衰變、化學、生態與公共衛生中的模型

當變量、單位和假設與過程相符時，方法才有用。我們以示例參數將一階方程和耦合平衡應用於多個領域。第 2–6 節的物理模型取正向時間 $t\ge0$，初值在 $t=0$ 處指定。

1 一階齊次方程的兩種含義

對於系數 $p$ 連續的線性齊次方程 $y'+p(t)y=0$，正積分因子 $\mu=\exp(\int p)$ 給出 $(\mu y)'=0$，故 $y=C/\mu$；這是積分因子法的齊次情形。齊次一詞的另一常見用法是 $y'=F(y/t)$，其中 $F$ 在比值範圍上連續，同時縮放 $t,y$ 不改變右端。在 $t\ne0$ 的區間，令 $y=tv$ 得 $tv'=F(v)-v$，可分離變量。滿足 $F(v)=v$ 的常數比值分支必須在除法前保留。這兩個機制雖然名稱相同，實際不同。

2 地質年代學與封閉衰變模型

假設母體同位素初始量 $P_0>0$，母體量 $P$ 以常率 $\lambda>0$ 衰變，一對一地產生穩定子體，且系統沒有其他途徑使母體或子體增加或流失。則 $P'=-\lambda P$，得到 $P=P_0e^{-\lambda t}$。對於 $t\ge0$，有 $P(t)>0$，因此子體與母體的比值 $D/P$ 有定義。其半衰期為 $H=\log2/\lambda$。

若子體初始量為零，則 $D'=\lambda P$ 且 $P+D=P_0$。因此

$$\frac DP=e^{\lambda t}-1,\qquad t=\frac1\lambda\log\left(1+\frac DP\right).$$

比值 $D/P=3$ 給出 $t=\log4/\lambda=2H$。非零初始子體或與周圍環境交換會改變推斷。微分方程本身不能確立這些地質假設，且若不指定速率和模型，測量比值不能確定年代。

3 連續地球化學反應

對速率 $\lambda_1,\lambda_2>0$ 的理想一階反應鏈 $A\to B\to C$，將各量記為 $a,b,c$：

$$a'=-\lambda_1a,\quad b'=\lambda_1a-\lambda_2b,\quad c'=\lambda_2b.$$

相加表明 $a+b+c$ 守恆。第一式的解是 $a=a_0e^{-\lambda_1t}$。將中間方程乘以 $e^{\lambda_2t}$ 並積分，當 $\lambda_1\ne\lambda_2$ 時得到

$$b=b_0e^{-\lambda_2t}+\frac{\lambda_1a_0}{\lambda_2-\lambda_1} (e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}).$$

當速率相等時，直接計算積分因子積分，避免除以零：

$$b=(b_0+\lambda a_0t)e^{-\lambda t}.$$

最後 $c=a_0+b_0+c_0-a-b$。表面上的分母奇點是某個公式的表示失效，並不表示相等速率時沒有解。各產生—移除方程的積分形式表明，非負初始量在正向時間 $t\ge0$ 上保持非負。

4 週期輸入的環境化學

對完全混合、體積恆定的隔室，設 $c$ 為濃度，並假設

$$c'+kc=u_0+u_1\cos\omega t,\qquad k>0,\quad\omega>0.$$

外力的單位為濃度除以時間，$k$ 的單位為時間倒數。積分因子法或比較系數給出週期特解

$$c_p(t)=\frac{u_0}k+\frac{u_1}{k^2+\omega^2}(k\cos\omega t+\omega\sin\omega t).$$

完整解為 $c=c_p+(c_0-c_p(0))e^{-kt}$。其振幅為 $|u_1|/\sqrt{k^2+\omega^2}$：在此模型中，快速外力相對於緩慢變化的輸入受到衰減。若 $u_0\ge|u_1|$ 且 $c_0\ge0$，積分解非負，因為外力和指數因子均非負。有負值的正弦外力未必能代表非負化學輸入。

5 生態學與可行性閾值

帶恆定捕獲量的邏輯斯蒂種群滿足

$$N'=rN(1-N/K)-H,\qquad r,K>0,\quad H\ge0.$$

配方得到 $N'=rK/4-H-(r/K)(N-K/2)^2$。當 $H<rK/4$ 時，平衡點為

$$N_\pm=\frac K2\left(1\pm\sqrt{1-\frac{4H}{rK}}\right).$$

變化率的導數是 $r(1-2N/K)$；兩根不同時，它在 $N_-$ 處為正，在 $N_+$ 處為負。因此相線表明較低平衡點不穩定，較高平衡點局部吸引。當 $H=rK/4$ 時，重平衡點需要單獨的單側分析；不同根的符號論證不再適用。

若 $H>rK/4$，在每個非負種群處變化率均為負。事實上 $N'\le-(H-rK/4)$，所以若初值為正，數學軌跡最遲在 $N_0/(H-rK/4)$ 時達到零。繼續延拓到負種群在代數上可行，但在物理上無意義；模型須在該邊界停止或改變。假設模型中的參數閾值並不是經過驗證的生態捕獲規則。

6 公共衛生隔室模型作為常微分方程例子

在理論上的封閉易感—感染—康復模型中，

$$S'=-\beta SI/N,\quad I'=\beta SI/N-\gamma I,\quad R'=\gamma I,$$

其中 $\beta,\gamma>0$，總量 $N=S+I+R>0$ 為固定正數。方程相加證明守恆。非負初始隔室量保持非負：前兩個方程給出 $S$ 和 $I$ 的指數表示，$R$ 的產生量非負。因此總量守恆也為三個隔室提供上界。

在忽略 $S$ 消耗的階段，用 $S_0$ 替換它得到線性近似

$$I(t)\approx I_0\exp[(\beta S_0/N-\gamma)t].$$

這解釋了簡化早期方程中的一個閾值，並展示非線性耦合系統如何與前述線性方法聯繫。它不是實際疾病的預測：近似、參數解釋、接觸結構及數據有效性都需要獨立證據。這些示例計算不能推出治療或個人健康決定。

重閾值與模型中的有限時間延拓

當 $H=rK/4$，令 $z=N-K/2$、$a=r/K>0$，則 $z'=-az^2$。平衡為 $z=0$；對 $z_0\ne0$，直接分離並代入可得 $z(t)=z_0/(1+az_0t)$，適用於包含零且分母不消失的區間。若 $z_0>0$，它在全部正向時間遞減至零。若 $z_0<0$，它遞減並遠離零；物理解在 $N=0$ 時停止，早於負種群極點。因此閾值平衡從上方吸引、從下方排斥，不是雙側局部吸引平衡。

對不同根，因式分解 $N'=-(r/K)(N-N_-)(N-N_+)$ 給出每個區間的符號。局部唯一性阻止解穿過平衡點。在 $N_+$ 充分近處出發的解單調且被初值和 $N_+$ 夾住，其極限必須為平衡點；否則非零的極限變化率會使導數絕對值保持正下界，與收斂矛盾。因此解趨於 $N_+$。在 $N_-$ 下方或上方，變化率均指向遠離它的方向，證明不穩定；可行性始終在 $N\ge0$ 內理解。

捕獲模型的延拓步驟也可明確證明。留在緊種群區間的軌跡，其多項式變化率有界，例如 $|N'|\le M$，所以 $|N(t)-N(s)|\le M|t-s|$。在有限時間端點，它在該區間中有實極限。對該極限處應用局部存在性，再以唯一性拼接，便得到延拓。因此 $N_+$ 附近被夾住的分支在取無限時間極限前已保證正向全局存在。若 $H>rK/4$，則到達零之前 $0\le N\le N_0$，位於緊區間內，不會有更早的有限端點阻止延拓。此時積分 $N'\le-(H-rK/4)$，便證明最遲在 $N_0/(H-rK/4)$ 達到零；否則延拓後的非負解會在該時限變為負數。

為補全理論隔室例子，將 $N>0$ 視作固定初始總量參數。其關於 $(S,I,R)$ 的多項式向量場在有限盒上局部 Lipschitz，已證有限維定理給出局部解。在存在區間上，

$$S(t)=S_0\exp\left(-\int_0^t\beta I(s)/N\,ds\right),\quad I(t)=I_0\exp\left(\int_0^t[\beta S(s)/N-\gamma]ds\right),$$

且 $R=R_0+\int_0^t\gamma I(s)ds$。所以正向非負性與總量守恆使狀態留在緊單純形 $S,I,R\ge0$、$S+I+R=N$。有限的正向端點不能阻止延拓：向量場在該單純形的固定緊鄰域上有界，故解關於時間 Lipschitz，在端點有位於其中的極限。在該極限處應用局部定理，並以唯一性拼接解。這證明該指定模型的全局正向存在；早期易感量恆定近似仍是獨立假設。

7 分級練習

E1 衰變。 在封閉衰變模型中，若剩餘母體量為初始量的四分之一，以半衰期表示時間。

E2 反應鏈。 若相等速率 $\lambda=1$、$a_0=1$、$b_0=0$，求 $b(t)$ 及其在 $t\ge0$ 上的最大值。

E3 週期輸入。 對 $k=\omega=1$、$u_0=2$、$u_1=1$，求週期濃度和振幅。

E4 捕獲。 對示例值 $r=2$、$K=100$、$H=32$，求平衡點及其局部穩定性。

E5 線性近似。 對假設值 $\beta=0.4$、$\gamma=0.2$、$S_0/N=0.9$，在一致時間單位下求線性化增長率。該數字不能證明甚麼？

8 詳解

S1. $P/P_0=1/4=2^{-2}$，所以 $t=2H$。答案假設所述衰變規律和已知初始比例，並未獨立驗證地質封閉性。

S2. $b=te^{-t}$，其導數為 $(1-t)e^{-t}$，在 1 之前為正、之後為負，因此在 $t\ge0$ 上的全局最大值是 $t=1$ 處的 $e^{-1}$。

S3. $c_p=2+(\cos t+\sin t)/2$，振幅為 $1/\sqrt2$。任何初始不匹配增加一個衰減的 $e^{-t}$ 倍數，不改變最終週期振幅。

S4. $rK/4=50$，平方根因子為 $\sqrt{1-128/200}=0.6$。因此平衡點為 20 和 80。變化率導數分別為 $1.2$ 和 $-1.2$，故 20 不穩定、80 局部吸引。這些是模型結果，不是經驗政策建議。

S5. 速率為每時間單位 $0.4(0.9)-0.2=0.16$。它只在所述線性化模型內預測增長，既不估計實際參數，也不確定易感量恆定近似的有效性或持續時間。

小結

平衡方程將一套共同的常微分方程方法聯繫到多個領域。守恆總量、積分因子、等速率極限、正性及可行邊界提供獨立檢驗。數學解的有效性仍以過程假設為條件，不應誤認為經過驗證的地質、生態或臨床推斷。