張量類型、度量與各向異性通量

公式 $Q^TAQ$ 對正交規範坐標系中的多種張量類型都正確，這可能掩蓋重要區別。在非正交規範坐標中，線性映射、雙線性型和將微分協向量映為通量向量的傳導系數有不同變換律。我們從對象本身推導規則，避免將坐標效應誤認為物理各向異性。

1 向量與協向量的不同變換

設新基與舊基關係為 $e'_j=\sum_i e_iP_{ij}$，其中 $P$ 可逆。向量的坐標欄滿足 $v=Pv'$，所以 $v'=P^{-1}v$。協向量是線性泛函 $\alpha:V\to\mathbb R$。若其分量為 $\alpha_i=\alpha(e_i)$，則 $\alpha(v)=\alpha^Tv$。在新基中，

$$\alpha'_j=\alpha(e'_j)=\sum_iP_{ij}\alpha_i,\qquad\alpha'=P^T\alpha.$$

配對不變：$(\alpha')^Tv'=\alpha^TPP^{-1}v=\alpha^Tv$。協向量不是任意轉置顯示的向量；其變換律來自它作為泛函的作用。

線性映射 $A:V\to V$ 的新分量為 $A'=P^{-1}AP$。雙線性型 $B(u,v)=u^TBv$ 的新分量為 $B'=P^TBP$，因為 $u=Pu'$、$v=Pv'$。兩者分別是混合型與協變二階張量。向量外積 $uv^T$ 若視為兩個逆變指標，而不是通過隱含度量視為映射，則按 $P^{-1}(uv^T)P^{-T}$ 變換。

2 度量解釋熟悉的正交簡化

令 $G_{ij}=e_i\cdot e_j$ 為 Gram 矩陣或度量矩陣，則 $\|v\|^2=v^TGv$、$G'=P^TGP$，且 $G$ 對稱正定。由點積與向量 $v$ 關聯的協向量分量為 $Gv$；與協向量 $\alpha$ 關聯的向量分量為 $G^{-1}\alpha$。這是常系數歐氏背景中的升降指標。

對標量場 $c$，微分的協向量分量為 $g_i=\partial c/\partial x^i$。物理梯度是分量為 $G^{-1}g$ 的向量，因為它與位移 $h$ 的點積必須等於 $g^Th$。

若各向同性傳導系數是作用於梯度向量的線性映射 $L=kI$，通量定律為

$$j=-L\,G^{-1}g=-Kg,\qquad K=LG^{-1}.$$

這裏 $K$ 將協向量映為向量，按 $K'=P^{-1}KP^{-T}$ 變換，而 $L'=P^{-1}LP$。在正交規範坐標系中 $G=I$，且 $P=Q$ 正交，兩種公式都化為 $Q^TKQ$。不能不檢查張量類型，就將這一一致性推廣到任意基。

斜基例。 從正交規範平面出發，取 $P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$。則

$$G'=P^TP=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix},\qquad (K')_{\rm covector\ to\ vector}=k\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}=k(G')^{-1}.$$

非對角元素不意味著物理材料變成各向異性：仍有 $L'=kI$。若舊直角坐標中 $c=x$，則 $c=x'+y'$ 且 $g'=(1,1)$。乘以 $(G')^{-1}$ 得梯度向量坐標 $(1,0)$，映回後得到正確的物理向量 $(1,0)$。

3 縮並與不變量

縮並將一個向量指標與一個協向量指標配對。線性映射的跡不變，因為 $\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}A$，其中使用有限指標和恆等式 $\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)$。協變雙線性型的對角分量之和一般不保持不變。其度量跡為 $\operatorname{tr}(G^{-1}B)$，並且不變，因為 $(G')^{-1}B'=P^{-1}G^{-1}BP$。

在正交規範坐標系中，雙重縮並 $A:B=\sum_{ij}A_{ij}B_{ij}=\operatorname{tr}(A^TB)$ 是 Frobenius 內積。對非正交規範的協變分量，需要度量因子才能得到同一標量；不加說明地逐項求和會改變該量。

在每個正交坐標變換下不變的線性映射是標量映射：對每個正交矩陣 $Q$ 有 $Q^TAQ=A$，選擇坐標符號反轉可迫使非對角元素為零，選擇坐標置換可迫使所有對角元素相同。因此 $A=kI$。此證明使用完整的正交不變性；僅與某個選定旋轉可交換不足以確立各向同性。

4 平衡方程中的變張量系數

回到直角坐標，假設 $K$ 為 $C^1$、$c$ 為 $C^2$，均在開鄰域上成立，並令 $j_i=-\sum_jK_{ij}(x)\partial_jc$。乘積法則給出

$$\nabla\cdot(K\nabla c)=\sum_{i,j}K_{ij}\partial_i\partial_jc +\sum_{i,j}(\partial_iK_{ij})\partial_jc.$$

兩個和都重要。對 $K=\operatorname{diag}(1+x^2,2)$ 和 $c=x^2+y^2$，

$$\nabla\cdot(K\nabla c)=\partial_x(2x+2x^3)+\partial_y(4y)=6+6x^2.$$

只使用 $K:H_c$ 將得到 $6+2x^2$，漏掉系數導數的貢獻 $4x^2$。對常對稱正定 $K$，主軸使其正交對角化；對變化的 $K$，逐點對角化不能消去變化坐標系的導數。

5 分級練習

E1 基礎。 取 $P=\operatorname{diag}(2,3)$、舊歐氏度量為 $I$，計算新度量、向量 $(2,3)$ 的分量及協向量 $(2,3)$ 的分量。

E2 張量類型。 對舊線性映射 $A=\operatorname{diag}(4,1)$ 和上述斜基 $P$，計算 $A'$，並與協變雙線性型變換 $P^TAP$ 比較。

E3 度量跡。 在斜基中設 $B'=G'$。求普通元素跡與度量跡，並解釋差異。

E4 通量。 對直角坐標中的 $K=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$ 和 $c=x^2+xy$，計算 $\nabla\cdot(K\nabla c)$。

E5 證明。 若 $K$ 在直角坐標中對稱正定，證明 $j=-K\nabla c$ 滿足 $j\cdot\nabla c\le0$，並指出等號條件。

6 完整解答

S1. $G'=\operatorname{diag}(4,9)$。向量坐標為 $P^{-1}(2,3)=(1,1)$，協向量分量為 $P^T(2,3)=(4,9)$。舊配對為 13，新配對也為 $(4,9)\cdot(1,1)=13$。舊坐標中相同的數值列表表示不同類型對象。

S2. $A'=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}4&3\\0&1\end{pmatrix}$。雙線性型分量為 $P^TAP=\begin{pmatrix}4&4\\4&5\end{pmatrix}$，兩種變換不可互換。物理自伴映射在斜基中的對稱性未必表現為普通矩陣對稱，而是相對於度量表達。

S3. 普通跡為 3，但 $\operatorname{tr}((G')^{-1}G')=2$。度量是二維空間中的點積雙線性型，其不變度量跡為維數 2。坐標對角和本身不是該不變量。

S4. $\nabla c=(2x+y,x)$。相乘得 $K\nabla c=(5x+2y,5x+y)$，故散度為 $5+1=6$。也可將常矩陣 $K$ 與 Hessian $\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}$ 縮並，得到 6。

S5. $j\cdot\nabla c=-(\nabla c)^TK\nabla c$。正定性使其在梯度非零時為負，梯度為零時為零。半正定性會允許其他零耗散方向，因此等號條件不同。

總結

張量類型決定分量變換規則。度量聯繫協向量和向量，但在斜坐標中不能不加說明地替換為單位矩陣。只有正確配對指標，縮並才產生不變量；變化的傳輸張量還貢獻系數導數項，單靠逐點對角化或 Hessian 縮並可能遺漏。