黎曼積分、微積分基本定理與反常積分

即使被積函數有跳躍，積分仍可能存在；在比連續性更弱的條件下，原函數也可以還原積分。反常積分則在無窮端點或奇點引入另一種極限。我們將這些構造分開，確保只在有依據時應用微積分基本定理。

1 有限區間上的 Darboux 可積性

設 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，且 $a<b$。對分割 $P:a=x_0<\cdots<x_n=b$，定義

$$U(f,P)=\sum_i\sup_{[x_{i-1},x_i]}f\,\Delta x_i,\qquad L(f,P)=\sum_i\inf_{[x_{i-1},x_i]}f\,\Delta x_i.$$

加細分割使 $U$ 不增、$L$ 不減。共同加細證明每個下和都不超過每個上和。上積分為 $\inf_PU$，下積分為 $\sup_PL$；兩者相等定義了黎曼可積性。等價地，對每個 $\varepsilon>0$，存在分割使 $U-L<\varepsilon$：夾逼證明充分性，而近似最優的上下分割及其共同加細證明必要性。

一致連續性證明閉有界區間上的每個連續函數可積。單調性也是充分條件，即使有間斷亦然。對不減函數 $f$，等長的 $n$ 段分割給出

$$U-L=\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n[f(x_i)-f(x_{i-1})] =\frac{b-a}{n}[f(b)-f(a)]\longrightarrow0.$$

積分具有線性和保序性。例如，$|\int_a^bf|\le\int_a^b|f|\le(b-a)\sup|f|$。這些性質先由各小區間和得到，再通過極限得到。在內部點分割的可加性則來自組合兩部分的分割。

2 微積分基本定理的兩個方向

基本定理第一部分。 若有界函數 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可積，且 $F(x)=\int_a^xf(t)dt$，則 $F$ 是 Lipschitz 函數。在 $f$ 連續的每個內點，$F'(x)=f(x)$。

證明。 若 $|f|\le M$，可加性給出 $|F(y)-F(x)|\le M|y-x|$。對連續點和充分小的非零 $h$，

$$\frac{F(x+h)-F(x)}h-f(x)=\frac1h\int_x^{x+h}[f(t)-f(x)]dt.$$

其絕對值不超過兩端點之間 $|f(t)-f(x)|$ 的上確界，而該上確界趨於零。有向積分也處理負 $h$。$\square$

在跳躍處，可微性可能失敗：若在 $1/2$ 以下有 $f=0$、以上有 $f=1$，則無論跳躍點賦給被積函數甚麼值，累積函數在 $1/2$ 的左斜率為 0，右斜率為 1。

基本定理第二部分。 若 $G$ 在 $[a,b]$ 上連續，在 $(a,b)$ 上可微，且在該開區間上 $G'=f$，其中 $f$ 在閉區間上有界且黎曼可積，則

$$\int_a^bf(x)dx=G(b)-G(a).$$

證明。 在每個分割小區間上，中值定理給出內點 $\xi_i$，使 $G(x_i)-G(x_{i-1})=f(\xi_i)\Delta x_i$。求和後相消得到端點之差。當分割的網格趨於零時，這些黎曼和收斂到積分。$f$ 的端點值不影響積分。$\square$

因此被積函數連續是第二部分的充分條件，但不是必要條件。不能對閉區間上無界的奇異被積函數應用這一論證；它需要反常極限。

FTC 第二部分使用的任意充分細標記和收斂，可直接由 Darboux 定義推出。若 $|f|\le M$ 且 $f$ 的積分為 $I$，固定 $\varepsilon>0$，取 $P_0$ 使 $U(f,P_0)-L(f,P_0)<\varepsilon$。設 $k$ 為 $P_0$ 的內部劃分點個數。對網格寬度為 $\eta$ 的任意標記劃分 $P$，加入這些固定點細化為 $Q$。只有內部含有 $P_0$ 劃分點的 $P$ 區間被切開，其總長度至多為 $k\eta$。未切開的區間使用相同標記點，被切開的小段可任取允許標記。若相應和為 $S_P,S_Q$，有界性給出 $|S_P-S_Q|\le2Mk\eta$。由於 $Q$ 細化 $P_0$，$S_Q$ 和 $I$ 都在 $L(f,P_0)$ 與 $U(f,P_0)$ 之間。因此

$$|S_P-I|<\varepsilon+2Mk\eta.$$

固定 $P_0$ 後，這證明 $\eta\to0$ 時的收斂對所有標記一致；若 $k=0$，第二項為零。這補上了 Darboux 判據與中值定理的望遠鏡和之間的聯繫，同時仍允許有界但不連續的被積函數。

估計中使用的絕對值結論也可閉合。對每個區間 $J$，由 $||u|-|v||\le|u-v|$ 有 $\operatorname{osc}(|f|,J)\le\operatorname{osc}(f,J)$。因此 Darboux 判據說明 $f$ 可積時 $|f|$ 也可積。有限標記和滿足三角不等式，令其趨向剛證明的極限，得到 $|\int f|\le\int|f|$。再由保序性得到 $\int|f|\le M(b-a)$。這裏沒有給 FTC 第二部分增加連續性假設。

3 反常端點與 Cauchy 判別准則

對 $[a,\infty)$ 上局部黎曼可積的 $f$，當有限極限存在時定義 $\int_a^\infty f=\lim_{B\to\infty}\int_a^Bf$。在奇異端點 $a$，定義 $\int_a^bf=\lim_{\delta\downarrow0}\int_{a+\delta}^bf$。若兩端均為反常端點，則在固定內點分割，並分別要求兩個極限存在。對稱消去不是收斂的定義。

無窮端點積分收斂，當且僅當其尾部滿足：對每個 $\varepsilon>0$，存在 $A$，使所有 $B>C\ge A$ 均有 $|\int_C^Bf|<\varepsilon$。必要性來自相減兩個接近極限的累積積分。充分性來自端點趨於無窮時累積值是 Cauchy 的；$\mathbb R$ 的完備性給出有限極限。

若 $f\ge0$，累積積分遞增，所以收斂等價於其有界。因此，最終有 $0\le f\le g$ 且 $\int g$ 收斂，蘊含 $\int f$ 收斂。若 $\int|f|$ 收斂，則絕對尾界及 Cauchy 准則證明 $\int f$ 收斂。這稱為絕對收斂；逆命題不成立。

對於冪函數模型，以下兩個積分分別當且僅當所示條件成立時收斂：

$$\int_1^\infty x^{-p}dx\quad(p>1),\qquad \int_0^1x^{-p}dx\quad(p<1).$$

先在正常有限區間上計算原函數，再取端點極限；$p=1$ 時使用對數。

4 一個條件收斂的振蕩積分

對 $B>A\ge1$，分部積分給出

$$\int_A^B\frac{\sin x}{x}dx=\left[-\frac{\cos x}{x}\right]_A^B-\int_A^B\frac{\cos x}{x^2}dx.$$

尾積分的絕對值至多為 $1/A+1/B+(1/A-1/B)=2/A$。Cauchy 准則證明 $\int_1^\infty\sin x/x\,dx$ 收斂。

它不絕對收斂。在每個區間 $[n\pi+\pi/6,n\pi+5\pi/6]$ 上，$|\sin x|\ge1/2$ 且 $x\le(n+1)\pi$。它對 $\int|\sin x|/x$ 的貢獻至少為 $1/[3(n+1)]$。將不相交區間的貢獻相加，得到發散的調和級數下界。消去至關重要，所以取絕對值或重排等操作需要單獨論證。

這裏用到的三角恆等式在本課程的初等函數章節中以解析方式建立，並不作為允許任意反常換序的依據。

練習與完整解答

E1 基礎。 設 $f(x)=0$ 於 $[0,1/2)$，$f(x)=2$ 於 $[1/2,1]$。求 $F(x)=\int_0^xf$，並指出其導數不存在的位置。

S1. 當 $0\le x\le1/2$ 時 $F(x)=0$，當 $1/2\le x\le1$ 時 $F(x)=2x-1$。它連續且為 Lipschitz 函數，但在 $1/2$ 的左右導數分別為 0 和 2，因此該處導數不存在。在 $(0,1)$ 中除 $1/2$ 外的每一點，基本定理第一部分適用。端點只有單側導數：$F'_+(0)=0$、$F'_-(1)=2$。

E2 收斂性。 判斷 $\int_1^\infty x^{-3/2}dx$ 與 $\int_0^1x^{-3/2}dx$ 的收斂性，並在有限時求值。

S2. 在有限端點之間，原函數為 $-2x^{-1/2}$。從 1 到無窮的積分為 2，而下端點積分發散到正無窮。同一個冪在零和無窮處可能表現不同。

E3 技巧。 計算 $\int_1^\infty (\log x)/x^2\,dx$，並論證端點極限。

S3. 在 $[1,B]$ 上分部積分得到 $-(\log B)/B+1-1/B$。由於 $(\log B)/B\to0$，極限為 1。例如，對數／指數的構造給出 $\log B=o(B)$，或可用已證明的基本極限得到同一端點結論。所有有限區間積分都遠離奇點。

E4 消去。 解釋為甚麼儘管對稱截斷積分為零，$\int_{-1}^1dx/x$ 作為反常積分仍發散。

S4. 在零處分割後，必須分別計算 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 上的積分；兩者都按對數形式發散，符號相反。為零的對稱主值是另一種極限，不是所需兩個反常部分的收斂。寫成無窮減無窮不會產生積分值。

小結

Darboux 和獨立於原函數定義有限區間積分。微積分基本定理的兩部分有不同的條件和結論。反常積分增加了端點極限，此時 Cauchy 尾部、比較與絕對收斂控制哪些操作仍然有效。