複平面幾何、微分與分支

1. 為甚麼複導數比兩個實偏導數要求更強

複數是一對實數，並採用 $i^2=-1$ 的乘法規則。寫作 $z=x+iy$、$\bar z=x-iy$、$\operatorname{Re}z=x$、$\operatorname{Im}z=y$、$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$。於是 $z\bar z=|z|^2$；若 $z\ne0$，則 $z^{-1}=\bar z/|z|^2$。由下式可得三角不等式：

$$|z+w|^2=|z|^2+2\operatorname{Re}(z\bar w)+|w|^2\le(|z|+|w|)^2.$$

因此 $\big||z|-|w|\big|\le|z-w|$。複平面上的距離就是歐幾里得距離。

開圓盤 $D(a,r)$ 由滿足 $|z-a|<r$ 的點組成。若集合中每一點都屬於某個完全包含在該集合中的圓盤，則該集合是開集。區域是非空的開連通集。極限和連續性使用距離 $|z-w|$；沿一條或幾條路徑趨近可否定極限存在，但有限條路徑的結果一致並不能證明極限存在。

乘以 $re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，相當於旋轉 $\theta$ 並按 $r\ge0$ 縮放。角度只在模 $2\pi$ 意義下確定，並非唯一的實數。De Moivre（棣莫弗）公式可由三角函數的加法公式相乘得到。因此，對於 $\rho>0$ 和整數 $n\ge1$，$z^n=\rho e^{i\theta}$ 的 $n$ 個不同解為

$$\rho^{1/n}e^{i(\theta+2\pi k)/n},\qquad 0\le k<n.$$

沒有其他解：任一根的模必須如上，其角度也必須滿足所示同餘關係。方程 $z^n=0$ 只有零這一個根，重數為 $n$。

例：幾何原像。 $|z-1|=|z+1|$ 化為 $(x-1)^2+y^2=(x+1)^2+y^2$，故 $x=0$。到兩點等距的點組成兩點連線的垂直平分線。研究映射時，先算出原像的條件，再畫圖。

當 $a\ne0$，映射 $z\mapsto az+b$ 是旋轉、伸縮和平移的組合。映射 $z\mapsto\bar z$ 是反射而非旋轉。這一區別在微分中至關重要。

2. 定義與柯西–黎曼方程

設 $f$ 在 $a$ 的一個鄰域內有定義。若極限存在，其複導數定義為

$$f'(a)=\lim_{h\to0,\ h\in\mathbb C\setminus\{0\}}\frac{f(a+h)-f(a)}h,$$

所有複方向都必須得到同一個值。如果導數在某個開集的每一點存在，就稱 $f$ 在該開集上全純。在一點可微並不表示在該點的鄰域內全純。我們用解析表示局部可由收斂冪級數表示；後續章節將證明它與全純的等價性。

寫 $f=u+iv$。若 $f'(a)=\alpha+i\beta$ 存在，沿實軸和虛軸取增量可得，在 $a$ 處

$$u_x=\alpha,\quad v_x=\beta,\quad u_y=-\beta,\quad v_y=\alpha$$

因此 柯西–黎曼方程是必要條件：

$$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.$$

當實導數存在時，這些方程表明它的矩陣為

$$\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{pmatrix},$$

即乘以一個複數。一般實導數可以是任意 $2\times2$ 實矩陣，不一定具有這種形式。

精確的充分性定理。 假設將 $f$ 視為 $\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ 的映射時，它在 $a$ 實可微，且其偏導數在該處滿足柯西–黎曼方程。那麼 $f'(a)$ 存在，且等於 $u_x(a)+iv_x(a)$。特別地，若 $u,v$ 在 $a$ 的鄰域內具有連續的一階偏導數，且在 $a$ 滿足方程，這些條件便充分。

證明。 實可微意味著

$$f(a+h)-f(a)=L(h)+r(h),\qquad |r(h)|/|h|\to0,$$

其中 $L$ 是實線性映射。方程使 $L(h)=ch$，其中 $c=u_x(a)+iv_x(a)$。除以 $h\ne0$ 後得到 $c+r(h)/h$；誤差的模為 $|r(h)|/|h|\to0$。由連續偏導數推出實可微的通常定理得到最後的斷言。反過來，複可微恰好給出這樣的實線性近似，其中 $L(h)=f'(a)h$。∎

為甚麼正則性假設重要。 定義 $f(0)=0$，而當 $z\ne0$ 時 $f(z)=\bar z^2/z$。由於 $|f(z)|=|z|$，它在零點連續。在實軸上 $f(x)=x$，在虛軸上 $f(iy)=iy$。零點的四個實偏導數都存在，且滿足柯西–黎曼方程。然而

$$\frac{f(z)}z=\frac{\bar z^2}{z^2}$$

在正實軸上為 $1$，在射線 $\arg z=\pi/4$ 上為 $-1$。所以零點不存在複導數。四個偏導數存在，即使再加上連續性，也不等於所需的正則性假設。

3. 用計算解釋幾何

使用複增量，極限的代數運算可證明和、積、商及鏈式法則，過程與實導數類似。商法則要求該點的分母非零。多項式在 $\mathbb C$ 上全純；有理函數在其分母的零點之外全純。約去因子可能得到延拓，但在明確賦值之前，原有理表達式在被排除點仍無定義。

例：$z^2$。 差商為 $2z+h$，所以 $f'(z)=2z$。實部和虛部為 $u=x^2-y^2$、$v=2xy$，兩條柯西–黎曼方程處處成立。當 $z\ne0$ 時，微小增量的效果是旋轉 $\arg(2z)$ 並按 $2|z|$ 縮放。

對 $f(z)=\bar z$，沿實增量和純虛增量的差商分別為 $1$ 和 $-1$。它處處實可微，卻處處不複可微。對 $f(z)=|z|^2$，方程要求 $x=y=0$；在零點差商為 $\bar h\to0$。故它僅在零點複可微，不在任何非空開集上全純。

若 $f$ 全純且 $f'(a)\ne0$，它保持經過 $a$ 且切向量非零的兩條可微曲線之間的有向角：鏈式法則將兩個切向量乘以同一個非零複數。這是局部結論，不表示映射在整體上一一對應，也不適用於 $f'(a)=0$ 的臨界點。例如，$z^2$ 在去心複平面上是二對一的，並在零點將射線間的角度加倍。

若 $u,v$ 屬於 $C^2$ 且在某區域滿足柯西–黎曼方程，微分可得

$$u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0,$$

同理 $v_{xx}+v_{yy}=0$。滿足此方程的 $C^2$ 實函數稱為調和函數。求調和共軛是一個微分方程問題，可能受到整體拓撲障礙的限制；僅憑調和性不能斷言存在整體共軛函數。

例：構造共軛函數。 設 $u=x^2-y^2+2x$。方程要求 $v_y=2x+2$、$v_x=2y$。積分得 $v=2xy+2y+C$，因此 $u+iv=z^2+2z+iC$。調和共軛中的常數是實數，因此它為 $f$ 增加一個純虛常數。

4. 指數與對數：局部逆和整體取值

定義

$$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$$

由實指數及三角函數的加法公式可得加法定律。其分量屬於 $C^1$ 且滿足柯西–黎曼方程，故 $(e^z)'=e^z$。此外 $e^z\ne0$、$|e^z|=e^{\operatorname{Re}z}$，並且 $e^z=e^w$ 當且僅當 $z-w=2\pi ik$，其中 $k$ 為整數。因此指數函數在整個 $\mathbb C$ 上沒有單值逆函數。

$z\ne0$ 的對數由以下所有值組成：

$$\log|z|+i(\theta+2\pi k),\qquad k\in\mathbb Z,$$

其中 $z=|z|e^{i\theta}$。這是一個值的集合，不是單值函數。開集 $U$ 上的全純對數分支是滿足對每個 $z\in U$ 都有 $e^{L(z)}=z$ 的全純函數 $L$。

在割平面區域 $\Omega=\mathbb C\setminus(-\infty,0]$ 上，取唯一的連續角度 $\operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi)$。全純主值對數為

$$\operatorname{Log}z=\log|z|+i\operatorname{Arg}z\quad(z\in\Omega).$$

角度在局部有連續偏導數 $\theta_x=-y/(x^2+y^2)$、$\theta_y=x/(x^2+y^2)$。令 $u=\tfrac12\log(x^2+y^2)$，它們滿足柯西–黎曼方程，因此

$$(\operatorname{Log}z)'=1/z.$$

這個選擇排除了非正實軸。數值約定可以將負實數的角度指定為 $\pi$，從而在該處給出逐點主值；但這不會使該約定跨越割線全純。

$\mathbb C\setminus\{0\}$ 上不存在整體連續輻角。 假設 $\theta$ 連續且 $e^{i\theta(z)}=z/|z|$。在單位圓上令 $g(t)=\theta(e^{it})-t$，其中 $0\le t\le2\pi$。其值屬於 $2\pi\mathbb Z$，由區間上的連續性可知它為常數。但 $\theta(e^{2\pi i})=\theta(1)$ 蘊含 $g(2\pi)=g(0)-2\pi$，矛盾。因此該集合上也不存在整體連續對數。這個證明只用到連續性，不用圍道積分。

若兩個對數分支 $L_1,L_2$ 定義在同一個連通區域上，它們的差屬於 $2\pi i\mathbb Z$ 且連續，因此為常數。若沒有連通性，各連通分量中的整數可以不同。

選定分支後定義 $z^\alpha=\exp(\alpha L(z))$，在其定義域上導數為 $\alpha z^\alpha/z$。此定義依賴分支；整數冪則單值，不同分支給出相同結果，非整數冪一般並非如此。對於主值，只有當選定的輻角相加不跨越割線時，才有 $\operatorname{Log}(zw)=\operatorname{Log}z+\operatorname{Log}w$。例如取 $z=w=e^{3\pi i/4}$，兩個主值對數之和與 $\operatorname{Log}(zw)$ 相差 $2\pi i$。

5. 練習：計算、診斷與證明

P01 — 基礎。 求 $-8$ 的所有立方根，並驗證它們的和。

P02 — 基礎。 描述 $|z-2i|<2$ 及其與實軸的交集。區分開圓盤與其邊界。

P03 — 核心。 確定 $f(z)=x^2+iy^2$ 在哪些點複可微，以及在哪些地方全純。

P04 — 核心。 對 $f(z)=z\bar z+2z$，確定可微點，並在任何例外點直接求導數。

P05 — 核心。 求 $u=e^x\cos y$ 在 $\mathbb C$ 上的所有調和共軛，並寫出所得全純函數。

P06 — 核心。 在 $\Omega$ 上求 $\operatorname{Log}(i)$ 和 $-i$ 的主值平方根，並求該平方根分支的導數。

P07 — 診斷。 一名學生檢查了零點的柯西–黎曼方程，便斷言函數在零點附近全純。指出該論證的兩個不同缺陷，並舉例說明。

P08 — 證明。 證明區域上的實值全純函數為常數。可以使用實可微性，以及 $\mathbb R^2$ 的開連通子集具有折線路徑連通性這一事實。

P09 — 證明。 若 $L$ 是某區域上的全純對數分支，用鏈式法則證明 $L'=1/z$，並解釋為何零不能屬於該區域。

P10 — 拓展。 確定複常數 $a,b$ 何時使 $z\mapsto az+b\bar z$ 全純。若它實可微，求其實雅可比行列式，並解釋 $a=0$、$b\ne0$ 的情形。

6. 詳解

P01. 寫 $-8=8e^{i\pi}$。三個根為 $2e^{i\pi/3}=1+i\sqrt3$、$2e^{i\pi}=-2$ 和 $2e^{5i\pi/3}=1-i\sqrt3$。它們的立方均為 $-8$，和為零。角度相差 $2\pi/3$，故互不相同；求根公式保證沒有遺漏。

P02. 這是以 $(0,2)$ 為圓心、半徑為二的開圓盤。若 $z=x$ 為實數，$|x-2i|^2=x^2+4\ge4$，所以與實軸的交集為空。零在邊界上，不在圓盤內。

P03. 此處 $u_x=2x$、$u_y=0$、$v_x=0$、$v_y=2y$。分量屬於 $C^1$，方程恰在 $x=y$ 時成立。因此導數恰在該直線上存在，且等於 $2x$。直線不包含任何開圓盤，所以不存在非空開集使函數在其上全純。這個可微點集本身不是開區域。

P04. $2z$ 項處處全純；$|z|^2$ 僅在零點可微。因此 $f$ 僅在零點可微，且 $f'(0)=\lim_{h\to0}(|h|^2+2h)/h=\lim(\bar h+2)=2$。它不在任何非空開集上全純。

P05. 方程給出 $v_y=e^x\cos y$、$v_x=e^x\sin y$，因此 $v=e^x\sin y+C$。故 $f=e^z+iC$，其中 $C\in\mathbb R$。任意兩個共軛函數之差的兩個偏導數均為零，並在連通的平面上為常數，所以已列出全部解。

P06. $\operatorname{Log}i=i\pi/2$。選定的平方根為 $\exp(\tfrac12\operatorname{Log}(-i))=e^{-i\pi/4}=(1-i)/\sqrt2$。對 $s(z)=\exp(\operatorname{Log}z/2)$，由於 $s(z)^2=z$ 且 $s$ 在 $\Omega$ 上非零，故 $s'(z)=s(z)/(2z)=1/(2s(z))$。

P07. 第一，若沒有實可微性或其他有效的正則性條件，僅有一點處的偏導數與方程並不充分；將 $\bar z^2/z$ 在零點延拓為零便是反例。第二，即使正確證明一點處有導數，也不能說明某個鄰域中處處有導數；$|z|^2$ 僅在零點可微。這是兩個邏輯上不同的缺陷。

P08. 寫 $f=u+i0$。柯西–黎曼方程蘊含 $u_x=u_y=0$。複可微蘊含實可微，因此把 $u$ 限制在區域內的線段上，由鏈式法則及實數平均值定理可知它在線段上為常數。平面的開連通子集內任意兩點可用有限折線連接；逐段應用上述結論，兩點函數值相同。連通性是必要的：不同連通分量可以取不同常數。

P09. 對 $e^{L(z)}=z$ 求導，得 $e^{L(z)}L'(z)=1$，即 $zL'(z)=1$。指數函數永不為零，所以該恆等式不可能在零點成立。這個證明適用於任何已存在的分支，並不證明每個不含零的區域都存在對數分支。

P10. 實線性使它在每一點的實導數都等於映射本身。其差商為 $a+b\bar h/h$。沿實增量和純虛增量分別得到 $a+b$ 和 $a-b$，所以在任何點複可微都要求 $b=0$；而此條件也保證處處複可微。寫 $a=\alpha+i\beta$、$b=\gamma+i\delta$，實矩陣為 $\begin{pmatrix}\alpha+\gamma&-\beta+\delta\\\beta+\delta&\alpha-\gamma\end{pmatrix}$，其行列式為 $|a|^2-|b|^2$。當 $a=0$、$b\ne0$，映射是反射、旋轉和伸縮的組合，反轉方向，與其負行列式一致。

7. 總結與後續聯繫

複微分意味著以複數乘法作近似，而非任意實線性映射。柯西–黎曼方程在一點是必要條件；若同時已知實可微，則也是充分條件。全純要求開鄰域。分支在精心指定的定義域上將多值逆變為函數；割線是定義的一部分，不是可以忽略的細節。下一章從參數化曲線構建圍道積分，而不預先假設全純函數已有冪級數。