多元可微性與中值估計

幾個方向上的變化率未必能組合成良好的線性近似。分析的核心問題是：一個線性映射能否控制所有充分小位移的誤差，而不只是在選定直線上控制誤差。這一區別是鏈式法則、泰勒估計和多元優化的基礎。

1 範數、極限與導數

在有限維空間中使用歐氏範數。對開集 $U\subset\mathbb R^n$ 和 $f:U\to\mathbb R^m$，在 $a$ 處連續是指當 $\|x-a\|\to0$ 時 $\|f(x)-f(a)\|\to0$。若存在線性映射 $L$ 使

$$\lim_{h\to0}\frac{\|f(a+h)-f(a)-Lh\|}{\|h\|}=0.$$

則稱映射在 $a$ 處可微。映射 $L=Df(a)$ 稱為全導數或 Fréchet 導數。它是唯一的：若 $L$ 和 $M$ 均滿足條件，代入 $h=tv$，對每個 $v$ 得到 $\|(L-M)v\|=0$。對 $h=\sum_{j=1}^n h_je_j$，線性與三角不等式給出 $\|Lh\|\le\sum_j|h_j|\|Le_j\|\le(\sum_j\|Le_j\|)\|h\|$。這直接證明有限維中的有界性。由導數定義便得到連續性。

雅可比矩陣的元素為 $\partial f_i/\partial x_j$。通過考察 $h=te_j$ 可知，可微蘊含這些偏導數存在且是 $L$ 的矩陣元素。若所有偏導數在鄰域中連續，則 $f$ 在該鄰域可微。對標量函數 $f$，將增量分成 $n$ 個坐標方向步驟，對每一步應用一元中值定理。得到的系數是在趨於 $a$ 的點處的偏導數；連續性使誤差至多為 $\sum o(1)|h_j|=o(\|h\|)$。對向量值函數逐分量應用即可。

2 為甚麼直線檢驗可能失敗

定義 $f(0,0)=0$，並令

$$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}\quad\text{for }(x,y)\ne(0,0).$$

因為 $|f(x,y)|\le|y|$，它在原點連續。原點的兩個坐標偏導數均為零。若它可微，則導數必為零。但沿 $h=(t,t)$ 有 $f(t,t)=t/2$，並且

$$\frac{|f(t,t)|}{\|(t,t)\|}=\frac1{2\sqrt2},$$

它不趨於零。因此函數不可微。實際上每個方向導數都存在，但它們對方向的依賴不是線性的，這也是存在全導數的障礙。

3 控制誤差的鏈式法則

定理。 若 $f$ 在 $a$ 處可微、$g$ 在 $f(a)$ 處可微，且複合函數在 $a$ 附近有定義，則

$$D(g\circ f)(a)=Dg(f(a))Df(a).$$

證明。 寫成 $f(a+h)-f(a)=Lh+r(h)$，其中 $r(h)=o(\|h\|)$。這一增量 $k$ 是 $O(\|h\|)$。第二個近似給出 $g(f(a)+k)-g(f(a))=Mk+s(k)$，其中 $s(k)=o(\|k\|)$。因此減去 $MLh$ 後的餘項為 $Mr(h)+s(k)=o(\|h\|)$。當 $k=0$ 時，第二個餘項按定義為零，所以不需要除零的例外處理。$\square$

對於 $f(x,y)=(xy,x+y)$ 和 $g(u,v)=u^2+v$，複合函數的導數為 $(2xy^2+1,2x^2y+1)$；直接求 $x^2y^2+x+y$ 的導數或相乘雅可比矩陣都可得到這個結果。

4 沿線段的中值定理

標量中值定理。 若線段 $[a,b]$ 位於開定義域中，且 $f:U\to\mathbb R$ 在其上可微，則存在 $t\in(0,1)$ 使

$$f(b)-f(a)=Df(a+t(b-a))(b-a).$$

對 $\phi(t)=f(a+t(b-a))$ 應用一元中值定理，再由鏈式法則求導即可。向量值函數不一定存在單個點滿足類似的向量等式：$f(t)=(\cos t,\sin t)$ 在 $[0,2\pi]$ 上總增量為零，但導數從不為零。

向量值情形有如下有效估計：若 $f$ 沿線段為 $C^1$，且 $\|Df(x)\|_{\rm op}\le M$，則

$$\|f(b)-f(a)\|\le M\|b-a\|.$$

逐分量積分路徑的導數並使用範數不等式即可證明。若同一個常數 $M$ 在開凸定義域的每個 $x$ 處都控制 $\|Df(x)\|_{\rm op}$，則估計適用於任意連接線段，給出該定義域上的全局 Lipschitz 常數 $M$。只在某一條線段上另行選出的界，並非全局界。不連通或非凸定義域未必包含所需線段。

練習與完整解答

E1 基礎。 從定義直接證明 $f(x,y)=xy$ 在 $(a,b)$ 處可微。

S1. 位移 $(h,k)$ 對應的增量為 $bh+ak+hk$。線性部分為 $bh+ak$，且 $|hk|\le(h^2+k^2)/2$，因此餘項除以 $\sqrt{h^2+k^2}$ 趨於零。

E2 反例。 對第 2 節的函數，計算單位向量 $v=(p,q)$ 方向的方向導數，說明它不是 $v$ 的線性函數。

S2. 對 $v\ne0$，$f(tp,tq)/t=p^2q/(p^2+q^2)$；對於單位向量則為 $p^2q$。它在兩個坐標方向均為零，但在 $(1,1)/\sqrt2$ 處非零，所以不可能是線性泛函。該公式擴展到任意非零方向時是齊次但不具有可加性的函數。

E3 估計。 對 $R\ge0$，證明 $f(x,y)=(x^2,y^2)$ 在正方形 $[-R,R]^2$ 上是 Lipschitz 連續的，常數為 $2R$。

S3. 當 $R\ge0$ 時，雅可比矩陣為 $\operatorname{diag}(2x,2y)$，其算子範數至多為 $2R$。正方形內兩點間的線段均位於正方形內，因此可應用線段估計。也可直接對每個平方差估計，再把界平方求和。

E4 證明。 若在凸開集上 $Df=0$，證明 $f$ 在該集合上為常數，包括向量值的 $f$。

S4. 對集合中任意 $a,b$，把每個分量限制在線段上。其一元導數為零，因此由中值定理兩端的分量值相同。故 $f(a)=f(b)$。

總結

可微性是由單個線性映射給出的統一一階近似。僅有偏導數或方向導數並不能保證可微。線段論證使一元定理得以謹慎推廣，但不能混淆標量等式與向量範數估計。