矩陣與二階張量

各向異性材料在不同方向的響應不同。標量系數不能編碼這種行為，但線性映射可以。在本章歐氏背景下，二階張量是與坐標無關的線性關係，矩陣則是它在所選正交規範坐標系中的表示。改變坐標系會改變元素，但不改變物理關係。

1 線性系統與矩陣映射

矩陣 $A\in\mathbb R^{m\times n}$ 將 $x$ 映為 $Ax$，其中 $(Ax)_i=\sum_j a_{ij}x_j$。複合給出矩陣乘法。用高斯消元解 $Ax=b$ 時，對增廣矩陣使用可逆操作：交換行、乘以非零常數及加上其他行的倍數。系數全零且矛盾的行給出無解；否則自由變量描述非唯一性。

對方陣，可逆意味著每個 $b$ 都有唯一解。若非零向量滿足 $Az=0$，則由 $A(x+z)=Ax$ 可知解不唯一。這在物理上很重要：逆重建無法區分相差一個零空間方向的兩個狀態。

特徵向量滿足 $Av=\lambda v$ 且 $v\ne0$，描述映射保持的方向，允許縮放。對稱矩陣有正交規範特徵基。一種證明是在單位球面上最大化 $v^TAv$，通過切向求導得到特徵向量，利用對稱性證明其正交補不變，再歸納。這給出對稱材料張量的主方向。

2 張量分量與坐標變換

設新舊正交規範坐標滿足 $x=Qx'$，其中 $Q^TQ=I$。若線性關係為 $y=Ax$，則 $y'=Q^Ty$，且

$$y'=Q^TAQx',\qquad A'=Q^TAQ.$$

這是線性映射型張量分量在正交規範坐標系中的變換律。任意數組只有在明確其作用和變換律後才可稱為張量。一般非正交坐標變換需要區分向量與協向量分量；這裏沒有聲稱簡單的正交公式適用於任意坐標中的每種張量。

並矢積 $a\otimes b$ 是映射 $v\mapsto a(b\cdot v)$，以矩陣 $ab^T$ 表示。對對稱矩陣 $A$ 的正交規範特徵基 $q_i$，

$$A=\sum_i\lambda_i q_i\otimes q_i.$$

恆等映射為 $\sum_iq_i\otimes q_i$。跡和行列式不隨坐標系改變：由有限指標求和，$\operatorname{tr}(Q^TAQ)=\operatorname{tr}(AQQ^T)=\operatorname{tr}A$；由行列式乘積法則，$\det A'=\det A$。特徵值之和為跡，其乘積為行列式。

3 各向異性傳輸模型例題

設通量關係為 $j=-K\nabla c$，其中

$$K=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}.$$

單位方向 $q_1=(1,1)/\sqrt2$、$q_2=(1,-1)/\sqrt2$ 的特徵值為 4 和 2。在該主坐標系中，$K'=\operatorname{diag}(4,2)$。濃度梯度 $(1,0)$ 產生 $j=(-3,-1)$，它不與梯度平行。各向異性既改變方向，也改變大小。

對每個非零 $g$，有 $g^TKg=4(g\cdot q_1)^2+2(g\cdot q_2)^2>0$，所以 $j\cdot\nabla c=-\nabla c^TK\nabla c\le0$。在此本構模型下，通量具有沿負梯度方向的分量。正性是需要檢驗的性質，不是將數組稱為傳輸張量就自動得到的結果。

在簡化連續介質應力模型中，單位法向量平面上的牽引向量為 $t(n)=\sigma n$。有符號的法向牽引是法向分量 $n^T\sigma n$；剩餘向量 $\sigma n-(n^T\sigma n)n$ 是切向分量。對對稱 $\sigma$，特徵向量方向的切向牽引為零。物理定律與符號約定必須由應用給定，本章研究其線性代數。

4.3 對稱性給出正交特徵向量

對實對稱矩陣 $A$ 和實向量 $u,v$，若 $Au=\lambda u$，$Av=\mu v$，則

$$\lambda u^Tv=(Au)^Tv=u^TA^Tv=u^TAv=\mu u^Tv.$$

因此，不同特徵值對應的特徵空間互相正交。更強的譜定理指出，每個實對稱 $n\times n$ 矩陣（$n\ge1$）都有一組標準正交特徵基，因此 $A=QDQ^T$，其中 $Q^TQ=I$，而 $D$ 是實對角矩陣。

下面利用前面章節的結果證明。連續函數 $x^TAx$ 在單位球面上取得最大值，因為單位球面是閉且有界的。在取得最大值的單位向量 $v$ 處，正則約束 $x^Tx=1$ 的梯度 $2v$ 非零。乘數條件給出 $2Av=2\lambda v$，所以 $v$ 是實單位特徵向量。它的正交補空間是不變的：若 $v^Tw=0$，則 $v^TAw=(Av)^Tw=\lambda v^Tw=0$。在一組標準正交基下，把 $A$ 限制到這個 $(n-1)$ 維子空間，得到的限制仍然對稱。從一維開始歸納，可在該子空間得到一組標準正交特徵基；連同 $v$，便證明了定理。正交補空間的一組標準正交基可用 Gram–Schmidt 方法構造。

補全最大向量與正交補步驟

最大向量步驟也可不用一般乘數定理直接核對。若單位向量 $v$ 為最大值點，且 $w\cdot v=0$，則曲線 $q(t)=(v+tw)/\|v+tw\|$ 位於球面上，且 $q'(0)=w$。在最大值處對 $q(t)^TAq(t)$ 求導得 $2w^TAv=0$。將 $Av$ 分解為 $(v^TAv)v+w_0$，其中 $w_0\perp v$，再取 $w=w_0$ 得 $\|w_0\|^2=0$。因此 $Av=(v^TAv)v$，給出實特徵對。維數一時結論直接成立。

為構造歸納所用的正交補基，從 $v$ 出發加入當前張成空間以外的標準坐標向量，擴成線性基。依次減去在已有標準正交向量上的投影，再除以非零餘向量的範數。餘向量不可能為零，否則起始向量組不線性無關。所得 $v$ 以外的向量構成 $v^\perp$ 的標準正交基。限制矩陣元素為 $u_i^TAu_j=u_j^TAu_i$，所以仍對稱。這補齊歸納的構造與假設，維數一時正交補為空。

4 分級練習

E1 基礎。 解 $\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}x=(4,7)^T$。

E2 張量分量。 對 $A=\operatorname{diag}(4,1)$ 和 $Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$，計算 $Q^TAQ$ 並檢查其跡和行列式。

E3 牽引。 對 $\sigma=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}$ 和 $n=(1,0)$，求牽引及其法向和切向部分。

E4 證明。 證明 $a\otimes a$ 對稱半正定，並在 $a\ne0$ 時確定其秩。

5 完整解答

S1. 由 $2x+y=4$ 和 $x+3y=7$，代入 $y=4-2x$ 得 $-5x=-5$。故 $x=1$、$y=2$，代回可檢驗兩式。

S2. $Q^TAQ=\begin{pmatrix}5/2&-3/2\\-3/2&5/2\end{pmatrix}$。跡為 5，行列式為 $25/4-9/4=4$，與原矩陣相同。坐標軸旋轉本身即可產生非對角分量。

S3. $t=\sigma n=(5,2)$。法向分量向量為 $(5,0)$，標量為 5；切向分量為 $(0,2)$。坐標軸平面未必是主平面。

S4. 矩陣是 $aa^T$，等於自身轉置。對任意 $v$，$v^Taa^Tv=(a^Tv)^2\ge0$。其像為 $a$ 張成的直線，且將 $a$ 映為 $\|a\|^2a\ne0$，故秩為 1。

總結

矩陣表示線性映射並支持逆問題。二階張量分量隨坐標系變換，而映射本身不變。對稱性給出主方向，正性則在傳輸模型中給出有意義的方向不等式。應說明張量類型、坐標和物理約定。