指數、對數與三角函數的嚴格構造

熟悉的圖像不是數學定義。我們從收斂級數構造初等函數，證明其代數與微分法則，並在證明所需值域之後才定義反函數分支。這不同於對已假定存在且性質已知的函數應用泰勒公式。

1 構造指數函數

對每個實數 $x$ 定義 $E(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!$。比值判別法給出絕對收斂。在每個有界區間上，階乘控制項保證該級數及其導數級數一致收斂。一致求導定理因此給出 $E'=E$ 和 $E(0)=1$。

數組 $x^my^n/(m!n!)$ 絕對可和，因為其絕對總和為 $E(|x|)E(|y|)<\infty$。二重級數 Fubini 定理允許按 $m+n=k$ 分組。二項式定理於是給出

$$E(x)E(y)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(x+y)^k}{k!}=E(x+y).$$

特別地，$E(x)E(-x)=1$，所以 $E$ 從不為零。又因 $E(x)=E(x/2)^2>0$，故 $E'=E>0$，由中值定理可知它嚴格遞增。對 $x\ge0$，非負項級數給出 $E(x)\ge1+x$，所以當 $x\to\infty$ 時 $E(x)\to\infty$。倒數恆等式給出當 $x\to-\infty$ 時 $E(x)\to0$。連續性與介值定理表明其值域恰為 $(0,\infty)$。

現在記 $\exp x=E(x)$、$e=E(1)$。通常的實指數運算法則和導數已由定義證明，而非根據圖像或冪記號假定。

2 定義對數與實數冪

定義 $\log:(0,\infty)\to\mathbb R$ 為連續嚴格遞增函數 $E$ 的反函數。它的導數為 $1/x$。直接證明可對 $\log x$ 和 $\log(x+h)$ 之間的 $E$ 應用中值定理：

$$h=E(\xi_h)[\log(x+h)-\log x].$$

反函數的連續性使 $\xi_h\to\log x$，故差商趨於 $1/E(\log x)=1/x$。反函數連續，是因為連續嚴格單調且映到某區間上的函數具有連續反函數；可用定義域中靠近反函數值的兩點之像夾住該值來證明。

由於 $\log1=0$，微積分基本定理給出

$$\log x=\int_1^x\frac{dt}{t}\quad(x>0).$$

指數乘積法則和單射性證明對正數 $x,y$ 有 $\log(xy)=\log x+\log y$。對任意實數 $a$，在 $x>0$ 上定義 $x^a=E(a\log x)$；鏈式法則給出導數 $ax^{a-1}$。此構造沒有在實數域內為負數定義任意無理數冪。

例如，當 $x\to\infty$ 時，極限 $\log x/x\to0$ 可不借助未經證明的對數法則得到。令 $x=E(t)$，其中 $t\to\infty$。當 $t>0$ 時，指數級數給出 $E(t)\ge t^2/2$，因此 $0\le t/E(t)\le2/t\to0$。

3 用級數定義正弦與餘弦

定義

$$S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad C(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.$$

與 $E$ 一樣，階乘控制項在有界區間上控制每個導數級數。因此 $S'=C$、$C'=-S$、$S(0)=0$、$C(0)=1$，且 $S$ 為奇函數、$C$ 為偶函數。對 $S^2+C^2$ 求導得到零，其在零處的值為 1，所以

$$S(x)^2+C(x)^2=1.$$

為推導加法公式，先注意一個基本唯一性事實：若 $u'=-v$、$v'=u$ 且兩個初值均為零，則 $(u^2+v^2)'=0$，迫使兩個函數均為零。固定 $y$ 時，平移後的函數對 $(C(x+y),S(x+y))$ 與函數對

$$(C(x)C(y)-S(x)S(y),\ S(x)C(y)+C(x)S(y))$$

滿足同一微分方程組且在零處相等。對它們之差應用唯一性論證。因此熟悉的加法公式是級數及導數的結果，而不是預先假定的三角恆等式。

4 定義圓周率並證明基本週期

在 2 處的級數滿足 $C(2)<1-2+2/3=-1/3$：這些項之後交錯尾項從負項開始且各項絕對值嚴格遞減。因此由連續性可知 2 以下有正零點，而 $C(0)=1$ 給出一個沒有零點的初始鄰域。設 $\rho$ 為正零點的下確界。取趨於它的零點序列並用連續性，可得 $C(\rho)=0$ 且 $\rho>0$。

在 $\rho$ 之前餘弦為正；否則由連續性會出現更早的零點。因此在那裡 $S'=C>0$，所以 $S(\rho)>0$，單位圓恆等式給出 $S(\rho)=1$。定義 $\pi=2\rho$。加法公式給出

$$C(x+\rho)=-S(x),\qquad S(x+\rho)=C(x).$$

四次這樣的平移回到原函數對，得到公共週期 $4\rho=2\pi$。最小性需要單獨論證。在依次的四個開象限區間內，$(C,S)$ 的符號分別為 $(+,+),(-,+),(-,-),(+,-)$；中間端點處的值依次為 $(0,1),(-1,0),(0,-1)$。因此在 $0<x<4\rho$ 內不會再次取到 $(1,0)$。任何更小的公共週期都會迫使零點處的函數對再次取該值。對平移恆等式求導表明 $S$ 的週期也是 $C=S'$ 的週期；對 $C$ 的週期同理。所以 $2\pi$ 是兩函數各自的最小正週期。

記 $\sin=S$、$\cos=C$。參數化單位圓曲線 $(C(x),S(x))$ 的速度為 1。第一象限的嚴格單調性及四分之一週轉恆等式使其在 $[0,2\pi)$ 內恰好繞圓一周。因此該參數與單位圓上的有向弧長一致；構造完成之後，才將解析參數與幾何弧度相聯繫。

為明確弧長的認定，可用一個初等 C1 曲線論證。設 $\gamma:[a,b]\to\mathbb R^2$ 屬 C1，把其長度定義為所有有限劃分的折線弦長和的上確界。微積分基本定理與積分範數不等式，使每個弦長和至多為 $\int_a^b\|\gamma'(t)\|dt$。反過來，$\gamma'$ 一致連續，具有模 $\omega(\eta)\to0$。對網格寬度為 $\eta$ 的劃分中長度為 $\Delta t$ 的區間，其弦向量與左端點 $\gamma'$ 乘 $\Delta t$ 的差，範數至多為 $\omega(\eta)\Delta t$，二者長度之差也有同一界。求和說明弦長和與速率積分的 Riemann 和之差至多為 $(b-a)\omega(\eta)$。所以該上確界等於速率積分。對已構造的單位圓曲線，速率為一，故正向參數恰好量度弧長；前面的四分之一轉構造保證在最小週期前恰走一周。

5 反函數分支與端點極限

在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 上，正弦嚴格遞增且值域為 $[-1,1]$；在 $[0,\pi]$ 上，餘弦嚴格遞減且值域同為該區間。這些限制定義了 $\arcsin$ 和 $\arccos$。商 $\tan=S/C$ 在 $(-\pi/2,\pi/2)$ 上的導數為 $1/C^2>0$，兩端極限分別為方向相反的無窮大，因而在整個實數軸上定義了 $\arctan$。

反函數求導，並考慮所選分支的符號，得到

$$\frac d{du}\arcsin u=\frac1{\sqrt{1-u^2}},\quad \frac d{du}\arccos u=-\frac1{\sqrt{1-u^2}}\quad(|u|<1),$$

以及對所有實數 $u$ 的 $(\arctan u)'=1/(1+u^2)$。前兩個公式並未聲稱端點處有有限導數。在反正弦分支上餘弦非負且在內部為正，因此平方根取正號，並非任意選取代數符號。

練習與完整解答

E1 構造。 解釋為甚麼指數乘積恆等式的這一二重級數證明需要對二重級數的絕對控制，而不僅是兩個因子的部分和分別逐點收斂。

S1. 展開乘積引入所有項指標對，並按總次數分組。絕對可和使行、欄和對角線的分組等價。僅有逐點收斂不能證明這樣的重排有效；行和與欄和不同的二重級數反例說明了缺少的原理。

E2 定義域與導數。 從定義推導 $x^{\sqrt2}$ 的導數，並指出此處它的實數定義域。

S2. 在 $x>0$ 上定義 $x^{\sqrt2}=E(\sqrt2\log x)$。鏈式法則給出 $E(\sqrt2\log x)\sqrt2/x=\sqrt2 x^{\sqrt2-1}$。此構造未給負輸入提供實值定義。

E3 唯一性。 不調用一般常微分方程唯一性定理，證明 $u''+u=0$、$u(0)=A$、$u'(0)=B$ 蘊含 $u=AC+BS$。

S3. 減去 $AC+BS$ 得到 $v''=-v$，且 $v(0)=v'(0)=0$。$v^2+(v')^2$ 的導數為零，因此恆等於初值零。$v$ 和 $v'$ 均為零，證明該公式。直接求導驗證了所示解的存在性。

E4 反函數分支。 計算 $\arcsin(\sin\pi)$，並解釋無限制的正弦為何不能有全局反函數。

S4. 四分之一週轉恆等式給出 $\sin\pi=0$，反函數分支給出 $\arcsin0=0$，不是 $\pi$。週期性使許多實數輸入對應同一個正弦值；只有限制在一一對應的分支上才有反函數。

E5 積分恆等式。 用構造出的對數證明：對 $0<a<b$，有 $\int_a^b dt/t=\log b-\log a$。

S5. 構造出的對數在正區間上導數為 $1/t$，且該導數在 $[a,b]$ 上連續。因此微積分基本定理第二部分給出端點之差。若加入零或負端點，就改變了實數定義域問題。

小結

級數絕對收斂構造出指數函數及其乘積法則。正性和單調性使對數成為真正的反函數。正弦與餘弦由各自的收斂級數構造；能量唯一性給出加法公式，首個零點的論證給出圓周率和最小週期。反函數公式需要分支限制和開值域內的求導條件。