3.1 數項級數與收斂判別法

部分和與尾和

定義

級數收斂

若部分和 $s_N=\sum_{n=1}^N a_n$ 收斂至 $s$，則稱級數 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收斂至 $s$。若 $\sum|a_n|$ 收斂，稱絕對收斂；若原級數收斂但非絕對收斂，稱條件收斂。

部分和的柯西判據指出，收斂等價於：對每個 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使所有 $n\ge m\ge N$ 都有 $|\sum_{k=m}^n a_k|<\varepsilon$。特別地，收斂必有 $a_n\to0$，但此必要條件並不充分：調和級數發散。

定理

比較與絕對收斂

若最終有 $0\le a_n\le b_n$，則 $\sum b_n$ 收斂蘊含 $\sum a_n$ 收斂；$\sum a_n$ 發散蘊含 $\sum b_n$ 發散。若 $\sum|a_n|$ 收斂，則 $\sum a_n$ 收斂。

證明

尾和控制證明絕對收斂蘊含收斂

若 $\sum|a_n|$ 收斂，其非負尾和可任意小。由三角不等式，$|\sum_{k=m}^n a_k|\le\sum_{k=m}^n|a_k|$，故帶符號級數的部分和是柯西數列，並在 $\mathbb R$ 中收斂。比較結果由單調有界部分和及逆否命題得到。

例題

等比、調和與 p 級數

若 $|r|<1$，$\sum_{n=0}^N r^n=(1-r^{N+1})/(1-r)$ 趨向 $1/(1-r)$。對調和級數，從 $1/2$ 起分組：$1/2$，再 $1/3+1/4$，再 $1/5+\cdots+1/8$，如此類推；每組至少為 $1/2$。部分和無界，故級數發散，雖然項趨零。標準 $p$ 級數 $\sum n^{-p}$ 在 $p>1$ 時收斂、在 $p\le1$ 時發散；可用積分或二進分組比較判別法證明此界線。

比值及交錯判別法

若最終 $a_n\ne0$ 且 $\limsup|a_{n+1}/a_n|<1$，則由等比級數比較可得絕對收斂。若最終 $|a_{n+1}/a_n|\ge1$，則項不可能趨零，級數發散。比值極限為 $1$ 時不能判斷：$\sum1/n$ 和 $\sum1/n^2$ 的比值均趨向 $1$，但收斂性不同。

比值判別法收斂情形的證明。 假設充分大的 $n$ 均有 $a_n\ne0$，且 $\limsup |a_{n+1}/a_n|<1$。取嚴格大於該上極限的 $0<q<1$。存在 $N$，使每個 $n\ge N$ 都滿足 $|a_{n+1}/a_n|\le q$。逐項迭代得到

$$|a_{N+k}|\le |a_N|q^k\qquad(k\ge0).$$

幾何級數 $\sum_{k\ge0}|a_N|q^k$ 收斂，故比較判別法證明絕對值尾和收斂。有限前綴不影響收斂，因此 $\sum a_n$ 絕對收斂。對一族級數作一致結論，還需要對輸入一致成立的界。

若 $b_n\ge0$ 非遞增並趨於零，則 $\sum(-1)^{n-1}b_n$ 收斂，且取 $N$ 項後的誤差絕對值至多 $b_{N+1}$。偶數部分和非遞減，奇數部分和非遞增，且 $S_{2n+1}-S_{2n}=b_{2n+1}\to0$。因此交錯調和級數收斂但非絕對收斂。

例題

選對判別法

對 $\sum_{n=1}^\infty n/3^n$，相鄰正項比值 $(n+1)/(3n)\to1/3<1$，故收斂。對 $\sum(-1)^{n-1}/n$，交錯判別法給收斂，而調和級數發散排除絕對收斂。後者的比值趨向 $1$，因此比值判別法不能決定。

方法比較

先檢查 $a_n\to0$；失敗即發散，成功卻不足以證收斂。非負級數可與等比或 $p$ 級數比較。階乘及指數項常可用比值判別法，但比值須遠離 $1$。交錯且單調遞減至零時可用交錯判別法及誤差界。絕對收斂容許比條件收斂更強的操作；任意重排條件收斂級數須特別小心。

比值判別法收斂情形的證明。 假設充分大的 $n$ 均有 $a_n\ne0$，且 $\limsup |a_{n+1}/a_n|<1$。取嚴格大於該上極限的 $0<q<1$。存在 $N$，使每個 $n\ge N$ 都滿足 $|a_{n+1}/a_n|\le q$。逐項迭代得到

$$|a_{N+k}|\le |a_N|q^k\qquad(k\ge0).$$

幾何級數 $\sum_{k\ge0}|a_N|q^k$ 收斂，故比較判別法證明絕對值尾和收斂。有限前綴不影響收斂，因此 $\sum a_n$ 絕對收斂。對一族級數作一致結論，還需要對輸入一致成立的界。

練習

1. 判斷 $\sum1/2^n$ 的收斂性。
2. 判斷 $\sum1/n$ 的收斂性。
3. 判斷 $\sum(-1)^{n-1}/n$ 是絕對收斂還是條件收斂。
4. 解釋為何 $a_n\to0$ 不能證明 $\sum a_n$ 收斂。

詳解

1. 這是公比 $1/2$ 的等比級數，從 $n=1$ 起的和為 $1$。
2. 上述二進分組顯示部分和無界，故發散。
3. 交錯判別法給收斂；絕對值級數是發散的調和級數，故條件收斂。
4. 調和級數項 $1/n\to0$，但級數發散。項趨零只是必要條件，不是充分條件。

總結

級數是部分和的極限。判別法透過比較或相消控制尾和；只檢查個別項不足以確立收斂。