多项式算子、凯莱–哈密顿定理与分解

证明

下文所用的先修证明

域上的多项式除法与根因式恒等式

设 $F$ 为任意域，使用形式多项式环 $F[t]$ 。每次使用次数时，零多项式均单独处理。非零 $f,g$ 的乘积最高次项系数是两个非零最高次项系数之积，故 $\deg(fg)=\deg f+\deg g$ ；特别地，该环无零因子。

对任意 $f$ 和非零 $g$ ，存在唯一 $q,r$ 使 $f=qg+r$ ，其中 $r=0$ 或 $\deg r<\deg g$ 。从余式 $f$ 、商零开始。若非零余式次数 $d\ge e=\deg g$ ，减去 $(a/b)t^{d-e}g$ ，并将 $(a/b)t^{d-e}$ 加入商； $a,b$ 分别是余式与 $g$ 的最高次项系数。新余式为零或次数严格下降。非负整数次数不能无限严格下降，故过程终止。若有两组结果， $g(q-q')=r'-r$ ；非零左侧次数至少为 $e$ ，非零右侧次数却小于 $e$ ，故两差均为零。

对 $\lambda\in F$ ，有限恒等式

t^k-\lambda^k=(t-\lambda)\sum_{j=0}^{k-1}t^{k-1-j}\lambda^j\quad(k\ge1)

给出 $f(t)-f(\lambda)=(t-\lambda)h(t)$ 。因此 $f(\lambda)=0$ 当且仅当 $t-\lambda$ 整除 $f$ ；这里不声称 $F$ 中一定存在根。

首一最大公因式、Euclid 算法与 Bézout，含零情形

对不同时为零的 $f,g$ ，首一最大公因式是同时整除二者、又被每个公因式整除的首一多项式。若 $g=0,f\ne0$ ，则它为 $d=f/\operatorname{lc}(f)$ ，且 $d=(1/\operatorname{lc}(f))f+0g$ ；若 $f=0,g\ne0$ ，交换两者即可。

其余情形逐次相除， $r_{i-1}=q_ir_i+r_{i+1}$ ，直到下一余式为零。非零余式次数严格下降，故步数有限。由 $r_{i+1}=r_{i-1}-q_ir_i$ ， $r_{i-1},r_i$ 的公因式必整除 $r_i,r_{i+1}$ ；反向等式给出逆向蕴含。因此最后非零余式与原输入对具有相同公因式。反向使用各除法等式，说明它整除每个前面的余式及两个原输入。向前归纳又说明每个余式都是原输入的多项式线性组合。将最后非零余式除以其最高次项系数，便得到首一最大公因式 $d=af+bg$ 。两个这样的首一最大公因式互相整除；次数相等及首一归一化使它们相等。特别地，互素时 $af+bg=1$ 。

不可约因式、素性与唯一分解

非常数多项式若不能写成两个正次数多项式的乘积，称为不可约。若首一不可约式 $p$ 不整除 $a$ ，则二者的首一最大公因式为一： $p$ 的任何非常数因式都与 $p$ 相伴，故不能整除 $a$ 。由 Bézout 有 $up+va=1$ 。若 $p\mid ab$ ，乘以 $b$ 即得 $p\mid b$ 。所以不可约式是素元。

每个非零多项式都是其最高次项系数乘以若干首一不可约式；非零常数对应空乘积。按次数归纳证明：可约的正次数输入分成两个更小的正次数，再分别应用归纳。为证唯一性，一组分解的首个不可约式整除另一组的乘积，由素性必整除其中一个因式；互相整除的首一不可约式相等。利用无零因子性约去该因式并重复，最终的单位由最高次项系数确定。这证明含重数的分解除次序外唯一。特别地，不同首一不可约式的幂互素：若有非常数公因式，它有一个不可约因式；由素性，该式必须同时等于两个不同因式，矛盾。这给出任意原域上主分解所用的精确多项式代数。

交换环上的 Leibniz 行列式与交错性

设 $R$ 为含单位的交换环， $n\ge1$ ，且 $A\in M_n(R)$ 。定义

\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)},\qquad \det[\ ]=1\quad(n=0).

符号为 $(-1)^{\operatorname{inv}(\sigma)}$ ，在 $R$ 中解释。交换排列中相邻的两项，会使逆序数的奇偶性改变。以相邻逆序交换排序，便将其符号表示为这些交换符号的乘积。把 $\tau$ 的相邻交换分解应用于 $\sigma$ 的位置，得到 $\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)$ ；一个对换的符号为 $-1$ 。这些先是整数奇偶性事实，之后才将符号映入 $R$ 。

有限公式对每行及每列多重线性。若两行相同，把每个排列项与交换这两行所选列后的项配对。两项不同，乘积相同而符号相反，故任何特征下两项之和均为零。因此重复行使行列式为零；重复列同理。这是成对抵消，不是从 $2\det A=0$ 推出零。交换行或列，由相同的排列替换得到变号。另有 $\det I=1$ ；在和式中以 $\sigma^{-1}$ 替换 $\sigma$ 得 $\det A^{\mathsf T}=\det A$ 。

所需唯一性原理即使有零因子也成立。若 $D$ 是 $R^n$ 中 $n$ 个列向量的交错多重线性函数，在标准基中展开每个输入。含重复基向量的项为零；其余指标列为排列。交换两位置使 $D$ 变号，因为展开 $D(\ldots,u+v,\ldots,u+v,\ldots)=0$ 得 $D(\ldots,u,\ldots,v,\ldots)+D(\ldots,v,\ldots,u,\ldots)=0$ 。故整个展开等于 $D(e_1,\ldots,e_n)$ 乘以输入列的 Leibniz 行列式。这里没有除法，也没有域假设。

乘法性、三角分块与伴随矩阵

固定 $A$ ，函数 $D(v_1,\ldots,v_n)=\det(Av_1,\ldots,Av_n)$ 交错且多重线性，并满足 $D(e_1,\ldots,e_n)=\det A$ 。将前述唯一性原理用于 $B$ 的各列，得到

\det(AB)=\det A\det B.

对方块大小为 $p,q$ 的 $\begin{pmatrix}B&C\\0&D\end{pmatrix}$ ，非零 Leibniz 项必须把最后 $q$ 行全配到最后 $q$ 列，否则含一个左下零元素。这些行用尽那些列，故前 $p$ 行只能使用前 $p$ 列。剩余排列恰为两块内部排列的组合，符号与单项式均为两块对应量的乘积。求和得 $\det B\det D$ ，也包括以空行列式为一的空块。该论证允许某些项因其他原因变零，不要求无零因子。

记 $A_{ij}^{\widehat{\ } }$ 为删去第 $i$ 行和第 $j$ 列的矩阵，令 $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}^{\widehat{\ } }$ 。按 $\sigma(i)=j$ 将 Leibniz 和分组，得到行余子式展开 $\det A=\sum_j a_{ij}C_{ij}$ 。把第 $i$ 行、第 $j$ 列移到首位，共作 $i+j-2$ 次相邻交换，剩余排列作用于未删除指标，这就给出符号因子。转置给出列展开。定义 $\operatorname{adj}(A)_{ji}=C_{ij}$ 。 $A\operatorname{adj}(A)$ 的 $(i,j)$ 元素为 $\sum_k a_{ik}C_{jk}$ ，它是将第 $j$ 行替换为第 $i$ 行后矩阵的余子式展开。当 $i=j$ 时为 $\det A$ ；否则由重复行抵消为零。列论证给出另一乘积。因此

A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)A=(\det A)I.

当 $n=1$ ，空余子式行列式为一，故伴随矩阵为 $[1]$ ，恒等式仍成立。当 $n=0$ ，定义伴随矩阵为空矩阵；恒等式是唯一空矩阵之间的等式，而行列式仍为一。本节全部结果适用于 $R=F[t]$ ，从未除以行列式。

向量空间是在域 $F$ 上配备加法和数乘，并满足通常的阿贝尔群及分配律公理的集合。列向量只是一个模型。次数至多为 $d$ 的多项式空间 $P_d(F)$ 和空间之间的线性映射也是模型。零多项式属于 $P_d(F)$ ，虽然其次数通常不定义。

子空间包含零，且对加法和数乘封闭。若每个向量都是某列表中向量的线性组合，该列表张成空间；若只有零系数组合能得到零，它线性无关。基同时满足两者。有限生成列表可通过删除相关项缩减成基；线性无关列表可通过添加其张成空间外的向量扩充成基，直到张成给定的有限生成列表。

交换引理。 若 $r$ 个向量的线性无关列表位于 $s$ 个向量的张成空间中，则 $r\le s$ 。理由是：用生成列表表示第一个无关向量，利用某个非零系数，以它替换一个生成向量，再重复。每一步的线性无关性保证下一个无关向量对尚未被替换的某个生成向量有非零系数，因此至少需要 $r$ 个位置。对两个基双向比较得到长度相等；共同长度为 $\dim V$ 。

因此在 $n$ 维空间中，任意 $n$ 个线性无关向量构成基，任意 $n$ 个张成向量也构成基。只有在证明线性无关性或张成性之后，计数列表才有用。

映射 $T:V\to W$ 若满足 $T(\alpha v+\beta u)=\alpha Tv+\beta Tu$ ，则为线性。其核与像都是子空间。选取 $\ker T$ 的基 $k_1,\ldots,k_r$ ，并以 $v_1,\ldots,v_s$ 扩充为基，则 $Tv_1,\ldots,Tv_s$ 构成 $\operatorname{im}T$ 的基：展开任意输入可证明张成性；若这些像线性相关，相应输入组合落入核，而扩充基的线性无关性迫使所有系数为零。因此

\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T.

这就是秩–零度定理。有限维且维数相等时，单射与满射等价；无限维空间中该等价可能失效。

域上的桥梁：奇异性与特征多项式

现在令 $R=F$ 为域。若 $\det A\ne0$ ，伴随恒等式给出逆矩阵 $\operatorname{adj}(A)/\det A$ 。若 $A$ 可逆，由乘法性 $\det A\det A^{-1}=1$ ，故 $\det A\ne0$ 。C01 已证的秩—零度定理说明有限方阵线性映射的核为零当且仅当可逆。因此 $\det A=0$ 当且仅当有非零核。

对固定 $A\in M_n(F)$ ，将交换环构造用于 $tI-A\in M_n(F[t])$ 。其行列式是首一 $n$ 次多项式：恒等排列的乘积贡献 $t^n$ ，其余排列均用到一个非对角常数元素，故其乘积或者为零，或者次数小于 $n$ 。乘法性证明可逆常数矩阵 $P$ 下 $A\mapsto P^{-1}AP$ 的不变性；分块三角公式证明限制—商空间的因式分解。最后，伴随矩阵各元素或者为零，或者次数至多为 $n-1$ ，所以 C02 的凯莱—哈密顿证明可以合法比较系数。在零维情形，特征多项式为空行列式一；代入后得到零空间上的恒等算子，它就是零算子，所以凯莱—哈密顿定理单独直接成立。这给出实际的交换环行列式先修证明，没有扩张任何仅适用实数的行列式 authority。

全章中， $V$ 是域 $F$ 上的非零有限维向量空间，且 $T\in\operatorname{End}_F(V)$ 。除非另有说明，不假设代数闭性。

1. 算子虽不是数，也可满足方程

对 $p(t)=\sum_{j=0}^dc_jt^j$ ，定义 $p(T)=\sum c_jT^j$ ，其中 $T^0=I$ 。同一算子的各次幂可交换，所以 $(pq)(T)=p(T)q(T)$ ，代入是环同态 $F[t]\to\operatorname{End}(V)$ 。这不允许在任意矩阵系数恒等式中，用不交换的矩阵随意替换变量。

若 $T(U)\subseteq U$ ，子空间 $U$ 是 $T$ -不变的。由于 $T$ 与 $p(T)$ 交换， $p(T)$ 的核和像都不变。在不变子空间上的限制是算子；在 $V/U$ 上，公式 $v+U\mapsto Tv+U$ 良定义。适配基使整个矩阵成为分块上三角矩阵。其特征多项式是限制与商上的特征多项式之积，因为分块三角矩阵的行列式是对角块行列式之积。

特征多项式在任意基下定义为 $\chi_T(t)=\det(tI-A)$ 。相似变换保持它，因为 $tI-P^{-1}AP=P^{-1}(tI-A)P$ 。它是次数为 $n=\dim V$ 的首一多项式。标量 $\lambda\in F$ 是特征值当且仅当 $\chi_T(\lambda)=0$ ，因为方阵奇异当且仅当它有非零核。

2. 不作无效代入的凯莱–哈密顿定理

定理。 $\chi_T(T)=0$ 。

证明。 令 $\chi_A(t)=\sum_{k=0}^nc_kt^k$ 且 $c_n=1$ 。交换多项式环 $F[t]$ 上的伴随矩阵恒等式给出

(tI-A)B(t)=\chi_A(t)I,\qquad B(t)=\operatorname{adj}(tI-A)=\sum_{k=0}^{n-1}B_kt^k.

设 $B_{-1}=B_n=0$ 。比较系数得到对 $0\le k\le n$ ， $B_{k-1}-AB_k=c_kI$ 。将第 $k$ 个等式左乘 $A^k$ 并求和，各项相消：

\sum_{k=0}^nc_kA^k=\sum_{k=0}^n\left(A^kB_{k-1}-A^{k+1}B_k\right)=0.

这就是 $\chi_A(A)=0$ 。这里仅使用系数恒等式和结合律，没有未经说明地对可能含不交换系数的矩阵多项式作代入。∎

对 $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ ， $\chi_A=t^2-5t+6$ ，故 $A^2=5A-6I$ 。更高次幂可化为 $A$ 和 $I$ 的组合。由 $A(A-5I)=-6I$ ，在特征零时 $A^{-1}=(5I-A)/6$ 。若域的特征为二或三，该除法无效，且这个特定矩阵不可逆；一般凯莱–哈密顿恒等式仍成立。

3. 最小多项式：最短的精确算子方程

凯莱–哈密顿定理提供了非零零化多项式；选择次数最小的首一零化多项式，称为 $m_T$ 。多项式除法证明

p(T)=0\quad\Longleftrightarrow\quad m_T\mid p.

事实上写 $p=qm_T+r$ ，其中 $\deg r<\deg m_T$ 。若 $p(T)=0$ ，则 $r(T)=0$ ；由最小性 $r=0$ 。同一论证给出唯一性，特别有 $m_T\mid\chi_T$ 。非零常数多项式不能零化非零空间，所以 $m_T$ 的次数为正。

标量 $\lambda\in F$ 是 $m_T$ 的根当且仅当它是特征值。若对 $v\ne0$ 有 $Tv=\lambda v$ ，则 $0=m_T(T)v=m_T(\lambda)v$ ，故 $m_T(\lambda)=0$ 。反过来，若 $m_T=(t-\lambda)q$ 且 $T-\lambda I$ 可逆，则对 $0=(T-\lambda I)q(T)$ 作用其逆可得 $q(T)=0$ ，与最小次数矛盾。

特征多项式记录总代数重数；最小多项式记录在任一向量上所需的最强多项式关系。对 $n$ 维空间上的 $\lambda I$ ，有 $\chi=(t-\lambda)^n$ 但 $m=t-\lambda$ 。对 $\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}$ ，有 $(T-\lambda I)^2=0$ 但 $T-\lambda I\ne0$ ，故 $m=(t-\lambda)^2$ 。

4. 互素因式分解空间

双因式分解。 若 $f,g\in F[t]$ 互素且 $f(T)g(T)=0$ ，则

V=\ker f(T)\oplus\ker g(T).

证明。 多项式欧几里得算法给出 $af+bg=1$ 。对任意 $v$ ，

v=a(T)f(T)v+b(T)g(T)v.

第一个项属于 $\ker g(T)$ ，第二个属于 $\ker f(T)$ ，因为多项式算子可交换且 $f(T)g(T)=0$ 。若 $v$ 同时属于两个核，相同恒等式给出 $v=0$ 。∎

将这一论证反复应用于不同首一不可约因式的分解

m_T=p_1^{r_1}\cdots p_s^{r_s}

得到主分解

V=\bigoplus_{j=1}^s\ker p_j(T)^{r_j}.

每个直和项都不变。在 $m_T$ 分解为线性因式的域上，它们是广义特征空间。在 $\mathbb R$ 上可能保留不可约二次式，不能把它重新称为实特征空间。最小多项式为 $m=t^2+1$ 的实旋转矩阵体现了这一障碍。

对角化判据。 $T$ 在 $F$ 上可对角化，当且仅当其最小多项式是 $F[t]$ 中互不相同的线性因式之积。

若因式是互不相同的线性因式，主分解给出普通特征空间的直和，其基合并为特征基。反过来，若一个特征基中出现的不同特征值为 $\lambda_1,\ldots,\lambda_s$ ，乘积 $\prod(t-\lambda_j)$ 零化每个基向量，所以 $m_T$ 整除这个分裂且无重复因子的多项式。每个特征值都必须是 $m_T$ 的根，故 $m_T$ 恰好等于该乘积。仅在扩域上没有重根，若它不在原域上分裂，仍不能推出原域上的可对角化性。

5. 多项式化简作为计算方法

任意多项式 $p$ 模 $m_T$ 的余式给出相同的算子 $p(T)$ ，其次数小于 $\deg m_T$ 。若 $m_T(0)\ne0$ ，欧几里得算法给出 $ut+vm_T=1$ ，因此 $u(T)T=I$ ： $T$ 可逆，其逆是 $T$ 的多项式。反过来，若 $m_T(0)=0$ ，零是特征值， $T$ 不可逆。

例。假设在 $\mathbb R$ 上 $(T-I)(T-3I)=0$ 。投影

P_1=(3I-T)/2,\qquad P_3=(T-I)/2

通过将乘积模 $(t-1)(t-3)$ 化简，可得 $P_1+P_3=I$ 、 $P_1P_3=0$ 、 $P_j^2=P_j$ 。其像是相应特征空间；对每个整数 $k\ge0$ ，

T^k=P_1+3^kP_3.

当 $k$ 为负整数，同一公式也成立，因为两个特征值均非零且 $T$ 可逆。除以二要求特征不为二；在特征二中两个标量相同，该分解无效。

6. 练习

P01 — 基础。 在 $\mathbb R$ 上求 $A=\operatorname{diag}(2,2,5)$ 的特征多项式与最小多项式。

P02 — 核心。 对 $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ，用多项式化简计算所有整数 $k\ge0$ 的 $A^k$ 。

P03 — 核心。 $\mathbb R$ 上的算子满足 $T^2=I$ 。证明它可对角化，并给出两个可能特征空间的投影。

P04 — 诊断。 用明确矩阵解释 P03 的结论为何可能在特征二中失效。

P05 — 核心。 若在 $\mathbb R$ 上 $A^2-3A+2I=0$ ，用 $A$ 的多项式表示 $A^{-1}$ 。

P06 — 证明。 若 $S=P^{-1}TP$ ，证明 $m_S=m_T$ 。

P07 — 核心。 使用最小多项式判断实旋转矩阵 $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 在 $\mathbb R$ 和 $\mathbb C$ 上是否可对角化。

P08 — 拓展。 假设 $T$ 在 $\mathbb R$ 上的最小多项式为 $(t-1)^2(t+2)$ 。写出其主分解并判断是否可对角化。

P09 — 证明。 若 $T$ 可对角化且 $U$ 不变，证明 $T|_U$ 可对角化，不要假设选定的 $V$ 的特征基适配于 $U$ 。

7. 详解

P01. $\chi_A=(t-2)^2(t-5)$ 。多项式恰在二和五处都为零时零化该对角矩阵，所以 $m_A=(t-2)(t-5)$ 。

P02. 令 $N=A-I$ ，则 $N^2=0$ 。二项式恒等式给出 $A^k=(I+N)^k=I+kN=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$ ，包括 $k=0$ 。

P03. 最小多项式整除 $t^2-1=(t-1)(t+1)$ ，后者在 $\mathbb R$ 上是两个不同线性因式之积。因此它可对角化。投影为到 $E_1$ 的 $(I+T)/2$ 和到 $E_{-1}$ 的 $(I-T)/2$ ；零特征空间对应零投影。

P04. 在特征二中， $(t-1)(t+1)=(t-1)^2$ 。取 $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ，由于 $2=0$ ，有 $A^2=I$ ；但 $A\ne I$ ，且唯一特征值是一。其特征空间一维，故不可对角化。

P05. 整理得 $A(3I-A)=2I$ ，所以 $A^{-1}=(3I-A)/2$ 。由于该因子是 $A$ 的多项式，左乘与右乘的结果相同。

P06. 对每个多项式， $p(S)=P^{-1}p(T)P$ 。因此零化多项式相同，其唯一的最小次数首一成员也相同。

P07. $A^2=-I$ 且 $A$ 不是标量矩阵，故 $m=t^2+1$ 。它不在 $\mathbb R$ 上分裂，因此不能在实域对角化。在 $\mathbb C$ 上，它分解为不同根 $(t-i)(t+i)$ ，所以矩阵可对角化。

P08. $V=\ker(T-I)^2\oplus\ker(T+2I)$ 。最小多项式中的重复因式阻止对角化。不能仅因两个主因式互素就删除这个重复因式；第一项可能含非平凡广义特征向量。

P09. 零化 $T$ 的任何多项式也零化其限制，所以当 $U\ne0$ 时 $m_{T|_U}$ 整除 $m_T$ 。不同线性因式乘积的任何因式仍有该性质，故判据给出 $U$ 上可对角化。零维限制显然可对角化。此论证避免错误声称任意选定特征基必含 $U$ 的一个基。

8. 总结

凯莱–哈密顿定理保证算子方程；最小多项式将它压缩为精确关系。互素因式给出不变直和，无重复且分裂的因式刻画对角化。重复因式导致幂零部分和 Jordan 链，下一章将完整证明其存在性。

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