一致 Cauchy 控制與極限的求導

學習目標與量詞

從一致尾部控制得到一致極限，區分保持連續性與保持導數，並以中值定理證明求導定理。對非空集合 $A$ 上的實函數，一致收斂意味著 $\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|\to0$，且誤差最終有限。一致 Cauchy 指對每個 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使所有 $x\in A$ 及所有 $m,n\ge N$ 均滿足 $|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon$。若 $A=\varnothing$，則採用的 epsilon–N 條件空真成立，不使用空集的實數上確界。

定理：一致完備性

實值函數列一致收斂，當且僅當它一致 Cauchy。

證明。 一致收斂時，兩個大小為 $\varepsilon/2$ 的誤差給出 Cauchy 估計。反之，一致 Cauchy 蘊含每個固定 $x$ 的 $(f_n(x))$ 都是實數 Cauchy 序列，故定義 $f(x)=\lim_n f_n(x)$。固定 $\varepsilon>0$，使用容差 $\varepsilon/2$ 的一致 Cauchy 條件。對每個 $x$ 和 $n\ge N$，在估計中令 $m\to\infty$，得到 $|f_n(x)-f(x)|\le\varepsilon/2<\varepsilon$。同一 $N$ 對所有點有效，故一致收斂。值域空間 $\mathbb R$ 的完備性提供逐點極限。

不假設 $C^1$ 的求導與極限交換

定理

設 $a<b$。假設每個 $f_n$ 在 $[a,b]$ 連續、在 $(a,b)$ 可微；若在一個固定點 $x_0\in[a,b]$ 處 $f_n(x_0)$ 收斂，且 $f_n'$ 在 $(a,b)$ 一致收斂到 $g$，則 $f_n$ 在 $[a,b]$ 一致收斂到連續函數 $f$，後者在 $(a,b)$ 可微且 $f'=g$。不要求各導數函數連續。

存在性的證明。 導數一致收斂，故一致 Cauchy。當 $m,n$ 充分大時，對 $f_n-f_m$ 在 $x_0$ 與任意 $x$ 之間應用中值定理，得到

$$|f_n(x)-f_m(x)|\le|f_n(x_0)-f_m(x_0)|+(b-a)\sup_{(a,b)}|f_n'-f_m'|.$$

錨點值序列為 Cauchy 序列，因此右側一致地趨小。一致完備性給出一致極限 $f$；連續函數的一致極限連續。

導數恆等式的證明。 固定內部點 $x$ 和 $\varepsilon>0$。選取 $N$，使所有內部點 $t$ 和所有 $n\ge N$ 均滿足 $|f_n'(t)-f_N'(t)|\le\varepsilon$，並且 $|g(x)-f_N'(x)|\le\varepsilon$。對充分小的非零 $h$，在從 $x$ 到 $x+h$ 的線段上對 $f_n-f_N$ 應用中值定理：

$$\left|\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}h-\frac{f_N(x+h)-f_N(x)}h\right|\le\varepsilon.$$

在這兩個固定輸入處令 $n\to\infty$，相同不等式對以 $f$ 代替 $f_n$ 的情形成立。固定的 $f_N$ 在 $x$ 可微，故當 $h$ 足夠小時，它的差商與 $f_N'(x)$ 相差小於 $\varepsilon$。三角不等式說明 $f$ 的差商與 $g(x)$ 之差的絕對值至多為 $3\varepsilon$。$\varepsilon$ 任意，便證明可微且導數相等。此論證沒有對 $g$ 積分，因此沒有暗中假設 $g$ 連續或 Riemann 可積。

反例

僅函數一致收斂不夠。 函數 $f_n(x)=\sin(nx)/n$ 在任意實定義域上一致趨於零，因為絕對值至多為 $1/n$。但 $f_n'(0)=1$，極限函數的導數卻為零。因此不能僅以 $f_n$ 的一致收斂取代導數條件。

導數逐點收斂不夠。 在 $[0,1]$ 上令 $f_n(x)=\sqrt{x^2+1/n}$。這些函數一致收斂到 $f(x)=x$，因為非負差值至多為 $1/\sqrt n$。其導數為 $x/\sqrt{x^2+1/n}$：對 $x>0$ 逐點趨於一，在零處卻趨於零。這個端點現象說明端點的單側導數與導數列的極限可能不一致；定理的可微結論只針對內部。若要內部反例，在 $[-1,1]$ 上同一函數列收斂到 $|x|$，後者在零處不可微，儘管各函數都光滑。導數不一致收斂，其逐點極限不連續。

分級練習

1. 基礎。 證明 $x/n$ 在 $[-2,2]$ 一致收斂，但在 $\mathbb R$ 上不一致收斂。
2. 核心。 在 $[-1,1]$ 上通過控制導數級數，對 $f_n(x)=\sum_{k=1}^n x^k/2^k$ 應用定理。
3. 核心。 證明 $[0,1]$ 上的 $u_n(x)=nx(1-x^2)^n$ 逐點趨於零但不一致趨於零。
4. 證明。 解釋為甚麼即使所有導數恆為零，也不能省略 $f_n$ 在單個錨點的收斂性。

完整解答

1. 在 $[-2,2]$ 上誤差上確界為 $2/n\to0$。在整個實數直線上，每個 $n$ 的誤差都無界，因此不一致收斂，但仍逐點收斂。
2. 導數項滿足 $|kx^{k-1}/2^k|\le k/2^k$，其數項級數由比值判別法收斂。由 Weierstrass M 判別法，導數列一致收斂；所有部分和在零處均為零，提供錨點。因此其和可微，導數等於逐項導數級數。已知幾何級數和為 $x/(2-x)$，其導數為 $2/(2-x)^2$。
3. 在 $x=0$ 和 $x=1$ 處各項為零。對固定的 $0<x<1$，$(1-x^2)^n$ 的指數衰減快於 $n$ 的增長，故極限為零。取 $x_n=1/\sqrt{2n}$，則 $u_n(x_n)=\sqrt{n/2}(1-1/(2n))^n$，由 Bernoulli 不等式得 $(1-1/(2n))^n\ge1/2$，因此 $u_n(x_n)\ge\sqrt{n/2}/2\to\infty$。誤差上確界不趨於零。
4. 取 $f_n(x)=n$。每個導數都為零並一致趨於零，但函數在每點都發散。導數信息只控制函數值之差；錨點固定了加法常數。

總結與術語

一致 Cauchy 函數族在整個定義域上使用同一個尾部閾值。錨點值固定原本自由的加法常數。求導與極限交換需要導數的一致控制，而不只是函數誤差小。中值估計在比連續導數積分證明更弱的假設下證明定理，且結論明確只涉及內部點。