除非另有说明，F F F
1. 为什么向量不一定是列向量
向量空间是在域 F F F d d d P d ( F ) P_d(F) P d ( F ) P d ( F ) P_d(F) P d ( F )
子空间 包含零，且对加法和数乘封闭。若每个向量都是某列表中向量的线性组合，该列表张成空间；若只有零系数组合能得到零，它线性无关。基 同时满足两者。有限生成列表可通过删除相关项缩减成基；线性无关列表可通过添加其张成空间外的向量扩充成基，直到张成给定的有限生成列表。
交换引理。 若 r r r s s s r ≤ s r\le s r ≤ s r r r dim V \dim V dim V
因此在 n n n n n n n n n
对两个子空间 U , W U,W U , W U + W = { u + w } U+W=\{u+w\} U + W = { u + w } U ∩ W = { 0 } U\cap W=\{0\} U ∩ W = { 0 } 直和 ，记作 U ⊕ W U\oplus W U ⊕ W U ∩ W U\cap W U ∩ W U U U W W W
dim ( U + W ) = dim U + dim W − dim ( U ∩ W ) . \dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W). dim ( U + W ) = dim U + dim W − dim ( U ∩ W ) . 为检查线性无关性，把 U U U W W W
2. 线性映射与维数计算
映射 T : V → W T:V\to W T : V → W T ( α v + β u ) = α T v + β T u T(\alpha v+\beta u)=\alpha Tv+\beta Tu T ( αv + β u ) = α T v + βT u ker T \ker T ker T k 1 , … , k r k_1,\ldots,k_r k 1 , … , k r v 1 , … , v s v_1,\ldots,v_s v 1 , … , v s T v 1 , … , T v s Tv_1,\ldots,Tv_s T v 1 , … , T v s im T \operatorname{im}T im T
dim V = dim ker T + dim im T . \dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T. dim V = dim ker T + dim im T . 这就是秩–零度定理 。有限维且维数相等时，单射与满射等价；无限维空间中该等价可能失效。
基 B = ( b 1 , … , b n ) B=(b_1,\ldots,b_n) B = ( b 1 , … , b n ) V V V F n F^n F n B , C B,C B , C [ T ] C ← B [T]_{C\leftarrow B} [ T ] C ← B [ T b j ] C [Tb_j]_C [ T b j ] C [ v ] B = P [ v ] B ′ [v]_B=P[v]_{B'} [ v ] B = P [ v ] B ′
[ T ] B ′ = P − 1 [ T ] B P . [T]_{B'}=P^{-1}[T]_BP. [ T ] B ′ = P − 1 [ T ] B P . 这是相似变换，定义域与陪域采用同一换基。一般映射在定义域和陪域独立换基会得到 Q − 1 A P Q^{-1}AP Q − 1 A P
3. 商空间将被忽略的子空间化为零
对子空间 U ⊆ V U\subseteq V U ⊆ V v − w ∈ U v-w\in U v − w ∈ U v ∼ w v\sim w v ∼ w v + U v+U v + U V / U V/U V / U
( v + U ) + ( w + U ) = ( v + w ) + U , α ( v + U ) = α v + U . (v+U)+(w+U)=(v+w)+U,\qquad \alpha(v+U)=\alpha v+U. ( v + U ) + ( w + U ) = ( v + w ) + U , α ( v + U ) = αv + U . 改变代表元只会加上 U U U π : V → V / U \pi:V\to V/U π : V → V / U U U U u 1 , … , u r , v 1 , … , v s u_1,\ldots,u_r,v_1,\ldots,v_s u 1 , … , u r , v 1 , … , v s v 1 + U , … , v s + U v_1+U,\ldots,v_s+U v 1 + U , … , v s + U
dim ( V / U ) = dim V − dim U . \dim(V/U)=\dim V-\dim U. dim ( V / U ) = dim V − dim U . 商空间是等价类的空间，不是某个选定补空间，虽然任一选定补空间都同构地映到它。
因式分解定理。 线性映射 T : V → W T:V\to W T : V → W U ⊆ ker T U\subseteq\ker T U ⊆ ker T T = T ~ π T=\widetilde T\pi T = T π T ~ : V / U → W \widetilde T:V/U\to W T : V / U → W T ~ ( v + U ) = T v \widetilde T(v+U)=Tv T ( v + U ) = T v U = ker T U=\ker T U = ker T im T \operatorname{im}T im T
V / ker T ≅ im T . V/\ker T\cong\operatorname{im}T. V / ker T ≅ im T . 公式本身证明所有断言：代表元之差被 T T T
例。 在 P 2 ( F ) P_2(F) P 2 ( F ) T ( p ) = p ′ T(p)=p' T ( p ) = p ′ F F F P 1 ( F ) P_1(F) P 1 ( F ) P 2 ( F ) / P 0 ( F ) ≅ P 1 ( F ) P_2(F)/P_0(F)\cong P_1(F) P 2 ( F ) / P 0 ( F ) ≅ P 1 ( F ) x + P 0 , x 2 + P 0 x+P_0,x^2+P_0 x + P 0 , x 2 + P 0 1 , 2 x 1,2x 1 , 2 x ( x 2 ) ′ = 0 (x^2)'=0 ( x 2 ) ′ = 0 span ( 1 , x 2 ) \operatorname{span}(1,x^2) span ( 1 , x 2 )
4. 对偶空间与无坐标转置
对偶空间 V ∗ V^* V ∗ φ : V → F \varphi:V\to F φ : V → F b 1 , … , b n b_1,\ldots,b_n b 1 , … , b n b 1 , … , b n b^1,\ldots,b^n b 1 , … , b n b i ( b j ) = δ i j b^i(b_j)=\delta_{ij} b i ( b j ) = δ ij ∑ i φ ( b i ) b i \sum_i\varphi(b_i)b^i ∑ i φ ( b i ) b i dim V ∗ = n \dim V^*=n dim V ∗ = n
T : V → W T:V\to W T : V → W 对偶映射 为 T ∗ : W ∗ → V ∗ T^*:W^*\to V^* T ∗ : W ∗ → V ∗ T ∗ ψ = ψ ∘ T T^*\psi=\psi\circ T T ∗ ψ = ψ ∘ T A T A^{\mathsf T} A T C \mathbb C C
( S T ) ∗ = T ∗ S ∗ . (ST)^*=T^*S^*. ( ST ) ∗ = T ∗ S ∗ . 对任意泛函及向量计算两边即得。
对 U ⊆ V U\subseteq V U ⊆ V 零化子 为
U ∘ = { φ ∈ V ∗ : φ ( u ) = 0 for all u ∈ U } . U^\circ=\{\varphi\in V^*: \varphi(u)=0\text{ for all }u\in U\}. U ∘ = { φ ∈ V ∗ : φ ( u ) = 0 for all u ∈ U } . 适配基说明 dim U ∘ = dim V − dim U \dim U^\circ=\dim V-\dim U dim U ∘ = dim V − dim U η ↦ η ∘ π \eta\mapsto\eta\circ\pi η ↦ η ∘ π ( V / U ) ∗ → U ∘ (V/U)^*\to U^\circ ( V / U ) ∗ → U ∘ U U U
对线性映射，
ker T ∗ = ( im T ) ∘ , im T ∗ = ( ker T ) ∘ . \ker T^*=(\operatorname{im}T)^\circ,\qquad
\operatorname{im}T^*=(\ker T)^\circ. ker T ∗ = ( im T ) ∘ , im T ∗ = ( ker T ) ∘ . 第一式由取值直接得到。第二式的包含关系来自：只要 T v = 0 Tv=0 T v = 0 ψ ( T v ) = 0 \psi(Tv)=0 ψ ( T v ) = 0 φ \varphi φ ker T \ker T ker T im T \operatorname{im}T im T T v ↦ φ ( v ) Tv\mapsto\varphi(v) T v ↦ φ ( v ) W W W ψ \psi ψ T ∗ ψ = φ T^*\psi=\varphi T ∗ ψ = φ
最后，求值映射 J : V → V ∗ ∗ J:V\to V^{**} J : V → V ∗∗ J ( v ) ( φ ) = φ ( v ) J(v)(\varphi)=\varphi(v) J ( v ) ( φ ) = φ ( v ) V ≅ V ∗ V\cong V^* V ≅ V ∗
5. 练习
P01 — 基础。 在 F 3 F^3 F 3 U = { ( x , y , z ) : x + y + z = 0 } U=\{(x,y,z):x+y+z=0\} U = {( x , y , z ) : x + y + z = 0 }
P02 — 核心。 对 T : F 3 → F 2 T:F^3\to F^2 T : F 3 → F 2 T ( x , y , z ) = ( x + y , y + z ) T(x,y,z)=(x+y,y+z) T ( x , y , z ) = ( x + y , y + z )
P03 — 核心。 对 U = span ( ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 ) ) ⊆ R 3 U=\operatorname{span}((1,1,0),(0,1,1))\subseteq\mathbb R^3 U = span (( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 )) ⊆ R 3 U ∘ U^\circ U ∘
P04 — 核心。 给定 R 2 \mathbb R^2 R 2 B = ( ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) ) B=((1,0),(1,1)) B = (( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ))
P05 — 诊断。 设 U = span ( e 1 ) U=\operatorname{span}(e_1) U = span ( e 1 ) T ( x , y ) = x + y T(x,y)=x+y T ( x , y ) = x + y T T T F 2 / U F^2/U F 2 / U
P06 — 证明。 对有限维空间，证明 T T T T ∗ T^* T ∗
P07 — 证明。 证明 U = { v : φ ( v ) = 0 for every φ ∈ U ∘ } U=\{v:\varphi(v)=0\text{ for every }\varphi\in U^\circ\} U = { v : φ ( v ) = 0 for every φ ∈ U ∘ }
P08 — 拓展。 设 S : F N 0 → F N 0 S:F^{\mathbb N_0}\to F^{\mathbb N_0} S : F N 0 → F N 0 S S S
P09 — 核心。 对特征二下 P 2 ( F ) P_2(F) P 2 ( F ) P 2 / ker T P_2/\ker T P 2 / ker T
6. 详解
P01. 线性条件给出 z = − x − y z=-x-y z = − x − y ( 1 , 0 , − 1 ) , ( 0 , 1 , − 1 ) (1,0,-1),(0,1,-1) ( 1 , 0 , − 1 ) , ( 0 , 1 , − 1 ) dim U = 2 \dim U=2 dim U = 2 e 3 e_3 e 3 F 3 = U ⊕ span ( e 3 ) F^3=U\oplus\operatorname{span}(e_3) F 3 = U ⊕ span ( e 3 ) 1 ≠ 0 1\ne0 1 = 0
P02. 方程给出 x = − y x=-y x = − y z = − y z=-y z = − y span ( ( − 1 , 1 , − 1 ) ) \operatorname{span}((-1,1,-1)) span (( − 1 , 1 , − 1 )) e 1 , e 3 e_1,e_3 e 1 , e 3 F 2 F^2 F 2 F 2 F^2 F 2 ( x , y , z ) + ker T ↦ ( x + y , y + z ) (x,y,z)+\ker T\mapsto(x+y,y+z) ( x , y , z ) + ker T ↦ ( x + y , y + z )
P03. 泛函形如 α x + β y + γ z \alpha x+\beta y+\gamma z αx + β y + γ z α + β = 0 \alpha+\beta=0 α + β = 0 β + γ = 0 \beta+\gamma=0 β + γ = 0 U ∘ = span ( x − y + z ) U^\circ=\operatorname{span}(x-y+z) U ∘ = span ( x − y + z )
P04. 若 ( x , y ) = c 1 ( 1 , 0 ) + c 2 ( 1 , 1 ) (x,y)=c_1(1,0)+c_2(1,1) ( x , y ) = c 1 ( 1 , 0 ) + c 2 ( 1 , 1 ) c 2 = y c_2=y c 2 = y c 1 = x − y c_1=x-y c 1 = x − y b 1 = ( 1 , − 1 ) b^1=(1,-1) b 1 = ( 1 , − 1 ) b 2 = ( 0 , 1 ) b^2=(0,1) b 2 = ( 0 , 1 ) B B B
P05. 不能。零与 e 1 e_1 e 1 T ( 0 ) = 0 T(0)=0 T ( 0 ) = 0 T ( e 1 ) = 1 T(e_1)=1 T ( e 1 ) = 1 U U U ker T \ker T ker T
P06. 若 T T T ker T ∗ = ( im T ) ∘ = W ∘ = 0 \ker T^*=(\operatorname{im}T)^\circ=W^\circ=0 ker T ∗ = ( im T ) ∘ = W ∘ = 0 W W W ker T ∗ \ker T^* ker T ∗
P07. U U U v ∉ U v\notin U v ∈ / U v v v U U U V V V v v v U ∘ U^\circ U ∘ v v v U U U
P08. 若 S ( a 0 , a 1 , … ) = ( 0 , a 0 , a 1 , … ) S(a_0,a_1,\ldots)=(0,a_0,a_1,\ldots) S ( a 0 , a 1 , … ) = ( 0 , a 0 , a 1 , … ) a j a_j a j
P09. 核是 span ( 1 , x 2 ) \operatorname{span}(1,x^2) span ( 1 , x 2 ) x + ker T x+\ker T x + ker T
7. 总结
基为维数提供依据；秩–零度跟踪映射丢失的信息。商空间恰好忘掉指定子空间，良定义的商映射由核控制。对偶将子空间转为零化子并反转箭头，采用普通转置而非 Hermitian 伴随。下一章的多项式算子在此基础上增加第二种代数结构。
积空间补充
设 F F F F N F^{\mathbb N} F N
有限乘积：结构、坐标与普遍性质
定义。 给定整数 r ≥ 1 r\ge1 r ≥ 1 F F F V 1 , … , V r V_1,\ldots,V_r V 1 , … , V r
V 1 × ⋯ × V r = { ( v 1 , … , v r ) : v i ∈ V i } , V_1\times\cdots\times V_r=\{(v_1,\ldots,v_r):v_i\in V_i\}, V 1 × ⋯ × V r = {( v 1 , … , v r ) : v i ∈ V i } , 加法和标量乘法逐坐标进行。零向量为全零元组。每条向量空间公理都在各坐标成立，因为它在对应因子中成立，所以该乘积是域 F F F
投影 π i \pi_i π i i i i j i : V i → V 1 × ⋯ × V r j_i:V_i\to V_1\times\cdots\times V_r j i : V i → V 1 × ⋯ × V r i i i
π i j i = I V i , π i j k = 0 ( i ≠ k ) , v = ∑ i = 1 r j i ( π i v ) . \pi_i j_i=I_{V_i},\qquad \pi_i j_k=0\quad(i\ne k),\qquad v=\sum_{i=1}^rj_i(\pi_i v). π i j i = I V i , π i j k = 0 ( i = k ) , v = i = 1 ∑ r j i ( π i v ) . 因此乘积是子空间 j i ( V i ) j_i(V_i) j i ( V i )
普遍性质。 给定向量空间 W W W T i : W → V i T_i:W\to V_i T i : W → V i T : W → V 1 × ⋯ × V r T:W\to V_1\times\cdots\times V_r T : W → V 1 × ⋯ × V r i i i π i T = T i \pi_iT=T_i π i T = T i
证明。 定义 T ( w ) = ( T 1 w , … , T r w ) T(w)=(T_1w,\ldots,T_rw) T ( w ) = ( T 1 w , … , T r w ) T ( a w + b z ) T(aw+bz) T ( a w + b z ) a T ( w ) + b T ( z ) aT(w)+bT(z) a T ( w ) + b T ( z ) T T T w w w T T T
有限维基定理。 若 B i = ( b i 1 , … , b i n i ) B_i=(b_{i1},\ldots,b_{in_i}) B i = ( b i 1 , … , b i n i ) V i V_i V i j i ( b i k ) j_i(b_{ik}) j i ( b ik )
dim ( V 1 × ⋯ × V r ) = ∑ i = 1 r dim V i . \dim(V_1\times\cdots\times V_r)=\sum_{i=1}^r\dim V_i. dim ( V 1 × ⋯ × V r ) = i = 1 ∑ r dim V i . 证明。 在各因子的基中展开元组的每个坐标，再利用上述有限分解，得到生成性。为证线性无关，对所连接向量列的一个零线性组合施加 π i \pi_i π i B i B_i B i i i i
例题。 设 V = F 2 × P 1 ( F ) V=F^2\times P_1(F) V = F 2 × P 1 ( F ) P 1 ( F ) P_1(F) P 1 ( F )
( ( 1 , 0 ) , 0 ) , ( ( 0 , 1 ) , 0 ) , ( ( 0 , 0 ) , 1 ) , ( ( 0 , 0 ) , x ) . ((1,0),0),\quad((0,1),0),\quad((0,0),1),\quad((0,0),x). (( 1 , 0 ) , 0 ) , (( 0 , 1 ) , 0 ) , (( 0 , 0 ) , 1 ) , (( 0 , 0 ) , x ) . 所以 dim V = 4 \dim V=4 dim V = 4 P 1 ( F ) P_1(F) P 1 ( F ) F 2 × { 0 } F^2\times\{0\} F 2 × { 0 } F 2 F^2 F 2
无限乘积不是有限支撑直和
乘积 F N F^{\mathbb N} F N F F F ( a 1 , a 2 , … ) (a_1,a_2,\ldots) ( a 1 , a 2 , … )
F ( N ) = { a ∈ F N : a i = 0 for all but finitely many i } . F^{(\mathbb N)}=\{a\in F^{\mathbb N}:a_i=0\text{ for all but finitely many }i\}. F ( N ) = { a ∈ F N : a i = 0 for all but finitely many i } . 它确为子空间：两个数列之和的支撑包含于两个有限支撑的并集中，而标量乘法不会在原支撑以外产生新的非零坐标。
令 e i e_i e i i i i e 1 , e 2 , … e_1,e_2,\ldots e 1 , e 2 , … F ( N ) F^{(\mathbb N)} F ( N ) ( 1 , 1 , 1 , … ) (1,1,1,\ldots) ( 1 , 1 , 1 , … ) e i e_i e i
对于无限多个坐标映射，乘积的普遍性质仍然成立：逐坐标定义输出元组，并逐坐标检查线性性和唯一性即可。但对于具有无限支撑的元组，把它表示为坐标嵌入之和的有限公式不再作为代数恒等式成立。
练习
P01. 对 F 2 × P 1 ( F ) F^2\times P_1(F) F 2 × P 1 ( F )
P02. 设 A : W → U A:W\to U A : W → U B : W → Z B:W\to Z B : W → Z T ( w ) = ( A w , B w ) T(w)=(Aw,Bw) T ( w ) = ( A w , Bw ) ker T = ker A ∩ ker B \ker T=\ker A\cap\ker B ker T = ker A ∩ ker B W W W rank T \operatorname{rank}T rank T rank T \operatorname{rank}T rank T rank A + rank B \operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B rank A + rank B
P03. 在 F N F^{\mathbb N} F N e i e_i e i F N F^{\mathbb N} F N
完整解答
P01. 每个元素都可写为 ( ( a , b ) , c + d x ) ((a,b),c+dx) (( a , b ) , c + d x ) a , b , c , d a,b,c,d a , b , c , d F 2 F^2 F 2 F 2 F^2 F 2 { ( 0 , 0 ) } × P 1 ( F ) \{(0,0)\}\times P_1(F) {( 0 , 0 )} × P 1 ( F ) 2 + 2 = 4 2+2=4 2 + 2 = 4
P02. 一个乘积元组为零，当且仅当它的两个坐标都为零。所以 T w = 0 Tw=0 Tw = 0 A w = 0 Aw=0 A w = 0 B w = 0 Bw=0 Bw = 0
rank T = dim W − dim ( ker A ∩ ker B ) . \operatorname{rank}T=\dim W-\dim(\ker A\cap\ker B). rank T = dim W − dim ( ker A ∩ ker B ) . 取 W = U = Z = F W=U=Z=F W = U = Z = F A = B = I F A=B=I_F A = B = I F T ( w ) = ( w , w ) T(w)=(w,w) T ( w ) = ( w , w )
P03. 坐标向量的任一线性组合只使用有限多个指标。选择一个不在这些指标中的正整数。组合在该坐标的值为零，但常数一数列在该坐标的值为一，而域中的一非零。所以该数列不在生成空间中。删除映射为 D ( a 1 , a 2 , … ) = ( a 2 , a 3 , … ) D(a_1,a_2,\ldots)=(a_2,a_3,\ldots) D ( a 1 , a 2 , … ) = ( a 2 , a 3 , … ) ( b 1 , b 2 , … ) (b_1,b_2,\ldots) ( b 1 , b 2 , … ) ( 0 , b 1 , b 2 , … ) (0,b_1,b_2,\ldots) ( 0 , b 1 , b 2 , … ) D ( e 1 ) = 0 D(e_1)=0 D ( e 1 ) = 0 e 1 ≠ 0 e_1\ne0 e 1 = 0
