參數曲面與邊界定理的推導

邊界定理並不允許隨意將一個曲面換成另一個。正則性、方向以及曲面之間的區域決定定理是否適用。通過在參數曲面片上推導 Stokes 定理，並在圖像圍成的實體上推導散度定理，我們可以看清導數、面積向量和抵消分別在何處出現。

1 曲面面積向量與圖像通量

設 $r(u,v)$ 是 $C^1$ 正則參數化，即 $r_u\times r_v\ne0$。小參數矩形可用邊為 $r_u\Delta u$、$r_v\Delta v$ 的平行四邊形近似。面積為 $\|r_u\times r_v\|\Delta u\Delta v$，定向面積向量為 $(r_u\times r_v)\Delta u\Delta v$。所以標量面積使用範數，通量則使用向量本身。

對向上定向的圖像 $r(x,y)=(x,y,h(x,y))$，

$$r_x\times r_y=(-h_x,-h_y,1).$$

因此對 $F=(P,Q,R)$，

$$\iint_SF\cdot n\,dS=\iint_D[-P(x,y,h)h_x-Q(x,y,h)h_y+R(x,y,h)]dx\,dy.$$

斜率因子已經編碼面積增大和法向方向。再乘以 $\sqrt{1+h_x^2+h_y^2}$ 會重複計算面積。若向下定向，將整個表達式取負。

曲面帽例。 對單位圓盤上方的拋物面 $z=1-x^2-y^2$ 和 $F=(0,0,z)$，向上通量為

$$\iint_D(1-x^2-y^2)dA=2\pi\int_0^1(1-r^2)r\,dr=\frac\pi2.$$

這是通量，不是曲面的標量面積。

2 單個正則曲面片上的 Stokes 定理

假設 $D$ 是有界平面區域，其正向分段光滑邊界適用 Green 定理。設 $r$ 在 $\overline D$ 的鄰域上是一一的 $C^2$ 正則參數化，$F$ 在其像附近為 $C^1$。曲面按 $r_u\times r_v$ 定向，邊界按參數區域正向邊界的像定向。

令

$$A(u,v)=F(r(u,v))\cdot r_u,\qquad B(u,v)=F(r(u,v))\cdot r_v.$$

邊界鏈式法則給出 $F\cdot dr=A\,du+B\,dv$。求導得

$$B_u-A_v=(DF(r)r_u)\cdot r_v-(DF(r)r_v)\cdot r_u,$$

因為 $r_{vu}=r_{uv}$ 使兩個含 $F$ 的項相消。展開 $DF$ 的三個分量並收集反對稱項，得到恆等式

$$B_u-A_v=(\nabla\times F)(r)\cdot(r_u\times r_v).$$

例如 $P_y$ 項的系數是 $r_{u,y}r_{v,x}-r_{v,y}r_{u,x}$，與旋度第三分量中負的 $P_y$ 貢獻一致；其他項同理。Green 定理給出

$$\oint_{\partial S}F\cdot dr=\iint_S(\nabla\times F)\cdot n\,dS.$$

這在所列曲面片假設下證明了 Stokes 定理。對可分為有限個相容曲面片的緊定向曲面，逐片應用：每條內部邊由相鄰兩片沿相反方向經過，線積分相消。剩餘邊界是帶誘導方向的外邊界。此推廣假設存在這樣的有限相容曲面片分解。

環流例。 取 $F=(-y/2,x/2,0)$ 和上方拋物面帽。旋度為 $(0,0,1)$，所以旋度曲面通量為投影圓盤面積 $\pi$。邊界是 $z=0$ 處逆時針單位圓；參數化得到線積分被積式 $1/2$，結果為 $\pi$。反轉曲面法向也反轉邊界方向和兩個符號。

3 圖像夾層上的散度定理

設 $D$ 是具有分段光滑正向邊界的有界平面區域，$a,b$ 在某鄰域內為 $C^1$，且 $a<b$。考慮

$$\Omega=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ a(x,y)\le z\le b(x,y)\}.$$

設 $F=(P,Q,R)$ 在其閉包附近為 $C^1$。定義 $\bar P(x,y)=\int_a^bP(x,y,z)dz$，$\bar Q$ 類似。變限求導規則給出

$$\int_a^bP_xdz=\bar P_x-P(x,y,b)b_x+P(x,y,a)a_x,$$

$Q_y$ 有類似公式。剩餘導數積分得到 $R(x,y,b)-R(x,y,a)$。

在 $D$ 上積分，涉及頂部值的各項恰是 $z=b$ 上向上的圖像通量；底部項恰是 $z=a$ 上向下的圖像通量。剩餘平面散度積分為

$$\iint_D(\bar P_x+\bar Q_y)dA =\oint_{\partial D}(\bar P\nu_x+\bar Q\nu_y)ds,$$

由 Green 通量形式得到，其中 $\nu$ 是平面向外單位法向量。對逆時針單位速率邊界參數化 $(x(s),y(s))$，有 $\nu=(y'(s),-x'(s))$。以 $(x(s),y(s),z)$ 參數化的側面具有向外面積向量 $(y',-x',0)ds\,dz$，故最後一個邊界積分恰是其通量。相加頂部、底部與側面，證明

$$\iiint_\Omega\nabla\cdot F\,dV=\iint_{\partial\Omega}F\cdot n\,dS.$$

對有限個圖像夾層組成的分解，內部曲面因向外法向相反而通量相消。若頂部與底部在邊界相遇，有時可通過向內的區域極限推廣，但必須檢查額外積分及收縮側面通量。僅寫出公式不能涵蓋奇異場、非正則邊界或需要額外極限論證的定義域。

4 安全比較曲面

若 $F$ 在兩曲面之間的實體中處處為 $C^1$ 且散度為零，納入任何側邊界後，一致定向的通量相等。除非側面貢獻為零或不存在，否則不能省略它。對旋度通量，當兩曲面具有相同定向邊界、各自滿足 Stokes 定理假設且場在其鄰域正則時，兩個旋度積分相等。

奇點會使隨意替換失效。徑向場 $F=x/\|x\|^3$ 在原點外散度為零，但圍繞原點的球面向外通量為 $4\pi$。由於該場在原點無定義，不能對整個包圍的球體使用散度定理。在排除原點的球殼上，外通量由向內定向的內邊界通量抵消，恰符合定理。

圖像夾層上的正常三維切片證明

設 $D\subset\mathbb R^2$ 為緊 Jordan 集，$a,b$ 在 $D$ 上連續且 $a\le b$，令 $\Omega=\{(p,z):p\in D,\ a(p)\le z\le b(p)\}$。取包含全部竪直纖維且長度為正的緊高度區間 $J$。實體緊，邊界包含在兩個圖像及 $\partial D\times J$ 中。每個圖像都 Jordan 零測：將包含底面的盒細分為邊長 $h$ 的正方形，在每個與 $D$ 相交的方格上，以高度至多為 $2\omega(\sqrt2h)+h$ 的竪直盒包圍圖像，其中 $\omega$ 為 $a,b$ 在 $D$ 上共同的連續模。方格數為 $O(h^{-2})$，故覆蓋總體積趨零。側邊集合也零測，因為總面積小於 $\eta$ 的有限 $\partial D$ 底面覆蓋，拉成柱後總體積至多為 $|J|\eta$。由已證邊界判據，$\Omega$ Jordan 可測。

對連續 $h:\Omega\to\mathbb R$，令 $g(p)=\int_{a(p)}^{b(p)}h(p,z)dz$，無需將 $h$ 延拓到環境開集。兩條鄰近纖維的重疊部分用 $h$ 的一致連續性控制，未配對端部用 $|h|$ 的界 $M$ 控制。具體地，

$$|g(p)-g(q)|\le |J|\omega_h(\|p-q\|) +M\bigl(|a(p)-a(q)|+|b(p)-b(q)|\bigr)\longrightarrow0.$$

所以 $g$ 在 $D$ 上連續。由緊集上的連續性及 Jordan 邊界判據，向包含它們的三維、二維盒作零延拓所得 $h_0,g_0$ 均 Riemann 可積。$h_0$ 的每個竪直切片在纖維內連續、外面為零，至多在兩個端點跳躍，因此可積，積分為 $g_0(p)$。對任意有限乘積網格，先對常數的逐格上下界作高度積分，再對底面積分，恰將 $\int g_0$ 夾在 $h_0$ 的三維下和與上和之間。兩和的差可任意小，夾逼得

$$\iiint_\Omega h\,dV=\iint_D\left(\int_{a(p)}^{b(p)}h(p,z)dz\right)dA.$$

這證明了散度推導實際使用的夾層切片。此積分引理允許零長度纖維，不會因此刪去圖像夾層散度證明中的嚴格分離及通量極限條件。

面積定義與曲面坐標變換

對緊 Jordan 參數區域上的單射正則 $C^1$ 曲面片，用 $\int_D f(r)\|r_u\times r_v\|$ 定義密度為 $f$ 的標量面積積分，用上面的面積向量積分定義定向通量。在滿足二維正常換元假設的 $C^1$ 微分同胚參數變換下，這些定義一致。事實上，對 $(u,v)=\psi(s,t)$，叉積的雙線性與反對稱性給出

$$(r\circ\psi)_s\times(r\circ\psi)_t =\det D\psi\,(r_u\times r_v)\circ\psi.$$

取範數產生標量面積的絕對 Jacobian，保留符號則給出通量的誘導方向，再用已證二維正常換元即可。有限相容曲面片沿參數面積為零的邊相加。這明確了所用曲面積分模型，沒有調用不受限制的測度論曲面面積定理。

Stokes 中完整的分量抵消

寫 $p=r_u$、$q=r_v$、$F=(P,Q,R)$。在 $(DFp)\cdot q-(DFq)\cdot p$ 中，對角導數項抵消，其餘項整理為

$$(R_y-Q_z)(p_yq_z-p_zq_y) +(P_z-R_x)(p_zq_x-p_xq_z) +(Q_x-P_y)(p_xq_y-p_yq_x),$$

恰為 $(\nabla\times F)\cdot(p\times q)$。連同 $C^2$ 保證的 $r_{uv}=r_{vu}$ 及已證 Green 恆等式，這就逐分量閉合曲面片證明。有限推廣要求實際存在有限分解，內部除零面積邊外不重疊，每條內部邊須以相反誘導方向配對。

變限求導為何成立

局部固定常高度 $z_*$，令 $H(x,y,z)=\int_{z_*}^zP(x,y,w)dw$。$P_x$ 在緊鄰域上連續，使 $H_x$ 的差商在 $w$ 上一致趨於 $P_x$，故 $H_x=\int_{z_*}^zP_xdw$；誤差由區間長度乘一致誤差控制。微積分基本定理給出 $H_z=P$。對 $H(x,y,b(x,y))-H(x,y,a(x,y))$ 用普通鏈式法則即得第 3 節變限公式，$Q$ 同理。因此圖像夾層證明要求 $a,b$ 在緊底面的鄰域上為 $C^1$、在那裏嚴格 $a<b$，$F$ 在夾層閉包附近為 $C^1$，底面屬於已證 Green 類。改為邊界接觸或新的實體類，需要各自的極限估計。拋物面練習對該特定接觸給出了估計，並非一般推廣定理。

上述球面面積公式的證明

對半徑 $R>0$ 的球面，令

$$s(\phi,\theta)=(R\sin\phi\cos\theta,R\sin\phi\sin\theta,R\cos\phi).$$

直接求導得 $\|s_\phi\times s_\theta\|=R^2\sin\phi$，在 $0<\phi<\pi$ 時為正。取緊的截斷矩形 $\delta\le\phi\le\pi-\delta$、$-\pi+\eta\le\theta\le\pi-\eta$，其中 $0<\delta<\pi/3$、$0<\eta<\pi/2$；這是只覆蓋一次的正則曲面片，其面積為

$$A_{\delta,\eta} =R^2(2\pi-2\eta)\int_\delta^{\pi-\delta}\sin\phi\,d\phi =2R^2(2\pi-2\eta)\cos\delta.$$

還須控制遺漏的曲面面積，不能只估計體積。在兩極附近，球面是正則圖像 $z=\pm\sqrt{R^2-x^2-y^2}$。在半徑 $R\sin\delta$ 的圓盤上，圖像面積因子為 $R/\sqrt{R^2-x^2-y^2}\le1/\cos\delta\le2$。故每個遺漏極帽的面積至多為 $2\pi R^2\sin^2\delta$，趨於零。此界只用了圖像公式及平面圓盤面積，並未使用待證明的球面面積。

對剩餘角條帶，改用無奇點的方位角區間 $[\pi-\eta,\pi+\eta]$，仍令 $\delta\le\phi\le\pi-\delta$。這是正則曲面片，其面積至多為 $2\eta R^2\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi=4\eta R^2$。所以總遺漏面積由 $4\pi R^2\sin^2\delta+4\eta R^2\to0$ 控制。有限條共用曲面片邊在參數域內面積為零，不改變相加結果。取極限得 $\operatorname{Area}(S_R)=4\pi R^2$；再乘上位置向量場恆定的向外法向分量 $R$，也就證明了前例的通量 $4\pi R^3$。

特定球殼為何可作散度檢驗

練習 4 的球殼可通過明確極限從已證圖像夾層得到。寫 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$，取 $0<\varepsilon<1/4$。在 $\rho\le1-\varepsilon$ 上取兩個夾層

$$\sqrt{1-\rho^2}\le z\le\sqrt{4-\rho^2},\qquad -\sqrt{4-\rho^2}\le z\le-\sqrt{1-\rho^2}.$$

在 $1+\varepsilon\le\rho\le2-\varepsilon$ 上取夾層 $-\sqrt{4-\rho^2}\le z\le\sqrt{4-\rho^2}$。每個頂底函數在緊底面的鄰域上為 $C^1$ 且嚴格分離。圓盤底面滿足已證 Green 假設；環形底面分為四個象限，每塊均有連續上下和左右圖像邊界，徑向邊抵消。因此每個截斷實體都屬於已證有限類。

對在閉球殼鄰域上為 $C^1$ 的場，場及散度均有界。$\rho=1,2$ 附近遺漏柱帶的體積趨零，可由高度 4 乘平面環域面積控制。遺漏球面緯帶的面積也趨零。為不借用整球面積公式，對半徑 $a$ 的赤道帶用 $(\sqrt{a^2-z^2}\cos\theta,\sqrt{a^2-z^2}\sin\theta,z)$ 參數化，其叉積範數為 $a$，故 $z_1\le z\le z_2$ 的面積為 $2\pi a(z_2-z_1)$，特別地 $|z|\le h$ 的面積為 $4\pi a h$。$\rho=1,2$ 附近遺漏內外赤道帶的半高度至多為 $\sqrt{1-(1-\varepsilon)^2}$、$\sqrt{4-(2-\varepsilon)^2}$，均趨零。此外，遺漏 $1-\varepsilon<\rho<1+\varepsilon$ 柱帶還刪去了外球面的兩條緯帶。令 $\Delta z=\sqrt{4-(1-\varepsilon)^2}-\sqrt{4-(1+\varepsilon)^2}\to0$，兩者總面積為 $8\pi\Delta z\to0$。這計入了全部球面邊界遺漏。

人工外柱面 $\rho=2-\varepsilon$ 的高度和面積趨零。$\rho=1-\varepsilon$ 與 $\rho=1+\varepsilon$ 處柱面的法向相反，其參數化通量被積函數在固定有界高度區間上一致趨於 $\rho=1$ 處的同一個函數；小的中央高度缺口及端點高度差趨零。有界性和一致連續性使兩者合通量趨零。在有限夾層恆等式中取極限，便對這個特定球殼及上述正則場證明散度定理。該徑向例子在球殼的鄰域上正則，雖然在排除的中心球內奇異。這補出了需要的特定區域證明，沒有聲稱已推廣至所有分段光滑實體。

5 分級練習

E1 基礎。 求 $F=(0,0,1)$ 穿過半徑為 $R>0$ 的圓盤上方曲面 $z=x^2+y^2$ 的向上通量。它是標量曲面面積嗎？

E2 Stokes 定理。 對 $F=(-y,x,0)$，用任意符合條件的張成曲面，計算沿 $x^2+y^2=4$、$z=3$ 的逆時針圓周的環流。

E3 夾層散度。 對 $F=(x,y,z)$ 和位於 $z=1-x^2-y^2$ 下方、$z=0$ 上方的實體，求總向外通量並檢查底部貢獻。

E4 奇點。 對球殼 $1\le\|x\|\le2$ 上的 $F=x/\|x\|^3$ 應用散度定理，注意兩個邊界的方向。

E5 方向證明。 解釋為甚麼兩個方向一致的相鄰曲面片的公共邊在 Stokes 定理中相消，但標量曲面面積相加而不相消。

6 完整解答

S1. 圖像通量公式在投影圓盤上給出被積函數 1，故通量為 $\pi R^2$。標量面積的被積函數為 $\sqrt{1+4x^2+4y^2}$，當 $R>0$ 時更大。通量度量定向投影量，而不是總面積。

S2. 旋度為 $(0,0,2)$。$z=3$ 處的向上平圓盤給出 $2\cdot\pi\cdot2^2=8\pi$。從上方看邊界為逆時針，與該法向一致。

S3. 對圖像夾層推導，先使用半徑 $1-\varepsilon$ 的圓盤，此時頂部與底部嚴格分離，再令 $\varepsilon\downarrow0$。有界光滑被積函數在體積和曲面帽積分中收斂；收縮側面的高度為 $1-(1-\varepsilon)^2\to0$，故其通量趨於零。散度為 3。體積為 $2\pi\int_0^1(1-r^2)rdr=\pi/2$，故總通量為 $3\pi/2$。底部向外法向為 $(0,0,-1)$ 且 $z=0$，故通量為零。曲面帽的面積向量公式給出 $2x^2+2y^2+(1-x^2-y^2)=1+r^2$，積分得到 $3\pi/2$。

S4. 球殼內處處散度為零。半徑 2 的球面上，場的模為 $1/4$、向外面積為 $16\pi$，得到 $4\pi$。內球面處，球殼的向外法向指向原點，與徑向場相反，故得到 $-4\pi$。總和為零，與體積分一致。

S5. 邊界方向由曲面方向誘導，兩片曲面的內部位於公共邊兩側。因此公共邊的切向方向相反，定向線積分互為負數。標量面積使用叉積的範數，非負且方向反轉時不變，故面積相加。

總結

面積向量避免重複計數並確定通量符號。正則曲面片上的 Stokes 定理來自 Green 定理和鏈式法則恆等式；圖像夾層上的散度定理來自一元積分和平面通量。有限相容分解通過內部邊界抵消推廣兩者。奇點和遺漏側邊界是具體障礙，不能忽略。