柯西積分公式與全純函數的剛性

1. 邊界積分確定內部值

對 $c\in\mathbb C$、$R>0$，令圓周 $C:|z-c|=R$ 取逆時針方向。假設 $f$ 在閉圓盤 $\overline{D(c,R)}$ 的開鄰域上全純。對每個滿足 $|a-c|<R$ 的 $a$，

$$f(a)=\frac1{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz.$$

分母在 $C$ 上不為零。該公式給出內部點的值，並不適用於外部點或圍道上的點。

本證明所用的開集。 令 $U$ 為假設中包含閉圓盤的開全純鄰域。所有移動圓周，包括最初的邊界圓周，都在 $U\setminus\{a\}$ 內考慮。下文證明中的「去心圓盤」是在這個周圍開集內去掉 $a$ 後理解的。各圓周位於閉圓盤內且避開 $a$，因此緊緻同倫像在 $U\setminus\{a\}$ 中有局部原函數圓盤。

證明。 取 $\varepsilon>0$ 使 $|a-c|+\varepsilon<R$。用圓心 $(1-t)c+ta$、半徑 $(1-t)R+t\varepsilon$，將外圓變形為小圓 $C_\varepsilon:|z-a|=\varepsilon$ 而不經過 $a$。每個移動的圓都圍住 $a$ 並留在原圓盤內。對去心圓盤上的 $f(z)/(z-a)$ 使用 C02 的網格／局部原函數證明。雖然移動基點不固定，兩條側邊軌跡相同並互相抵消，因此閉路積分不變。故

$$\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz=\int_{C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-a}\,dz =2\pi if(a)+\int_{C_\varepsilon}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz.$$

最後一項的模至多為 $2\pi\sup_{|z-a|=\varepsilon}|f(z)-f(a)|$，由 $f$ 在 $a$ 的連續性，該上界趨於零，證明公式。∎

這個證明沒有預先假設 $(f(z)-f(a))/(z-a)$ 在 $a$ 有全純延拓；該性質是下面所得正則性的結果。

例。 若 $|z|=2$ 取正向，則

$$\int_{|z|=2}\frac{e^z}{z-1}\,dz=2\pi i e.$$

若分母換成 $z-3$，則 $e^z/(z-3)$ 在閉圓盤的鄰域上全純，柯西定理給出零。應用公式前先確定極點位置。

2. 所有高階導數及其界

對開圓盤中的 $a$，從 $a$ 到圍道的距離為正。在 $a$ 附近充分小的圓盤內，核 $1/(z-a)$ 的差商對 $z\in C$ 一致收斂到 $1/(z-a)^2$。估計引理允許將極限移入圍道積分。重複論證得到

$$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz,\qquad n=0,1,2,\ldots.$$

核的一致收斂論證證明這些導數存在，並未假設 $f$ 起初屬於 $C^\infty$。同一公式還說明導數局部連續，因為分母一致遠離零。

在以 $a$ 為圓心、半徑為 $r$ 的圓周上，令 $M_r=\max_{|z-a|=r}|f(z)|$。由長度估計得到柯西估計

$$|f^{(n)}(a)|\le\frac{n!M_r}{r^n}.$$

所選圓盤的邊界必須有全純鄰域；不能將半徑擴大到穿過奇點。

例。 對 $|z|=2$，

$$\int\frac{e^z}{(z-1)^3}\,dz=\frac{2\pi i}{2!}f''(1)=\pi ie.$$

這裡階乘是 $2!$ 而不是 $3!$，因為分母指數比導數階數大一。

3. 局部冪級數、孤立零點與唯一性

固定 $a$，取全純域內閉圓盤 $|z-a|\le r$。對 $|w-a|<r$，在其邊界用等比級數展開核：

$$\frac1{z-w}=\frac1{z-a}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{w-a}{z-a}\right)^n.$$

當 $|w-a|\le\rho<r$，公比的模至多為 $\rho/r<1$，所以該級數在圍道上一致收斂。逐項積分並使用導數公式得

$$f(w)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(w-a)^n.$$

因此每個全純函數都是解析的。反過來，冪級數的導數級數在較小圓盤上一致收斂，故冪級數在其收斂圓盤內可微，因此解析函數全純。這裡並未假設實可微函數也具有這一性質。

若 $f(a)=0$ 且第一個非零泰勒系數的指標是 $m$，則

$$f(z)=(z-a)^mg(z),\qquad g(a)\ne0,$$

其中 $g$ 在附近全純。由連續性，$g$ 在更小圓盤內不為零，所以 $a$ 是孤立零點，其階為 $m$。若所有泰勒系數都為零，則 $f$ 在 $a$ 附近的圓盤上為零。

恆等定理。 若區域上的全純函數 $f,g$ 在某個集合上相等，且該集合在區域內有聚點，則它們在整個區域上相等。

證明。 對 $h=f-g$ 使用上述零點討論。內部點處的聚集零點排除首個非零泰勒系數，故 $h$ 在該點的某個鄰域為零。令 $A$ 為那些擁有 $h=0$ 的鄰域的點組成的集合；它非空且開。若 $A$ 中的點趨向區域內的 $b$，由導數連續性，所有 $h^{(n)}(b)$ 都為零，再由泰勒展開知 $b$ 屬於 $A$。因此 $A$ 也相對閉；連通性使 $A$ 等於整個區域。∎

只在缺失的邊界點處聚集並不足夠：$\sin(\pi/z)$ 的零點 $z=1/n$ 聚集於零，但該函數在去心平面上並不恆為零。

4. 平均值與最大模

在圓心處將公式參數化得到平均值恆等式

$$f(a)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a+re^{it})\,dt.$$

它平均的是複數值，不是模。三角不等式蘊含 $|f(a)|\le\max_{|z-a|=r}|f(z)|$。

強最大模原理。 若 $f$ 在區域上全純，且 $|f|$ 在內部點取得局部最大值，則 $f$ 為常數。

證明。 假設 $a$ 附近 $|f(z)|\le M=|f(a)|$。若 $M=0$，則 $f=0$ 在局部成立。若 $M>0$，將 $f$ 乘以單位複常數，使其在 $a$ 的值為 $M>0$。在以 $a$ 為圓心的充分小圓周上，其實部至多為 $M$，平均值卻是 $M$。由連續性，圓周上每一點的實部都是 $M$；由於模至多為 $M$，虛部必須為零。改變半徑可知函數在圓盤內為常數；恆等定理將常數性質推廣至整個區域。∎

邊界版本。 若 $f$ 在有界區域的閉包上連續、在內部全純，則其模在緊緻閉包上取得的最大值可在邊界取得。若最大值在內部取得，強原理使 $f$ 在區域上為常數，而連續性使邊界具有相同值。若要省略有界性或閉包上的連續性，必須另作論證。

5. 劉維爾定理、多項式根與莫雷拉定理

劉維爾定理。 有界整函數為常數。若 $\mathbb C$ 上 $|f|\le M$，對任意 $a$ 和任意半徑 $r$ 的圓盤使用 $n=1$ 的估計：$|f'(a)|\le M/r$。令 $r\to\infty$ 得 $f'=0$，故函數在連通平面上為常數。

代數基本定理。 每個非常數複系數多項式都有複根。若 $p$ 無根，$1/p$ 便是整函數。其最高次項表明當 $|z|\to\infty$ 時 $|p(z)|\to\infty$，故 $1/p$ 在大圓盤之外有界；在剩餘緊緻圓盤上由連續性也有界。劉維爾定理使 $1/p$ 為常數，與 $p$ 的次數矛盾。反覆除以線性因式後，每個 $n$ 次多項式都恰好分解為 $n$ 個線性因式，按重數計數。

莫雷拉定理。 若開集上的連續函數 $f$ 沿每個閉內部包含於該開集的三角形邊界積分均為零，則 $f$ 在該處全純。

證明。 在開集中的圓盤內，從圓心出發定義線段積分函數 $F$。三角形抵消與連續性如 C02 所示給出 $F'=f$，所以 $F$ 全純。已經證明的高階導數公式說明 $F'$ 全純，故 $f$ 在每點局部全純。∎

莫雷拉定理是帶連續性假設的圍道定理的逆向結論。典型應用是：若全純函數列在開集的每個緊子集上一致收斂，則極限在局部連續，其三角形積分是各項積分的極限；莫雷拉定理使極限全純。僅有逐點收斂不是這一結論的假設。

6. 練習

P01 — 基礎。 沿逆時針方向計算 $\int_{|z|=3}z^2/(z-1)\,dz$。

P02 — 核心。 沿逆時針方向計算 $\int_{|z|=2}\cos z/z^3\,dz$。

P03 — 核心。 若 $f$ 在 $|z|\le4$ 的鄰域上全純，且其上 $|f|\le7$，給出 $|f^{(3)}(0)|$ 的上界。

P04 — 證明。 證明若整函數滿足 $|f(z)|\le C(1+|z|^m)$，其中 $m\ge0$ 為整數，則它是次數至多為 $m$ 的多項式。

P05 — 診斷。 兩個整函數在每個 $1/n$ 處相等，是否必然相同？若在每個正整數處相等，是否必然相同？分別說明理由。

P06 — 證明。 設 $f$ 在區域上處處非零且全純。若 $|f|$ 在內部有局部最小值，證明 $f$ 為常數。為甚麼需要非零假設？

P07 — 核心。 若函數在 $|z|<1$ 上全純、在 $|z|\le1$ 上連續，且邊界上 $|f|\le2$，證明全域都有 $|f|\le2$。若 $|f(0)|=2$，可得甚麼結論？

P08 — 拓展。 若 $f_n$ 在區域上全純並在緊子集上一致收斂，用莫雷拉定理證明極限全純。解釋如何由導數公式進一步得到 $f_n'$ 在緊子集上一致收斂。

7. 詳解

P01. 點 $1$ 位於圓內，分子是整函數。公式給出 $2\pi i\cdot1^2=2\pi i$。

P02. 分母指數 $3$ 對應二階導數：積分為 $2\pi i(\cos)''(0)/2!=-\pi i$。

P03. 以四為半徑使用柯西估計，$|f^{(3)}(0)|\le3!\cdot7/4^3=21/32$。這是統一上界，在有額外信息時未必是最優界。

P04. 對每個整數 $n>m$，在零點使用估計得 $|f^{(n)}(0)|\le n!C(1+R^m)/R^n\to0$，其中 $R\to\infty$。次數高於 $m$ 的泰勒系數均為零。由於函數是整函數，其零點泰勒展開在每個圓盤上都表示該函數，因而在全平面成立。零函數也包括在內。

P05. 對 $1/n$，答案是肯定的：零是共同定義域 $\mathbb C$ 內的聚點，恆等定理適用。對正整數，答案是否定的：函數 $0$ 和 $\sin(\pi z)$ 在所有正整數處相等，卻並不相同。無窮遠不是複平面的內部聚點。

P06. 因為 $f$ 處處非零，$1/f$ 全純。$|f|>0$ 的局部最小值對應 $|1/f|$ 的局部最大值，故最大模原理使 $1/f$ 及 $f$ 為常數。若允許零點，$f(z)=z$ 的模在零處有局部最小值，但函數不是常數。

P07. 閉圓盤緊緻，其上的連續函數取得最大模。邊界原理給出該最大值不超過二。若 $|f(0)|=2$，最大值在內部取得，強原理使 $f$ 為常數且常數的模為二。

P08. 在區域內每個小閉圓盤上，一致收斂保證極限連續。對區域內任意閉三角形，在其緊緻邊界上一致收斂，再由估計引理得 $\int f=\lim\int f_n=0$；莫雷拉定理給出全純性。對導數收斂，在給定緊集每點周圍選取足夠小且相同的正半徑，使圓周仍在區域內；這些圓周的並包含在一個緊鄰域中。對 $f_n-f$ 使用柯西導數估計，導數差由常數乘以函數一致差控制。緊集的有限覆蓋給出其上一致收斂。也可取小於該緊集到補集正距離的統一半徑，並使用有界緊增厚集；若區域是整個平面，取任何充分小的固定半徑即可。

8. 總結

邊界值確定內部每階導數。柯西核的等比展開證明解析性和唯一性，進而得到最大模原理、劉維爾定理和多項式根的存在性。莫雷拉定理提供從圍道積分為零回到全純性的途徑。下一章研究最大收斂圓盤與圓環，其中負次冪記錄孔洞和孤立奇點。