本映射專題使用的術語
在複定義域的內點 a a a f ′ ( a ) = lim h → 0 ( f ( a + h ) − f ( a ) ) / h f'(a)=\lim_{h\to0}(f(a+h)-f(a))/h f ′ ( a ) = lim h → 0 ( f ( a + h ) − f ( a )) / h 全純 ；在整個 C \mathbb C C 整函數 。全純函數的導數為零的點稱為臨界點 。反全純 函數是局部可寫成某個全純函數的複共軛的函數。在零點處一階導數非零時，該零點稱為單零點 。
1. 用不等式確定區域的像，而非只畫邊界
對 w = f ( z ) w=f(z) w = f ( z )
對 w = z 2 w=z^2 w = z 2 ∣ w ∣ = ∣ z ∣ 2 |w|=|z|^2 ∣ w ∣ = ∣ z ∣ 2 2 π 2\pi 2 π 0 < arg z < π / 2 0<\arg z<\pi/2 0 < arg z < π /2 ( 0 , π ) (0,\pi) ( 0 , π ) ( 0 , π / 2 ) (0,\pi/2) ( 0 , π /2 ) 2 z ≠ 0 2z\ne0 2 z = 0
例：雙曲線變為直線。 寫 z = x + i y z=x+iy z = x + i y w = u + i v = z 2 w=u+iv=z^2 w = u + i v = z 2 u = x 2 − y 2 u=x^2-y^2 u = x 2 − y 2 v = 2 x y v=2xy v = 2 x y x 2 − y 2 = c x^2-y^2=c x 2 − y 2 = c u = c u=c u = c 2 x y = d 2xy=d 2 x y = d v = d v=d v = d
2. 倒數映射交換有界與無界幾何
對於 w = 1 / z w=1/z w = 1/ z z ≠ 0 z\ne0 z = 0
w = x x 2 + y 2 − i y x 2 + y 2 . w=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}. w = x 2 + y 2 x − i x 2 + y 2 y . 因此 ∣ w ∣ = 1 / ∣ z ∣ |w|=1/|z| ∣ w ∣ = 1/∣ z ∣ − 1 / z 2 ≠ 0 -1/z^2\ne0 − 1/ z 2 = 0
去掉零點的單位圓盤映為 ∣ w ∣ > 1 |w|>1 ∣ w ∣ > 1 Im ( 1 / z ) = − y / ∣ z ∣ 2 \operatorname{Im}(1/z)=-y/|z|^2 Im ( 1/ z ) = − y /∣ z ∣ 2
∣ z − 1 ∣ = 1 ⟺ ∣ z ∣ 2 − 2 Re z = 0 |z-1|=1\quad\Longleftrightarrow\quad |z|^2-2\operatorname{Re}z=0 ∣ z − 1∣ = 1 ⟺ ∣ z ∣ 2 − 2 Re z = 0 除以 ∣ z ∣ 2 |z|^2 ∣ z ∣ 2 1 − 2 Re w = 0 1-2\operatorname{Re}w=0 1 − 2 Re w = 0 Re w = 1 / 2 \operatorname{Re}w=1/2 Re w = 1/2
3. Möbius 變換與半平面—圓盤對應
Möbius 變換 形如
w = a z + b c z + d , a d − b c ≠ 0. w=\frac{az+b}{cz+d},\qquad ad-bc\ne0. w = cz + d a z + b , a d − b c = 0. 在分母非零處它全純，導數為 ( a d − b c ) / ( c z + d ) 2 ≠ 0 (ad-bc)/(cz+d)^2\ne0 ( a d − b c ) / ( cz + d ) 2 = 0
z = d w − b a − c w . z=\frac{dw-b}{a-cw}. z = a − c w d w − b . 它擴展為擴充複平面 C ^ = C ∪ { ∞ } \widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\} C = C ∪ { ∞ }
廣義圓：非退化條件與完整的變換證明
真正的圓或直線並不是具有下列外形的任意方程。記
A ∣ z ∣ 2 + B z + B ˉ z ˉ + C = 0 , A , C ∈ R , B ∈ C , D = ∣ B ∣ 2 − A C . A|z|^2+Bz+\bar B\bar z+C=0,\qquad A,C\in\mathbb R,\quad B\in\mathbb C,\quad D=|B|^2-AC. A ∣ z ∣ 2 + B z + B ˉ z ˉ + C = 0 , A , C ∈ R , B ∈ C , D = ∣ B ∣ 2 − A C . 若 A ≠ 0 A\ne0 A = 0 D > 0 D>0 D > 0
∣ z + B ˉ A ∣ 2 = D A 2 . \left|z+\frac{\bar B}{A}\right|^2=\frac{D}{A^2}. z + A B ˉ 2 = A 2 D . 若 A = 0 A=0 A = 0 B ≠ 0 B\ne0 B = 0 2 Re ( B z ) + C = 0 2\operatorname{Re}(Bz)+C=0 2 Re ( B z ) + C = 0 D > 0 D>0 D > 0
為同時準確處理有限點與無窮遠點，用非零數對 ( Z , T ) (Z,T) ( Z , T ) ( z , 1 ) (z,1) ( z , 1 ) ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 )
q ( Z , T ) = A ∣ Z ∣ 2 + B Z T ˉ + B ˉ Z ˉ T + C ∣ T ∣ 2 = 0. q(Z,T)=A|Z|^2+BZ\bar T+\bar B\bar ZT+C|T|^2=0. q ( Z , T ) = A ∣ Z ∣ 2 + BZ T ˉ + B ˉ Z ˉ T + C ∣ T ∣ 2 = 0. 兩個座標同時乘以一個非零因子時，這個表達式乘以該因子模的平方，所以它的零點集定義良好。無窮遠點屬於此集合，當且僅當 A = 0 A=0 A = 0
設 Δ = a d − b c ≠ 0 \Delta=ad-bc\ne0 Δ = a d − b c = 0
( Z T ) = N ( W S ) , N = ( d − b − c a ) . \begin{pmatrix}Z\\T\end{pmatrix}=N\begin{pmatrix}W\\S\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. ( Z T ) = N ( W S ) , N = ( d − c − b a ) . 由於 det N = Δ \det N=\Delta det N = Δ N N N ( W , S ) = ( w , 1 ) (W,S)=(w,1) ( W , S ) = ( w , 1 )
A ′ ∣ w ∣ 2 + B ′ w + B ′ ‾ w ˉ + C ′ = 0 , A'|w|^2+B'w+\overline{B'}\bar w+C'=0, A ′ ∣ w ∣ 2 + B ′ w + B ′ w ˉ + C ′ = 0 , 其中
A ′ = A ∣ d ∣ 2 − B d c ˉ − B ˉ d ˉ c + C ∣ c ∣ 2 , A'=A|d|^2-Bd\bar c-\bar B\bar d c+C|c|^2, A ′ = A ∣ d ∣ 2 − B d c ˉ − B ˉ d ˉ c + C ∣ c ∣ 2 , B ′ = − A d b ˉ + B d a ˉ + B ˉ b ˉ c − C c a ˉ , B'=-Ad\bar b+Bd\bar a+\bar B\bar b c-Cc\bar a, B ′ = − A d b ˉ + B d a ˉ + B ˉ b ˉ c − C c a ˉ , C ′ = A ∣ b ∣ 2 − B b a ˉ − B ˉ b ˉ a + C ∣ a ∣ 2 . C'=A|b|^2-Bb\bar a-\bar B\bar b a+C|a|^2. C ′ = A ∣ b ∣ 2 − B b a ˉ − B ˉ b ˉ a + C ∣ a ∣ 2 . 首末兩個系數為實數。
還需排除變換後集合退化的可能。寫成
H = ( A B ˉ B C ) , q ( Z , T ) = ( Z ˉ T ˉ ) H ( Z T ) . H=\begin{pmatrix}A&\bar B\\B&C\end{pmatrix},\qquad q(Z,T)=\begin{pmatrix}\bar Z&\bar T\end{pmatrix}H\begin{pmatrix}Z\\T\end{pmatrix}. H = ( A B B ˉ C ) , q ( Z , T ) = ( Z ˉ T ˉ ) H ( Z T ) . 記 N ∗ N^* N ∗ H ′ = N ∗ H N H'=N^*HN H ′ = N ∗ H N
det ( ( p q r s ) ( u v w x ) ) = ( p u + q w ) ( r v + s x ) − ( p v + q x ) ( r u + s w ) = ( p s − q r ) ( u x − v w ) . \det\left(\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u&v\\w&x\end{pmatrix}\right)=(pu+qw)(rv+sx)-(pv+qx)(ru+sw)=(ps-qr)(ux-vw). det ( ( p r q s ) ( u w v x ) ) = ( p u + qw ) ( r v + s x ) − ( p v + q x ) ( r u + s w ) = ( p s − q r ) ( ux − v w ) . 又有 det ( N ∗ ) = det N ‾ \det(N^*)=\overline{\det N} det ( N ∗ ) = det N
A ′ C ′ − ∣ B ′ ∣ 2 = det H ′ = ∣ Δ ∣ 2 det H = ∣ Δ ∣ 2 ( A C − ∣ B ∣ 2 ) , A'C'-|B'|^2=\det H'=|\Delta|^2\det H=|\Delta|^2(AC-|B|^2), A ′ C ′ − ∣ B ′ ∣ 2 = det H ′ = ∣Δ ∣ 2 det H = ∣Δ ∣ 2 ( A C − ∣ B ∣ 2 ) , 從而
∣ B ′ ∣ 2 − A ′ C ′ = ∣ Δ ∣ 2 D > 0. |B'|^2-A'C'=|\Delta|^2D>0. ∣ B ′ ∣ 2 − A ′ C ′ = ∣Δ ∣ 2 D > 0. 若 A ′ ≠ 0 A'\ne0 A ′ = 0 A ′ = 0 A'=0 A ′ = 0 B ′ ≠ 0 B'\ne0 B ′ = 0
齊次論證也防止清分母後對有限點作出錯誤結論。若原集合包含無窮遠點，變換後的集合就包含它的像；該像未必有有限的原像。若原集合包含 Möbius 映射的極點，其像就是無窮遠點。要得到僅由原來的有限非極點組成的定義域的像，必須刪去那些僅來自被排除的原無窮遠點或極點的像點。這種刪點涉及映射的有限定義域版本，而不是擴充平面定理失效。
例如，將圓 ∣ z − 1 ∣ = 1 |z-1|=1 ∣ z − 1∣ = 1 A = 1 A=1 A = 1 B = − 1 B=-1 B = − 1 C = 0 C=0 C = 0 w = 1 / z w=1/z w = 1/ z A ′ = 0 A'=0 A ′ = 0 B ′ = − 1 B'=-1 B ′ = − 1 C ′ = 1 C'=1 C ′ = 1 Re w = 1 / 2 \operatorname{Re}w=1/2 Re w = 1/2
例。 Cayley 映射
w = z − i z + i w=\frac{z-i}{z+i} w = z + i z − i 將上半平面雙射到單位圓盤。事實上，
∣ z + i ∣ 2 − ∣ z − i ∣ 2 = 4 Im z , |z+i|^2-|z-i|^2=4\operatorname{Im}z, ∣ z + i ∣ 2 − ∣ z − i ∣ 2 = 4 Im z , 因此 Im z > 0 \operatorname{Im}z>0 Im z > 0 ∣ w ∣ < 1 |w|<1 ∣ w ∣ < 1 z = i ( 1 + w ) / ( 1 − w ) z=i(1+w)/(1-w) z = i ( 1 + w ) / ( 1 − w ) ∣ w ∣ < 1 |w|<1 ∣ w ∣ < 1
Im z = 1 − ∣ w ∣ 2 ∣ 1 − w ∣ 2 > 0 \operatorname{Im}z=\frac{1-|w|^2}{|1-w|^2}>0 Im z = ∣1 − w ∣ 2 1 − ∣ w ∣ 2 > 0 故同時證明了包含與滿射。實軸上的點的像模為一，但有限實點的像漏掉 w = 1 w=1 w = 1 z = ∞ z=\infty z = ∞
4. 指數條帶與對數坐標
對於 z = x + i y z=x+iy z = x + i y e z = e x e i y e^z=e^xe^{iy} e z = e x e i y y = θ y=\theta y = θ θ \theta θ x = c x=c x = c e c e^c e c 0 < β − α ≤ 2 π 0<\beta-\alpha\le2\pi 0 < β − α ≤ 2 π α < Im z < β \alpha<\operatorname{Im}z<\beta α < Im z < β 2 π 2\pi 2 π 2 π 2\pi 2 π 2 π 2\pi 2 π
主對數是指數在 − π < Im z < π -\pi<\operatorname{Im}z<\pi − π < Im z < π Log ( z w ) = Log z + Log w \operatorname{Log}(zw)=\operatorname{Log}z+\operatorname{Log}w Log ( z w ) = Log z + Log w
例。 環形扇區 1 < ∣ z ∣ < e 2 1<|z|<e^2 1 < ∣ z ∣ < e 2 0 < arg z < π / 3 0<\arg z<\pi/3 0 < arg z < π /3 0 < Re w < 2 0<\operatorname{Re}w<2 0 < Re w < 2 0 < Im w < π / 3 0<\operatorname{Im}w<\pi/3 0 < Im w < π /3
5. 複三角函數是整函數，但並非有界
定義
sin z = e i z − e − i z 2 i , cos z = e i z + e − i z 2 . \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\qquad
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2. sin z = 2 i e i z − e − i z , cos z = 2 e i z + e − i z . 由指數函數求導得 sin ′ = cos \sin'=\cos sin ′ = cos cos ′ = − sin \cos'=-\sin cos ′ = − sin sin 2 z + cos 2 z = 1 \sin^2z+\cos^2z=1 sin 2 z + cos 2 z = 1 z = x + i y z=x+iy z = x + i y
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y , \sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y, sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y , cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y , \cos z=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y, cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y , 其中 cosh y = ( e y + e − y ) / 2 \cosh y=(e^y+e^{-y})/2 cosh y = ( e y + e − y ) /2 sinh y = ( e y − e − y ) / 2 \sinh y=(e^y-e^{-y})/2 sinh y = ( e y − e − y ) /2 ∣ sin z ∣ ≤ 1 |\sin z|\le1 ∣ sin z ∣ ≤ 1 ∣ y ∣ → ∞ |y|\to\infty ∣ y ∣ → ∞ sin ( i y ) = i sinh y \sin(iy)=i\sinh y sin ( i y ) = i sinh y
sin z \sin z sin z e 2 i z = 1 e^{2iz}=1 e 2 i z = 1 z = k π z=k\pi z = kπ k k k cos ( k π ) = ( − 1 ) k ≠ 0 \cos(k\pi)=(-1)^k\ne0 cos ( kπ ) = ( − 1 ) k = 0 π / 2 + k π \pi/2+k\pi π /2 + kπ tan z \tan z tan z a = π / 2 + k π a=\pi/2+k\pi a = π /2 + kπ cos a = 0 \cos a=0 cos a = 0 cos ′ ( a ) = − sin a ≠ 0 \cos'(a)=-\sin a\ne0 cos ′ ( a ) = − sin a = 0
lim z → a ( z − a ) tan z = sin a cos ′ ( a ) = − 1. \lim_{z\to a}(z-a)\tan z=\frac{\sin a}{\cos'(a)}=-1. z → a lim ( z − a ) tan z = cos ′ ( a ) sin a = − 1. 這個有限非零極限就是這裡使用的單極點行為：函數像 1 / ( z − a ) 1/(z-a) 1/ ( z − a )
6. 練習
P01 — 基礎。 求扇形 0 < arg z < π / 3 0<\arg z<\pi/3 0 < arg z < π /3 z 3 z^3 z 3
P02 — 核心。 求 ∣ z ∣ > 2 |z|>2 ∣ z ∣ > 2 1 / z 1/z 1/ z
P03 — 核心。 求上半平面在 ( z − i ) / ( z + i ) (z-i)/(z+i) ( z − i ) / ( z + i )
P04 — 核心。 求 0 < Re z < 1 0<\operatorname{Re}z<1 0 < Re z < 1 0 < Im z < π / 2 0<\operatorname{Im}z<\pi/2 0 < Im z < π /2
P05 — 診斷。 有限實軸在 Cayley 映射下的像是整個單位圓嗎？解釋漏掉的點。
P06 — 證明。 證明 Möbius 變換在其有限全純域內沒有臨界點。
P07 — 核心。 用實雙曲函數表示 sin ( 2 i ) \sin(2i) sin ( 2 i ) cos ( 2 i ) \cos(2i) cos ( 2 i )
P08 — 拓展。 找一個將開右半平面映到單位圓盤的 Möbius 映射，並證明包含與滿射。
7. 完整解答
P01. 輻角從 ( 0 , π / 3 ) (0,\pi/3) ( 0 , π /3 ) ( 0 , π ) (0,\pi) ( 0 , π )
P02. 不等式給出 0 < ∣ w ∣ < 1 / 2 0<|w|<1/2 0 < ∣ w ∣ < 1/2
P03. 第 3 節的計算給出 ∣ w ∣ < 1 |w|<1 ∣ w ∣ < 1 z = i ( 1 + w ) / ( 1 − w ) z=i(1+w)/(1-w) z = i ( 1 + w ) / ( 1 − w ) ( 1 − ∣ w ∣ 2 ) / ∣ 1 − w ∣ 2 > 0 (1-|w|^2)/|1-w|^2>0 ( 1 − ∣ w ∣ 2 ) /∣1 − w ∣ 2 > 0
P04. 像是環形扇區 1 < ∣ w ∣ < e 1<|w|<e 1 < ∣ w ∣ < e 0 < arg w < π / 2 0<\arg w<\pi/2 0 < arg w < π /2
P05. 不是。等式 ( z − i ) / ( z + i ) = 1 (z-i)/(z+i)=1 ( z − i ) / ( z + i ) = 1 − i = i -i=i − i = i z z z
P06. 求導得到 ( a d − b c ) / ( c z + d ) 2 (ad-bc)/(cz+d)^2 ( a d − b c ) / ( cz + d ) 2
P07. sin ( 2 i ) = i sinh 2 \sin(2i)=i\sinh2 sin ( 2 i ) = i sinh 2 cos ( 2 i ) = cosh 2 \cos(2i)=\cosh2 cos ( 2 i ) = cosh 2 − sinh 2 2 + cosh 2 2 = 1 -\sinh^22+\cosh^22=1 − sinh 2 2 + cosh 2 2 = 1
P08. 取 w = ( z − 1 ) / ( z + 1 ) w=(z-1)/(z+1) w = ( z − 1 ) / ( z + 1 ) Re z > 0 \operatorname{Re}z>0 Re z > 0 ∣ z + 1 ∣ 2 − ∣ z − 1 ∣ 2 = 4 Re z > 0 |z+1|^2-|z-1|^2=4\operatorname{Re}z>0 ∣ z + 1 ∣ 2 − ∣ z − 1 ∣ 2 = 4 Re z > 0 ∣ w ∣ < 1 |w|<1 ∣ w ∣ < 1 z = ( 1 + w ) / ( 1 − w ) z=(1+w)/(1-w) z = ( 1 + w ) / ( 1 − w ) ( 1 − ∣ w ∣ 2 ) / ∣ 1 − w ∣ 2 > 0 (1-|w|^2)/|1-w|^2>0 ( 1 − ∣ w ∣ 2 ) /∣1 − w ∣ 2 > 0 − 1 -1 − 1
8. 總結
冪映射使角度按倍數變化，倒數映射改變徑向尺度，Möbius 映射交換廣義圓，對數則把環形扇區變成矩形。要確定精確的像，須給出逆映射或等價的滿射檢驗。複三角函數從指數繼承解析性，卻不繼承其在實數上的有界性質。
