1. 積分記錄路徑及其方向
分段 C 1 C^1 C 1 γ : [ a , b ] → C \gamma:[a,b]\to\mathbb C γ : [ a , b ] → C γ ( a ) = γ ( b ) \gamma(a)=\gamma(b) γ ( a ) = γ ( b ) ℓ ( γ ) = ∫ a b ∣ γ ′ ( t ) ∣ d t \ell(\gamma)=\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt ℓ ( γ ) = ∫ a b ∣ γ ′ ( t ) ∣ d t f f f 圍道積分 為
∫ γ f ( z ) d z = ∫ a b f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) d t , \int_\gamma f(z)\,dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt, ∫ γ f ( z ) d z = ∫ a b f ( γ ( t )) γ ′ ( t ) d t , 實部和虛部分別積分。微分 d z dz d z ∣ d z ∣ |dz| ∣ d z ∣
保持端點的分段 C 1 C^1 C 1
估計引理。 若曲線上 ∣ f ∣ ≤ M |f|\le M ∣ f ∣ ≤ M
∣ ∫ γ f ( z ) d z ∣ ≤ M ℓ ( γ ) . \left|\int_\gamma f(z)\,dz\right|\le M\ell(\gamma). ∫ γ f ( z ) d z ≤ M ℓ ( γ ) . 因為實參數積分的模不超過模的積分，且 ∣ f ( γ ) γ ′ ∣ ≤ M ∣ γ ′ ∣ |f(\gamma)\gamma'|\le M|\gamma'| ∣ f ( γ ) γ ′ ∣ ≤ M ∣ γ ′ ∣
例。 對正向圓周 z = a + r e i t z=a+re^{it} z = a + r e i t 0 ≤ t ≤ 2 π 0\le t\le2\pi 0 ≤ t ≤ 2 π r > 0 r>0 r > 0
∫ γ ( z − a ) n d z = { 2 π i , n = − 1 , 0 , n ∈ Z , n ≠ − 1. \int_\gamma(z-a)^n\,dz=\begin{cases}2\pi i,&n=-1,\\0,&n\in\mathbb Z,\ n\ne-1.\end{cases} ∫ γ ( z − a ) n d z = { 2 πi , 0 , n = − 1 , n ∈ Z , n = − 1. 當 n = − 1 n=-1 n = − 1 d z dz d z i d t i\,dt i d t i r n + 1 e i ( n + 1 ) t d t ir^{n+1}e^{i(n+1)t}\,dt i r n + 1 e i ( n + 1 ) t d t n = − 1 n=-1 n = − 1
2. 原函數將路徑積分化為端點之差
開集 U U U f f f 原函數 是該處滿足 F ′ = f F'=f F ′ = f F F F
∫ γ f ( z ) d z = F ( γ ( b ) ) − F ( γ ( a ) ) \int_\gamma f(z)\,dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(a)) ∫ γ f ( z ) d z = F ( γ ( b )) − F ( γ ( a )) 對 U U U U U U
反過來，在區域 U U U f f f a ∈ U a\in U a ∈ U F ( z ) F(z) F ( z ) U U U a a a z z z f f f h h h z z z z + h z+h z + h U U U
F ( z + h ) − F ( z ) h = ∫ 0 1 f ( z + t h ) d t ⟶ f ( z ) \frac{F(z+h)-F(z)}h=\int_0^1 f(z+th)\,dt\longrightarrow f(z) h F ( z + h ) − F ( z ) = ∫ 0 1 f ( z + t h ) d t ⟶ f ( z ) 由連續性成立。因此 F ′ = f F'=f F ′ = f
注意。 全純並不自動意味著在任意區域上有整體原函數。1 / z 1/z 1/ z C ∖ { 0 } \mathbb C\setminus\{0\} C ∖ { 0 } 2 π i 2\pi i 2 πi Log z \operatorname{Log}z Log z 1 / z 1/z 1/ z
3. 古薩三角形論證：不假設導數連續
定理。 若 f f f T T T T T T
證明。 連接邊中點將 T T T I I I ∣ I ∣ / 4 |I|/4 ∣ I ∣/4 T n T_n T n D / 2 n D/2^n D / 2 n P / 2 n P/2^n P / 2 n
∣ I ∣ ≤ 4 n ∣ ∫ ∂ T n f d z ∣ . |I|\le4^n\left|\int_{\partial T_n}f\,dz\right|. ∣ I ∣ ≤ 4 n ∫ ∂ T n f d z . 由緊緻性及直徑趨零，存在共同點 z 0 z_0 z 0 z 0 z_0 z 0
f ( z ) = f ( z 0 ) + f ′ ( z 0 ) ( z − z 0 ) + ( z − z 0 ) ε ( z ) , ε ( z ) → 0. f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+(z-z_0)\varepsilon(z),\qquad\varepsilon(z)\to0. f ( z ) = f ( z 0 ) + f ′ ( z 0 ) ( z − z 0 ) + ( z − z 0 ) ε ( z ) , ε ( z ) → 0. 常數項和線性項都有原函數，故沿三角形邊界積分為零。對任意 η > 0 \eta>0 η > 0 n n n T n T_n T n ∣ ε ∣ ≤ η |\varepsilon|\le\eta ∣ ε ∣ ≤ η z 0 ∈ T n z_0\in T_n z 0 ∈ T n
∣ ∫ ∂ T n f d z ∣ ≤ η ( D / 2 n ) ( P / 2 n ) . \left|\int_{\partial T_n}f\,dz\right|\le\eta(D/2^n)(P/2^n). ∫ ∂ T n f d z ≤ η ( D / 2 n ) ( P / 2 n ) . 因此 ∣ I ∣ ≤ η D P |I|\le\eta DP ∣ I ∣ ≤ ηD P η \eta η I = 0 I=0 I = 0 f ′ f' f ′
推論：每個圓盤上有原函數。 若 f f f D D D a a a F ( z ) = ∫ [ a , z ] f F(z)=\int_{[a,z]}f F ( z ) = ∫ [ a , z ] f z , z + h ∈ D z,z+h\in D z , z + h ∈ D a , z , z + h a,z,z+h a , z , z + h D D D F ( z + h ) − F ( z ) = ∫ [ z , z + h ] f F(z+h)-F(z)=\int_{[z,z+h]}f F ( z + h ) − F ( z ) = ∫ [ z , z + h ] f F ′ = f F'=f F ′ = f
多邊形邊界版本。 假設一個緊緻多邊形區域（可帶有限個多邊形孔洞）及其鄰域均位於 f f f
4. 同倫與“無孔”的含義
路徑 γ 0 , γ 1 \gamma_0,\gamma_1 γ 0 , γ 1 H : [ 0 , 1 ] 2 → U H:[0,1]^2\to U H : [ 0 , 1 ] 2 → U H ( s , 0 ) = γ 0 ( s ) H(s,0)=\gamma_0(s) H ( s , 0 ) = γ 0 ( s ) H ( s , 1 ) = γ 1 ( s ) H(s,1)=\gamma_1(s) H ( s , 1 ) = γ 1 ( s ) H ( 0 , t ) , H ( 1 , t ) H(0,t),H(1,t) H ( 0 , t ) , H ( 1 , t ) t t t U U U 單連通 的。
同倫不變性。 若 f f f U U U U U U C 1 C^1 C 1
僅用局部原函數的證明。 H H H f f f
單連通區域上的柯西定理。 該區域上的全純函數沿每條閉圍道的積分均為零，因而有原函數。將圍道收縮，使用同倫不變性，再應用第 2 節即可。單連通是某個函數有原函數的充分條件，並非必要條件。例如函數 1 1 1 z z z
“曲線內部”這一常用說法對自交曲線或有孔區域需要謹慎。本章安全可用的版本是：圓盤、凸區域、所有相關曲線均位於其中的單連通區域，或閉包有全純鄰域且方向明確的區域。
5. 實際選擇圍道
使用柯西定理前，列出奇點或無定義點並確認實際定義域；再判斷是否可用原函數計算端點差、變形能否留在定義域內，或直接參數化是否更簡短。
例：兩條路徑與一個不允許的變形。 上、下半圓均從 1 1 1 − 1 -1 − 1
∫ upper d z z = i π , ∫ lower d z z = − i π . \int_{\text{upper}}\frac{dz}{z}=i\pi,\qquad
\int_{\text{lower}}\frac{dz}{z}=-i\pi. ∫ upper z d z = iπ , ∫ lower z d z = − iπ . 分別用角度 0 → π 0\to\pi 0 → π 0 → − π 0\to-\pi 0 → − π 2 π i 2\pi i 2 πi
對任意從 a a a b b b ∫ 2 z d z = b 2 − a 2 \int 2z\,dz=b^2-a^2 ∫ 2 z d z = b 2 − a 2 z 2 z^2 z 2 ∫ z ˉ d z \int\bar z\,dz ∫ z ˉ d z z ˉ \bar z z ˉ z ˉ = 1 / z \bar z=1/z z ˉ = 1/ z 2 π i 2\pi i 2 πi
6. 分層練習
P01 — 基礎。 沿從 0 0 0 1 + i 1+i 1 + i z 2 z^2 z 2
P02 — 基礎。 沿順時針方向計算 ∫ ∣ z − 2 ∣ = 3 ( z − 2 ) − 1 d z \int_{|z-2|=3}(z-2)^{-1}\,dz ∫ ∣ z − 2∣ = 3 ( z − 2 ) − 1 d z
P03 — 核心。 沿從零到 1 + i 1+i 1 + i 0 → 1 → 1 + i 0\to1\to1+i 0 → 1 → 1 + i ∫ γ z ˉ d z \int_\gamma\bar z\,dz ∫ γ z ˉ d z
P04 — 核心。 證明 1 / z 1/z 1/ z
P05 — 核心。 若半徑為 2 2 2 π / 3 \pi/3 π /3 ∣ f ( z ) ∣ ≤ 5 |f(z)|\le5 ∣ f ( z ) ∣ ≤ 5
P06 — 證明。 若連續函數 f n f_n f n f f f f f f
P07 — 診斷。 一名學生說，全純函數沿任何閉圍道積分均為零，因為曲線有緊緻內部。用具體例子解釋缺少甚麼假設。
P08 — 拓展。 設 U U U f f f U U U
7. 詳解
P01. 參數化 z = ( 1 + i ) t z=(1+i)t z = ( 1 + i ) t 0 ≤ t ≤ 1 0\le t\le1 0 ≤ t ≤ 1 ( 1 + i ) 3 ∫ 0 1 t 2 d t = ( − 2 + 2 i ) / 3 (1+i)^3\int_0^1t^2dt=(-2+2i)/3 ( 1 + i ) 3 ∫ 0 1 t 2 d t = ( − 2 + 2 i ) /3 z 3 / 3 z^3/3 z 3 /3
P02. 按第 1 節，逆時針為 2 π i 2\pi i 2 πi − 2 π i -2\pi i − 2 πi
P03. 在線段上 z = ( 1 + i ) t z=(1+i)t z = ( 1 + i ) t z ˉ d z = ( 1 − i ) t ( 1 + i ) d t = 2 t d t \bar z\,dz=(1-i)t(1+i)dt=2t\,dt z ˉ d z = ( 1 − i ) t ( 1 + i ) d t = 2 t d t 1 1 1 0 → 1 0\to1 0 → 1 1 / 2 1/2 1/2 1 → 1 + i 1\to1+i 1 → 1 + i z = 1 + i t z=1+it z = 1 + i t z ˉ d z = ( 1 − i t ) i d t = ( t + i ) d t \bar z\,dz=(1-it)i\,dt=(t+i)dt z ˉ d z = ( 1 − i t ) i d t = ( t + i ) d t 1 / 2 + i 1/2+i 1/2 + i 1 + i 1+i 1 + i
P04. 主值對數在右半平面全純且導數為 1 / z 1/z 1/ z 2 π i 2\pi i 2 πi
P05. 弧長為 2 π / 3 2\pi/3 2 π /3 10 π / 3 10\pi/3 10 π /3
P06. 由線性性和估計引理，∣ ∫ γ ( f n − f ) d z ∣ ≤ ℓ ( γ ) sup γ ∣ f n − f ∣ → 0 |\int_\gamma(f_n-f)dz|\le\ell(\gamma)\sup_\gamma|f_n-f|\to0 ∣ ∫ γ ( f n − f ) d z ∣ ≤ ℓ ( γ ) sup γ ∣ f n − f ∣ → 0
P07. 全純性必須覆蓋圍道填成區域的某個鄰域，或須滿足其他有效的拓撲版本。對去心平面上的 1 / z 1/z 1/ z 2 π i 2\pi i 2 πi
P08. 第 2 節的構造給出原函數。若 F , G F,G F , G H = F − G H=F-G H = F − G U U U H H H
8. 總結
圍道是帶方向的參數化對象。原函數給出端點計算；在區域上，連續函數的閉路積分為零可推出原函數。古薩細分直接從可微性建立局部柯西理論；局部原函數進一步給出同倫不變性及單連通區域上的柯西定理。圍道變形必須始終保留定義域和方向假設。下一章使用這些結果從邊界積分恢復函數值和導數。
