_n\to L$。无需事先知道中间数列有极限。

对相应的函数极限法则，固定共同的允许趋近定义域 $D\subseteq\mathbb R$，并设 $a$ 是 $D$ 的聚点：$a$ 的每个去心邻域都含 $D$ 中的点。设 $f,g:D\to\mathbb R$ 在 $a$ 有所述的有限相对定义域极限。将上述估计中的尾部阈值改为去心定义域半径，并取有限个正半径的最小值。乘积证明只需局部有界：由 $g(x)\to b$，充分小的去心 $D$ 邻域上有 $|g(x)|\le|b|+1$，即使它在 $D$ 的其他部分无界。相同估计证明和、数乘、积、倒数及商的法则，并保留极限分母非零的条件；相同保序及夹逼估计适用于共同趋近域。证明唯一性或排除不相容的极限次序时，聚点条件提供实际定义域点。

对复合，设 $B\subseteq\mathbb R$、$b\in B$，且 $F:B\to\mathbb R$ 在 $b$ 相对于 $B$ 连续。设 $g:D\to\mathbb R$ 趋于 $b$，并在 $a$ 的某个充分小去心 $D$ 邻域中处处满足 $g(x)\in B$。给定 $\varepsilon>0$，连续性给出 $\eta>0$，使 $u\in B$ 且 $|u-b|<\eta$ 蕴含 $|F(u)-F(b)|<\varepsilon$。$g$ 的极限与复合定义域条件提供共同正半径，令每个允许趋近的 $x$ 都满足两条件。因此 $F(g(x))\to F(b)$。这包括 $g(x)=b$ 的输入，不除以内层增量。

等比数列的分类。 对 $t\ge0$，Bernoulli 界 $(1+t)^n\ge1+nt$ 可由归纳证明：将 $n$ 的情形乘以正数 $1+t$，保留非负余项 $nt^2$。若 $0<q<1$，令 $t=q^{-1}-1>0$，则

$$0<q^n\le\frac1{1+nt}\longrightarrow0.$$

给定容差，由阿基米德性质选 $N$ 使右侧更小。因此 $0<|r|<1$ 时，由 $|r^n|=|r|^n$ 得 $r^n\to0$；$r=0$ 时所有正下标项为零。$r=1$ 时恒为一。$r=-1$ 时偶、奇子列分别为一和负一，由唯一性及子列继承性排除收敛。若 $r>1$，取 $t=r-1$，Bernoulli 给 $r^n\ge1+nt\to+\infty$。若 $r<-1$，同理 $|r^n|\to+\infty$，与收敛实数列必有界矛盾。这些情况穷尽所有实公比。

子列

定义

子列

$(x_n)$ 的子列是 $(x_{n_k})$，其中 $n_1<n_2<\cdots$ 为正整数。若 $x_n\to L$，每个子列都收敛至 $L$，因为 $n_k\ge k$，最终会超过任意指定下标。

定理

Bolzano–Weierstrass 定理

每个有界实数数列都有收敛子列。

证明

套叠区间证明

把所有项放入闭有界区间 $I_1$，并把它平分。至少一半含无穷多个数列项；选该半区间为 $I_2$。继续进行，得到长度趋零的套叠闭区间 $I_k$，每个都含无穷多项。选严格递增的下标 $n_k$ 使 $x_{n_k}\in I_k$；因每个区间含无穷多项，故可做到。完备性给出所有区间的一个共同点 $L$：左端点集合的上确界位于每个区间内，因为每个左端点都不超过每个右端点。由 $x_{n_k},L\in I_k$，二者距离不超过区间长度，故趋零。

结论是关于子列，而非整个数列。例如 $(-1)^n$ 有分别收敛至 $1$ 及 $-1$ 的常数子列，但自身不收敛。

实直线闭集：序列判据与开补集

在通常的经典集合论背景下讨论实直线，并允许可数次见证选择。集合 $U$ 为开集，是指每个 $y$ 属于 $U$ 都有某个 $r>0$，使 $(y-r,y+r)$ 包含于 $U$。使用阿基米德性质的推论：$1/n$ 趋于零。对任意实直线子集 $K$，下列条件等价：

1. $K$ 中任意在实直线上收敛的序列，其极限仍属于 $K$。
2. $K$ 的补集为开集。

由 2 推出 1。 设 $x_n$ 属于 $K$ 且 $x_n$ 趋于 $x$。若 $x$ 不属于 $K$，补集的开放性给出 $r>0$，使 $(x-r,x+r)$ 与 $K$ 不相交。收敛性保证充分靠后时 $|x_n-x|<r$，与 $x_n$ 属于 $K$ 矛盾，故 $x$ 属于 $K$。

由 1 推出 2。 固定不属于 $K$ 的 $y$。若以 $y$ 为中心的每个正半径区间都遇到 $K$，则对每个正整数 $n$，都有 $x_n$ 属于 $K$ 且 $|x_n-y|<1/n$。将这些见证选成一个序列。给定 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使 $1/N<\varepsilon$；当 $n\ge N$，有 $|x_n-y|<1/n\le1/N<\varepsilon$，故 $x_n$ 趋于 $y$。条件 1 会迫使 $y$ 属于 $K$，矛盾。因此 $y$ 周围存在避开 $K$ 的区间。对补集每点均如此，故补集开放。选择见证序列这一步使用已声明的经典背景；这里不声称在不带选择的基础体系中证明同一结论。若 $K$ 为空，其中没有序列，其补集为整个开实直线；若 $K$ 为整个实直线，其空补集的开放性真空成立。两种边界情形也满足等价关系。

学习目标与定义

集合 $K\subseteq\mathbb R$ 称为紧致的，如果任意一族开集只要其并包含 $K$，就存在有限个成员仍覆盖 $K$。集合若包含其点构成的每个收敛序列的极限，则称为闭集；等价地，其补集是开集。序列紧致性指 $K$ 中每个序列都有收敛到 $K$ 中某点的子列。

空集是紧致、闭且有界的，也满足序列紧致性；这些性质均以空真方式成立。在需要选取点或无穷序列的证明中，要单独处理空集。我们使用先前数列内容中的实数完备性及其闭区间套和 Bolzano–Weierstrass 推论。

定理：实数直线上的 Heine–Borel 定理

对 $K\subseteq\mathbb R$，下列条件等价：开覆盖意义下的紧致性；闭且有界；序列紧致性。

紧致推出闭且有界。 区间 $(-n,n)$（$n\ge1$）覆盖 $\mathbb R$，因而覆盖 $K$。有限子覆盖给出一个界。为证明闭性，取 $y\notin K$。对每个 $x\in K$，区间 $B(x,|x-y|/2)$ 不含 $y$。取其中覆盖 $K$ 的有限子族，令 $\delta$ 为这些区间中心到 $y$ 的正距离的一半所组成的有限集合的最小值。所选以 $x$ 为中心的区间内每点到 $y$ 的距离严格大于 $|x-y|/2\ge\delta$。因此 $B(y,\delta)$ 与 $K$ 不相交，因此对每个集合外的点，都找到不与集合相交的开邻域，补集是开集。若 $K$ 为空，结论立即成立。

闭且有界推出紧致。 将非空的 $K$ 放入闭有界区间 $I_0$。假设 $K$ 的某个开覆盖不存在有限子覆盖。将 $I_0$ 二等分；至少一个闭半区间与 $K$ 的交集不能被有限覆盖，否则两组有限覆盖合起来便覆盖 $K$。选取这样的半区间并重复，得到长度趋于零的闭区间套 $I_n$，且 $K\cap I_n$ 不能被有限覆盖。每个交集非空，选取 $x_n\in K\cap I_n$。闭区间套性质给出唯一公共点 $p$；因两者均在 $I_n$ 中，故 $x_n\to p$。由闭性得 $p\in K$。覆盖中某个成员 $O$ 含 $p$；由其开放性，$O$ 包含以 $p$ 为中心的某个开球。当 $n$ 足够大时，整个区间 $I_n$ 均在该球内，于是单个开集 $O$ 就覆盖 $K\cap I_n$，矛盾。

闭且有界推出序列紧致。 $K$ 中每个序列有界，故 Bolzano–Weierstrass 定理给出收敛子列。由闭性，其极限仍在 $K$ 中。

序列紧致推出闭且有界。 若无界，可选取 $x_n\in K$，使 $|x_n|>n$；它没有收敛到有限实数的子列，矛盾。若 $p$ 是 $K$ 中点的极限，则可选取 $x_n\in K$ 使 $|x_n-p|<1/n$。由序列紧致性，某子列收敛到 $K$ 中一点；它也收敛到 $p$，由实数极限唯一性得 $p\in K$。因此 $K$ 是闭集，所有蕴涵均已证明。

固定整数 $n\ge1$，在 $\mathbb R^n$ 上使用欧几里得范数。集合若包含在某个有限半径的球内，就称为有界；若补集是开集，就称为闭集；若它的每个由 $\mathbb R^n$ 中开集组成的覆盖都有有限子覆盖，就称为紧集。我们使用实数完备性，包括闭区间套性质。

有限维欧几里得空间的 Heine–Borel 定理

定理。 集合 $K\subseteq\mathbb R^n$ 紧致，当且仅当它闭且有界。空集具有这三种性质。

紧致推出有界。 开球 $B(0,m)$（整数 $m\ge1$）覆盖 $K$。取有限子覆盖后，$K$ 包含在其中最大的球内。

紧致推出闭。 设 $K\ne\varnothing$ 且 $y\notin K$。开球 $B(x,\|x-y\|/2)$（$x\in K$）覆盖 $K$。取中心为 $x_1,\ldots,x_r$ 的有限子覆盖，令 $\delta=\min_i\|x_i-y\|/2>0$。若 $z$ 在以 $x_i$ 为中心的所选球内，三角不等式给出 $\|z-y\|>\|x_i-y\|/2\ge\delta$。所以 $B(y,\delta)$ 不与 $K$ 相交，补集是开集。

闭且有界推出紧致。 设非空的 $K$ 闭且有界，把它包含在闭立方体 $Q_0=[-M,M]^n$ 内，其中 $M>0$。假设 $K$ 的某个开覆盖没有有限子覆盖。把每个坐标区间分成两个闭半区间，所得 $2^n$ 个闭子立方体覆盖 $Q_0$。至少一个子立方体与 $K$ 的交集不能由给定覆盖族有限覆盖；否则把有限多个有限子覆盖合并，就能覆盖 $K$。选取这样的子立方体并重复，得到闭立方体套 $Q_j$，其边长为 $2M/2^j$，且 $K\cap Q_j$ 不能被有限覆盖，因而非空。

对每个坐标使用闭区间套性质，得到公共坐标值；合起来得到 $p\in\bigcap_jQ_j$。$Q_j$ 中任意两点的距离不超过 $2M\sqrt n/2^j$，所以交集中只有 $p$。选取 $x_j\in K\cap Q_j$，则 $\|x_j-p\|\le2M\sqrt n/2^j\to0$。闭集包含这种极限：若 $p$ 在开补集中，$p$ 周围某个开球就会使最终的 $x_j$ 落在 $K$ 外，矛盾。因此 $p\in K$。

覆盖中有一个成员 $O$ 含 $p$，由开放性，存在 $\varepsilon>0$ 使 $B(p,\varepsilon)\subseteq O$。当 $j$ 足够大时，$Q_j$ 的每点到 $p$ 的距离都小于 $\varepsilon$，于是单个 $O$ 就覆盖 $K\cap Q_j$，与 $Q_j$ 的选取矛盾。因此每个开覆盖都有有限子覆盖。这里 $2^n$ 是有限数；若改成无限多个子块，这个论证就不再成立。

连续像与极值

定理。 若 $K\subseteq\mathbb R^n$ 紧致，且 $F:K\to\mathbb R^m$ 相对于 $K$ 连续，则 $F(K)$ 紧致。特别地，非空紧集 $K$ 上的连续函数 $f:K\to\mathbb R$ 有界，并达到最大值和最小值。

证明。 $F(K)$ 的开覆盖 $(O_i)$ 的原像是相对开集 $F^{-1}(O_i)=K\cap U_i$，其中 $U_i$ 在 $\mathbb R^n$ 中开。这些 $U_i$ 覆盖 $K$，所以有限多个足够。对应的 $O_i$ 覆盖 $F(K)$，证明了像的紧致性。对标量函数 $f$，由已证明定理的一维情形，其像非空、闭且有界。令 $a=\sup f(K)$。对每个 $j\ge1$，由上确界定义，可取 $y_j\in f(K)$ 使 $a-1/j<y_j\le a$。于是 $y_j\to a$，闭性使 $a$ 属于像，所以最大值可达。对 $-f$ 使用同一论证即得最小值。该结论证明存在性，而不提供极大点的计算公式。

一致连续

定义

整个定义域共用一个 delta

若对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使所有 $x,y\in A$ 只要满足 $|x-y|<\delta$，便有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，则称 $f:A\to\mathbb R$ 在 $A$ 上一致连续。$\delta$ 可依赖 $\varepsilon$，但不可依赖 $x$ 或 $y$。

定理

Heine–Cantor 定理

紧致集合上的每个连续实值函数都一致连续。

证明

用紧致性作反证

若非一致连续，则存在 $\varepsilon_0>0$，使每个 $n$ 都有 $x_n,y_n\in K$，满足 $|x_n-y_n|<1/n$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0$。紧致性给子列 $x_{n_k}\to x\in K$；由两点距离趋零，也有 $y_{n_k}\to x$。连续性给 $f(x_{n_k})\to f(x)$ 及 $f(y_{n_k})\to f(x)$，与输出距离至少为 $\varepsilon_0$ 矛盾。

例题

无界定义域上连续但非一致连续

$f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上连续，但不一致连续。取 $x_n=n$、$y_n=n+1/n$，则 $|x_n-y_n|=1/n\to0$，但 $|f(y_n)-f(x_n)|=2+1/n^2\not\to0$。在任何闭有界区间上，Heine–Cantor 定理却保证一致连续。也可直接证明：若 $|x|,|y|\le M$，则 $|x^2-y^2|\le2M|x-y|$。

学习目标与定义

推导可积性结论背后的证明，并区分有界与可积。设 $a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。对分割 $P:a=x_0<\cdots<x_n=b$，记 $m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f$、$M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f$，并定义 $L(f,P)=\sum m_i\Delta x_i$、$U(f,P)=\sum M_i\Delta x_i$。下积分 $\underline I$ 是所有下和的上确界，上积分 $\overline I$ 是所有上和的下确界。加细分割使下和不减、上和不增。

对任意两个分割 $P,Q$，由其公共加细得 $L(f,P)\le U(f,Q)$，故 $\underline I\le\overline I$。有界性保证这些量有限。上下积分相等时，称函数 Riemann 可积。

定理：Darboux 判据

有界函数可积，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$ 都存在分割，使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

证明。 若上下积分均等于 $I$，由上下确界逼近性质，取一个大于 $I-\varepsilon/2$ 的下和及一个小于 $I+\varepsilon/2$ 的上和。它们的公共加细的上下和之差小于 $\varepsilon$。反之，若对每个正的 $\varepsilon$ 都有这样的分割，则不等式 $0\le\overline I-\underline I\le U(f,P)-L(f,P)$ 迫使上下积分之差为零。

证明

为何连续性足够

紧致区间上的连续函数一致连续。给定 $\varepsilon>0$ 且 $b>a$，选 $\delta$，使距离小于 $\delta$ 的点，其函数值之差小于 $\varepsilon/(2(b-a))$。取网格小于 $\delta$ 的分割，每个子区间的振幅至多为该界，故 $U-L<\varepsilon$。由达布判据可积。当 $a=b$，约定积分为零。

有界常义黎曼积分：网格等价及基本性质

设有限实数 $a<b$，且 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 有界。对分割 $P$，以下用 $L(f,P),U(f,P)$ 表示 Darboux 下和、上和。使用实数完备性及已证明的 Darboux 判据：上下积分相等当且仅当 $U-L$ 可任意小。本段不要求 $f$ 连续。

Darboux 推出所有细网格标签和收敛。 设 Darboux 积分为 $I$。给定 $\varepsilon>0$，固定一个分割 $P_0$，其差小于 $\varepsilon/2$。取 $M>0$ 使 $|f|\le M$，设 $P_0$ 有 $k$ 个内部分点。对任意另一分割 $P$，将闭包包含这些分点之一的小区间标为坏区间。每个分点至多属于两个小区间，所以坏区间总长至多 $2k\|P\|$。其余好区间均位于某个 $P_0$ 小区间内。好区间的振幅和贡献不超过 $P_0$ 的差，坏区间贡献至多 $2M(2k\|P\|)$。因此

$$U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon/2+4Mk\|P\|.$$

取 $\|P\|<\varepsilon/[8M\max(1,k)]$。每个标签和 $S(P)$ 与 $I$ 均在 $L(f,P),U(f,P)$ 之间，故 $|S(P)-I|<\varepsilon$，且与标签选择无关。

反方向。 假设所有充分细标签和都与同一有限数 $I$ 相差小于 $\eta$。固定一个这样的细分割。每个小区间的上确界、下确界都能由实际函数值以小于 $\eta/(b-a)$ 的误差逼近。由此选出的上逼近标签和大于 $U(f,P)-\eta$，下逼近和小于 $L(f,P)+\eta$，所以 $U(f,P)<I+2\eta$、$L(f,P)>I-2\eta$。由于 $\eta$ 可任意小，由 Darboux 判据可积。再用下和、上和夹住标签和，得积分恰为 $I$。这个论证不需要上下确界达到。

线性、常数与保序。 对可积的 $f,g$ 及实数 $\alpha,\beta$，在共同标签分割上有精确有限恒等式 $S(\alpha f+\beta g)=\alpha S(f)+\beta S(g)$。右侧极限存在，由刚证明的等价性，左侧函数可积且积分满足线性恒等式。常数函数 $c$ 的每个和均为 $c(b-a)$。若 $f\le g$，同标签的和保持该次序，极限也保持。故当 $|f|\le M$ 时，$|\int f|\le M(b-a)$。

绝对值。 由反三角不等式，在每个小区间 $J$ 上有 $\operatorname{osc}_J|f|\le\operatorname{osc}_J f$：将 $||f(x)|-|f(y)||\le|f(x)-f(y)|$ 应用于实际点，再逼近上下确界即可。因此 $|f|$ 的每个 Darboux 差不超过 $f$ 的差，故 $|f|$ 可积。由于 $-|f|\le f\le|f|$，由保序与线性得 $|\int_a^b f|\le\int_a^b|f|$。

限制与区间可加性。 对 $a<c<b$，将任意小差分割加上分点 $c$。$[a,c]$ 与 $[c,b]$ 的非负差之和为加细后整段的差，所以各自都可任意小，两段限制均可积。将两段网格趋零的分割接合，整段标签和精确等于两段标签和之和。取三个极限，得 $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$。反之，若两段有界可积，各选差小于 $\varepsilon/2$ 的分割并接合，整段差小于 $\varepsilon$，证明整段可积及同一恒等式。共享端点的函数值相同；任何单独端点都没有正的区间长度。规定同限积分为零、反限积分取负，再用区间拆分与相消，便把可加性推广到三个端点的每种次序。

这些证明支持累积、连续版本基本定理、分部积分和常义换元中使用的估计。这里只证明有界常义黎曼结论；奇点或无穷端点的积分仍需另行使用收敛定义。

定义

函数极限与连续性

假设 $f$ 在除 $a$ 以外任意接近 $a$ 的点有定义。若对每个 $\varepsilon>0$ 都有 $\delta>0$，使定义域内的 $0<|x-a|<\delta$ 蕴含 $|f(x)-L|<\varepsilon$，则写作 $\lim_{x\to a}f(x)=L$。若 $f$ 在 $a$ 有定义且极限等于 $f(a)$，则 $f$ 在 $a$ 连续。端点使用相应的单侧极限。

当定义域中从 $a$ 两侧都存在任意接近 $a$ 的点时，双侧极限存在当且仅当左右极限都存在且相等。多项式处处连续，有理函数在分母非零处连续；连续函数的和、积、分母非零的商及有定义的复合均连续。以弧度计，标准极限 $\lim_{x\to0}\sin x/x=1$ 支持后面的正弦导数。$+∞$ 和 $-∞$ 处的极限分别描述两个方向的行为；无穷并不是实数输入。

定理

中间值及极值

若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，它在该区间取得最大值及最小值。若 $y$ 介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，则存在 $c\in[a,b]$ 使 $f(c)=y$。极值结论依赖闭、有界和连续；只在开区间连续不保证取得极值。

证明

中间值定理的证明思路

假设 $f(a)<y<f(b)$，令 $S=\{x\in[a,b]:f(x)\le y\}$。该集合非空且有上界，故 $c=\sup S$ 存在。若 $f(c)<y$，连续性会使 $c$ 右侧附近的点也属于 $S$；若 $f(c)>y$，连续性又会使任意接近 $c$ 的 $S$ 中点的函数值大于 $y$，均矛盾。因此 $f(c)=y$。端点相等的情况直接成立，反向排列可用反向不等式处理。

学习目标与设定

将可微性理解为线性近似，处理链式法则中内层增量为零的情况，构造导数不连续的可微函数，并陈述局部可微反函数的充分条件。除非明确讨论端点，均假设函数定义在所论点的开邻域内。

在 $a$ 可微意味着差商有有限极限 $f'(a)$。等价地，

$$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+h\varepsilon(h),\qquad\varepsilon(h)\to0.$$

对非零 $h$ 定义误差商，并将其在零处的值设为零。这精确表达了切线近似的内容。令增量趋于零可得连续性；但单凭它不能给出数值误差常数或二阶导数界。

竖直斜率或单侧无穷斜率不是此定义下的有限导数。在定义域端点，可以单独定义并命名单侧导数，但不能悄悄把它等同于不存在的双侧导数。

1. 处理内层变化为零的链式法则证明

设 $g$ 在 $a$ 可微，$F$ 在 $b=g(a)$ 可微，且附近的复合有定义。写成

$$F(b+k)-F(b)=F'(b)k+k\eta(k),\qquad\eta(k)\to0,$$

并设 $\eta(0)=0$。令 $k=g(a+h)-g(a)=g'(a)h+h\varepsilon(h)$。由 $g$ 连续，$k\to0$。代入得

$$\frac{F(g(a+h))-F(g(a))}{h} =[F'(b)+\eta(k)][g'(a)+\varepsilon(h)]\longrightarrow F'(b)g'(a).$$

该证明从不除以 $k$；后者对无穷多个增量可能为零。常见的两个差商相乘证明在拟用分母为零时需要另作讨论，误差函数证明则自动包含此情形。

对商 $f/g$，条件 $g(a)\ne0$ 加上 $g$ 的连续性，给出满足 $|g(x)|>|g(a)|/2$ 的邻域。因此该商在局部有定义，导数公式才能得到论证。仅在最终答案中写出分母的平方，并不能证明这一局部定义域事实。

从常义面积对数建立自然指数

使用有限闭区间上连续函数的常义积分、已证明的可加性／保序／线性、实数完备性及阿基米德性质，以及介值定理。定义

$$L(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}\qquad(x>0),$$

上下限按方向理解。每个积分都是常义积分，因为其区间与零保持正距离。

连续且严格递增。 若 $0<u<v$，可加性与保序性给 $L(v)-L(u)=\int_u^vdt/t\ge(v-u)/v>0$。在固定 $a>0$ 附近要求 $x>a/2$，便有 $|L(x)-L(a)|\le(2/a)|x-a|$，无需对数导数即证连续。

由实际和式证明乘法公式。 固定 $u>0$，将 $1$ 与 $v>0$ 之间的带标签分割放大 $u$ 倍，网格与各宽度均乘 $u$，对应和满足

$$\sum_i\frac{u\Delta s_i}{u\xi_i}=\sum_i\frac{\Delta s_i}{\xi_i}.$$

两边都是连续常义被积函数的和，故所有细网格的极限相等。$v<1$ 时反转方向；$v=1$ 时直接为零。因此 $\int_u^{uv}dt/t=L(v)$，得到

$$L(uv)=L(u)+L(v).$$

特别地，$L(1)=0$、$L(1/u)=-L(u)$、$L(2^n)=nL(2)$。由于 $L(2)>0$，由阿基米德性质，后者无上界；倒数处的值无下界。给定实数 $y$，选正参数使 $L$ 分别低于、高于 $y$，由连续性及介值定理存在 $x>0$ 满足 $L(x)=y$；严格递增保证唯一。

建立并控制反函数。 定义 $E:\mathbb R\to(0,\infty)$ 为这个反函数，它严格递增且连续。证明 $y_0=L(a)$ 处连续时，取 $0<d<\min(a,\varepsilon)$。$L(a-d)<y_0<L(a+d)$ 有正的两侧间距。令 $|y-y_0|$ 小于两个间距，单调性迫使 $a-d<E(y)<a+d$，从而 $|E(y)-a|<\varepsilon$。乘法公式及唯一性给 $E(s+t)=E(s)E(t)$、$E(0)=1$、$E(-t)=1/E(t)$。定义 $e=E(1)>1$，并对 $a>0$ 定义 $a^t=E(tL(a))$。由 $L(E(z))=z$ 可得 $a^{s+t}=a^sa^t$ 和 $(a^s)^t=a^{st}$。整数指数等于重复相乘；有理指数 $m/n$（$n>0$）给出 $a^m$ 唯一的正 $n$ 次根。因此与初等正底数有理幂一致，并给出其连续实指数延拓。特别地 $E(t)=e^t$，面积对数就是其反函数 $\ln=L$。

无循环的导数证明。 对 $a>0$，在 $a$ 与 $a+h$ 之间的区间上，保留 $h$ 的符号与积分方向，$1/t$ 的平均值位于其最小、最大值之间；这两个界均趋于 $1/a$，所以

$$\frac{L(a+h)-L(a)}h\longrightarrow\frac1a.$$

对 $y_0=L(a)$ 和 $h\ne0$，令 $v=E(y_0+h)\ne a$。反函数连续性给 $v\to a$，并有

$$\frac{E(y_0+h)-E(y_0)}h =\left(\frac{L(v)-L(a)}{v-a}\right)^{-1}\longrightarrow a=E(y_0).$$

分母极限非零，故取倒数有效。这从常义面积与反函数连续性证明 $L'=1/x$、$E'=E$，没有洛必达法则，也不预设指数导数。链式法则再由 $x^r=E(rL(x))$ 得 $x>0$ 上 $(x^r)'=rx^{r-1}$，并对 $b>0$ 得 $(b^x)'=(\ln b)b^x$。$b=1$ 是常数一。这补上面积对数、反函数指数与实数幂记号之间的规范化及身份联系。