幂零链与 Jordan 标准形

定理及其先备知识

每个非常数多项式 $p\in\mathbb C[z]$ 都有复根；因此每个 $n$ 次复系数多项式都是 $n$ 个线性因式的乘积，按重数计数。以下通过古萨定理、柯西估计及刘维尔定理证明该结论，并明确所用的先备知识。

全纯是指在开集每一点复可微；整函数是指在整个 $\mathbb C$ 上全纯。以下明确使用的初等基础是实一元积分及链式法则、多项式的连续性和求导、复数模的运算法则，以及欧氏平面的紧致性（包括递缩紧三角形、一致连续性和紧覆盖的勒贝格数）。这些实分析及拓扑基础是明确的先备知识。没有预先使用复多项式根定理、最大模定理、解析幂级数表示、恒等定理、留数定理或辐角原理。

复可微推出连续，因为 $u(z+h)-u(z)=h[(u(z+h)-u(z))/h]\to0$。展开乘积差商得到 $(uv)'=u'v+uv'$。在 $v(z)\ne0$ 处，

因此全纯函数的乘积和分母非零的商仍全纯。特别地，$f(z)/(z-a)$ 在 $a$ 之外全纯，无根多项式的倒数是整函数。这些事实来自差商，不依赖多项式根定理或正则性定理。

1. 积分记录路径及其方向

分段 $C^1$ 曲线是连续映射 $\gamma:[a,b]\to\mathbb C$，它在有限个子区间上连续可微，连接点有单侧导数。若 $\gamma(a)=\gamma(b)$，曲线是闭合的。其长度为 $\ell(\gamma)=\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt$。连续函数 $f$ 沿该曲线的围道积分为

实部和虚部分别积分。微分 $dz$ 包含运动方向；若改为 $|dz|$，定义的是另一种积分。

保持端点的分段 $C^1$ 递增参数变换由换元法保持积分不变；反向使积分变号；连接两条相容曲线时积分相加。这些结论也允许速度为零的曲线段，不要求曲线为单射。

估计引理。 若曲线上 $|f|\le M$，则

因为实参数积分的模不超过模的积分，且 $|f(\gamma)\gamma'|\le M|\gamma'|$。这个简单不等式是证明辅助弧在极限中贡献为零的主要工具。

例。 对正向圆周 $z=a+re^{it}$，其中 $0\le t\le2\pi$、$r>0$，

当 $n=-1$，被积函数乘以 $dz$ 为 $i\,dt$；否则为 $ir^{n+1}e^{i(n+1)t}\,dt$，积分为零。$n=-1$ 的结果与半径无关，但反向时变号。

2. 原函数将路径积分化为端点之差

开集 $U$ 上 $f$ 的原函数是该处满足 $F'=f$ 的全纯函数 $F$。对每个光滑段使用实链式法则可得

对 $U$ 内每条围道成立。因此有原函数的函数沿 $U$ 内任何闭围道的积分为零。

反过来，在区域 $U$ 上，假设连续函数 $f$ 沿每条闭围道积分为零。平面的开连通集是折线路径连通的。固定 $a\in U$，定义 $F(z)$ 为沿 $U$ 内任意一条从 $a$ 到 $z$ 的折线路径对 $f$ 的积分。闭路径积分抵消保证结果与路径无关。对充分小的 $h$，从 $z$ 到 $z+h$ 的末端线段仍在 $U$ 内，且

由连续性成立。因此 $F'=f$。只假设所有闭折线路径的积分为零也可采用同样构造；得到原函数后便可处理所有围道。

3. 古萨三角形论证：不假设导数连续

定理。 若 $f$ 在包含闭三角形 $T$ 的开集上全纯，则沿 $T$ 正向边界的积分为零。

证明。 连接边中点将 $T$ 分为四个三角形。内部边的积分抵消，所以外边界积分 $I$ 等于四个子三角形积分之和。至少一个子三角形的积分模不小于 $|I|/4$。在这样的子三角形中重复，得到嵌套闭三角形 $T_n$，其直径为 $D/2^n$、周长为 $P/2^n$，并满足

由紧致性及直径趋零，存在共同点 $z_0$。在 $z_0$ 可微意味着

常数项和线性项都有原函数，故沿三角形边界积分为零。对任意 $\eta>0$，当 $n$ 充分大时，整个 $T_n$ 上 $|\varepsilon|\le\eta$。由于 $z_0\in T_n$，估计引理给出

因此 $|I|\le\eta DP$。由 $\eta$ 的任意性，$I=0$。这里没有使用 $f'$ 的连续性。∎

推论：每个圆盘上有原函数。 若 $f$ 在圆盘 $D$ 上全纯，固定圆心 $a$，令 $F(z)=\int_{[a,z]}f$。当 $z,z+h\in D$ 且充分接近时，以 $a,z,z+h$ 为顶点的三角形位于 $D$ 中。三角形定理给出 $F(z+h)-F(z)=\int_{[z,z+h]}f$；第 2 节的极限计算得到 $F'=f$。因此圆盘内所有闭围道积分均为零。同样论证适用于任何开凸集。

4. 同伦与“无孔”的含义

路径 $\gamma_0,\gamma_1$ 之间的固定端点同伦是连续映射 $H:[0,1]^2\to U$，满足 $H(s,0)=\gamma_0(s)$、$H(s,1)=\gamma_1(s)$，且 $H(0,t),H(1,t)$ 不随 $t$ 改变。它在不离开 $U$ 的情况下将一条路径变形为另一条。若每条闭路径都可通过这样的同伦收缩到其基点，则区域是单连通的。

同伦不变性。 若 $f$ 在 $U$ 上全纯，而 $U$ 内两条分段 $C^1$ 路径在其中固定端点同伦，则其积分相等。

仅用局部原函数的证明。 $H$ 的紧致像可由有限个 $f$ 有原函数的圆盘覆盖。由勒贝格数性质和一致连续性，将参数正方形细分为矩形网格，使每个闭网格的像都落在某个这样的圆盘中。用线段连接相邻网格顶点的像；由于圆盘是凸的，每个网格的这些线段都位于其圆盘内。由原函数知其多边形边界积分为零。对所有网格求和，内部线段与其反向线段抵消。在底边和顶边，每段原路径与替代线段位于同一圆盘且有相同端点，故由局部原函数它们的积分相等。端点固定，侧边线段的贡献为零。剩下的是底边积分减顶边积分。这证明了结论，即使同伦的中间路径不可微也成立。∎

圆周变形所用的开集

在柯西证明中，令 $U$ 为原来包含 $\overline{D(c,R)}$ 的开全纯邻域，$d=|a-c|<R$。取 $0<\varepsilon<R-d$。$g(z)=f(z)/(z-a)$ 所用的正确全纯集是 $U\setminus\{a\}$，其中包含外圆；单独的开圆盘 $D(c,R)\setminus\{a\}$ 不包含外圆。该开集包含边界圆周；下面的不等式证明变形始终留在这个开集内。

令 $c_t=(1-t)c+ta$、$r_t=(1-t)R+t\varepsilon$，以及 $H(s,t)=c_t+r_te^{2\pi i s}$。对 $0\le s,t\le1$，

因此整个紧致同伦像都在 $U\setminus\{a\}$ 内。网格／局部原函数证明也适用于闭路的这个自由同伦：$H(0,t)=H(1,t)$，所以两条折线侧边轨迹相同、边界方向相反，互相抵消，不必为常数。顶边及底边圆周为分段 $C^1$，不需要中间同伦可微。这补全了下文所用的定义域及移动基点步骤。

1. 边界积分确定内部值

对 $c\in\mathbb C$、$R>0$，令圆周 $C:|z-c|=R$ 取逆时针方向。假设 $f$ 在闭圆盘 $\overline{D(c,R)}$ 的开邻域上全纯。对每个满足 $|a-c|<R$ 的 $a$，

分母在 $C$ 上不为零。该公式给出内部点的值，并不适用于外部点或围道上的点。

证明。 取 $\varepsilon>0$ 使 $|a-c|+\varepsilon<R$。用圆心 $(1-t)c+ta$、半径 $(1-t)R+t\varepsilon$，将外圆变形为小圆 $C_\varepsilon:|z-a|=\varepsilon$ 而不经过 $a$。每个移动的圆都围住 $a$ 并留在原圆盘内。对去心圆盘上的 $f(z)/(z-a)$ 使用 C02 的网格／局部原函数证明。虽然移动基点不固定，两条侧边轨迹相同并互相抵消，因此闭路积分不变。故

最后一项的模至多为 $2\pi\sup_{|z-a|=\varepsilon}|f(z)-f(a)|$，由 $f$ 在 $a$ 的连续性，该上界趋于零，证明公式。∎

这个证明没有预先假设 $(f(z)-f(a))/(z-a)$ 在 $a$ 有全纯延拓；该性质是下面所得正则性的结果。

带一致界的一阶导数

刘维尔定理只需一阶柯西导数估计。对固定圆周 $C$ 内部的点 $a$，令 $\delta=\min_{z\in C}|z-a|>0$。当 $0<|h|<\delta/2$，将两个柯西公式相减得到差商核

它与 $1/(z-a)^2$ 之差为

若 $M=\max_C|f|$、$L=\ell(C)$，估计引理给出除以 $2\pi i$ 并积分后的误差至多为 $ML|h|/(\pi\delta^3)$，趋于零。因此 $f'(a)=(2\pi i)^{-1}\int_C f(z)/(z-a)^2\,dz$。若圆心为 $a$、半径为 $r$，便有 $|f'(a)|\le M_r/r$。重复同样论证得到下列高阶公式；刘维尔定理只使用一阶估计。

2. 所有高阶导数及其界

对开圆盘中的 $a$，从 $a$ 到围道的距离为正。在 $a$ 附近充分小的圆盘内，核 $1/(z-a)$ 的差商对 $z\in C$ 一致收敛到 $1/(z-a)^2$。估计引理允许将极限移入围道积分。重复论证得到

核的一致收敛论证证明这些导数存在，并未假设 $f$ 起初属于 $C^\infty$。同一公式还说明导数局部连续，因为分母一致远离零。

在以 $a$ 为圆心、半径为 $r$ 的圆周上，令 $M_r=\max_{|z-a|=r}|f(z)|$。由长度估计得到柯西估计

所选圆盘的边界必须有全纯邻域；不能将半径扩大到穿过奇点。

刘维尔定理与多项式根定理

对整函数，每个半径都可使用前面的估计。将估计用于有界整函数便得到刘维尔定理；再把刘维尔定理用于多项式的倒数便证明根的存在。

刘维尔定理。 有界整函数为常数。若 $\mathbb C$ 上 $|f|\le M$，对任意 $a$ 和任意半径 $r$ 的圆盘使用 $n=1$ 的估计：$|f'(a)|\le M/r$。令 $r\to\infty$ 得 $f'=0$，故函数在连通平面上为常数。

代数基本定理。 每个非常数复系数多项式都有复根。若 $p$ 无根，$1/p$ 便是整函数。其最高次项表明当 $|z|\to\infty$ 时 $|p(z)|\to\infty$，故 $1/p$ 在大圆盘之外有界；在剩余紧致圆盘上由连续性也有界。刘维尔定理使 $1/p$ 为常数，与 $p$ 的次数矛盾。反复除以线性因式后，每个 $n$ 次多项式都恰好分解为 $n$ 个线性因式，按重数计数。

多项式反证中的初等细节

为写全细节，若 $F$ 在 $\mathbb C$ 上满足 $F'=0$，则它为常数：沿 $\gamma(t)=a+t(b-a)$，$F(\gamma(t))$ 的实部和虚部导数均为零，实中值定理给出 $F(a)=F(b)$。

写 $p(z)=a_nz^n+\sum_{k<n}a_kz^k$，其中 $n\ge1$、$a_n\ne0$，令 $S=\sum_{k<n}|a_k|$。当 $|z|\ge R=\max(1,2S/|a_n|)$，

若 $p$ 无根，其倒数处处连续并且全纯，因为

上述增长界使 $1/p$ 在半径为 $R$ 的圆盘外有界；在剩余闭圆盘上，由紧致性和连续性也有界。刘维尔定理使 $1/p$ 成为常数；该常数非零，因此 $p$ 为常数，矛盾。故存在根 $\alpha$。

最后，由 $z^k-\alpha^k=(z-\alpha)\sum_{j=0}^{k-1}z^{k-1-j}\alpha^j$ 得到 $p(z)-p(\alpha)=(z-\alpha)q(z)$，其中 $q$ 为 $n-1$ 次、最高次项系数为 $a_n$。若 $q$ 非常数，对它使用根定理并对次数归纳。恰好除以 $n$ 个线性因式后，余下非零常数 $a_n$。由次数和乘积恒等式，恰有 $n$ 个线性因式，按重数计数。这也证明了有限维谱论或 Jordan 论证所需的复数域分裂结论；并未断言任意实数域或其他基域上也分裂。

实坐标化与完备的次乘性矩阵范数

实内积、诱导范数与所需不等式

实向量空间上的内积是取值于实数的映射 $\langle u,v\rangle$，它对称、对每个变量线性，并且正定：$v\ne0$ 时 $\langle v,v\rangle>0$。线性性给出 $\langle0,v\rangle=0$。定义 $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$，则范数恰在零向量处为零，且 $\|cv\|=|c|\|v\|$。$\mathbb R^m$ 上的标准例子是 $\langle u,v\rangle=\sum_{i=1}^mu_iv_i$。内积为零的向量称为正交；不同成员互相正交且每个成员范数为一的列表称为正交规范列表。

若 $v\ne0$，将 $t=\langle u,v\rangle/\|v\|^2$ 代入非负平方 $\|u-tv\|^2$，以双线性展开得 $\|u\|^2-\langle u,v\rangle^2/\|v\|^2\ge0$，故 $|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|$。若 $v=0$，该不等式直接成立。对 $v\ne0$，等号意味着 $\|u-tv\|=0$，等价于 $u=tv$；零向量情形也取等。最后展开 $\|u+v\|^2$ 并对交叉项使用该界，得到 $\|u+v\|^2\le(\|u\|+\|v\|)^2$。待开方的两边非负，因此得到三角不等式。这确实定义了范数，任何非零向量的归一化都只除以正实数；这里不使用复双线性的约定。

有限实坐标空间的任意范数为何完备

固定整数 $n\ge1$，在 $\mathbb R^n$ 上使用欧几里得范数。集合若包含在某个有限半径的球内，就称为有界；若补集是开集，就称为闭集；若它的每个由 $\mathbb R^n$ 中开集组成的覆盖都有有限子覆盖，就称为紧集。我们使用实数完备性，包括闭区间套性质。

有限维欧几里得空间的 Heine–Borel 定理

定理。 集合 $K\subseteq\mathbb R^n$ 紧致，当且仅当它闭且有界。空集具有这三种性质。

紧致推出有界。 开球 $B(0,m)$（整数 $m\ge1$）覆盖 $K$。取有限子覆盖后，$K$ 包含在其中最大的球内。

紧致推出闭。 设 $K\ne\varnothing$ 且 $y\notin K$。开球 $B(x,\|x-y\|/2)$（$x\in K$）覆盖 $K$。取中心为 $x_1,\ldots,x_r$ 的有限子覆盖，令 $\delta=\min_i\|x_i-y\|/2>0$。若 $z$ 在以 $x_i$ 为中心的所选球内，三角不等式给出 $\|z-y\|>\|x_i-y\|/2\ge\delta$。所以 $B(y,\delta)$ 不与 $K$ 相交，补集是开集。

闭且有界推出紧致。 设非空的 $K$ 闭且有界，把它包含在闭立方体 $Q_0=[-M,M]^n$ 内，其中 $M>0$。假设 $K$ 的某个开覆盖没有有限子覆盖。把每个坐标区间分成两个闭半区间，所得 $2^n$ 个闭子立方体覆盖 $Q_0$。至少一个子立方体与 $K$ 的交集不能由给定覆盖族有限覆盖；否则把有限多个有限子覆盖合并，就能覆盖 $K$。选取这样的子立方体并重复，得到闭立方体套 $Q_j$，其边长为 $2M/2^j$，且 $K\cap Q_j$ 不能被有限覆盖，因而非空。

对每个坐标使用闭区间套性质，得到公共坐标值；合起来得到 $p\in\bigcap_jQ_j$。$Q_j$ 中任意两点的距离不超过 $2M\sqrt n/2^j$，所以交集中只有 $p$。选取 $x_j\in K\cap Q_j$，则 $\|x_j-p\|\le2M\sqrt n/2^j\to0$。闭集包含这种极限：若 $p$ 在开补集中，$p$ 周围某个开球就会使最终的 $x_j$ 落在 $K$ 外，矛盾。因此 $p\in K$。

覆盖中有一个成员 $O$ 含 $p$，由开放性，存在 $\varepsilon>0$ 使 $B(p,\varepsilon)\subseteq O$。当 $j$ 足够大时，$Q_j$ 的每点到 $p$ 的距离都小于 $\varepsilon$，于是单个 $O$ 就覆盖 $K\cap Q_j$，与 $Q_j$ 的选取矛盾。因此每个开覆盖都有有限子覆盖。这里 $2^n$ 是有限数；若改成无限多个子块，这个论证就不再成立。

连续像与极值

定理。 若 $K\subseteq\mathbb R^n$ 紧致，且 $F:K\to\mathbb R^m$ 相对于 $K$ 连续，则 $F(K)$ 紧致。特别地，非空紧集 $K$ 上的连续函数 $f:K\to\mathbb R$ 有界，并达到最大值和最小值。

证明。 $F(K)$ 的开覆盖 $(O_i)$ 的原像是相对开集 $F^{-1}(O_i)=K\cap U_i$，其中 $U_i$ 在 $\mathbb R^n$ 中开。这些 $U_i$ 覆盖 $K$，所以有限多个足够。对应的 $O_i$ 覆盖 $F(K)$，证明了像的紧致性。对标量函数 $f$，由已证明定理的一维情形，其像非空、闭且有界。令 $a=\sup f(K)$。对每个 $j\ge1$，由上确界定义，可取 $y_j\in f(K)$ 使 $a-1/j<y_j\le a$。于是 $y_j\to a$，闭性使 $a$ 属于像，所以最大值可达。对 $-f$ 使用同一论证即得最小值。该结论证明存在性，而不提供极大点的计算公式。

设 $d\ge1$ 有限，$N$ 是 $\mathbb R^d$ 上任意范数：除零向量外为正，绝对齐次，并满足三角不等式。记标准坐标向量为 $e_j$，欧氏范数为 $\|x\|_2=(\sum_jx_j^2)^{1/2}$，令 $C=\sum_{j=1}^dN(e_j)>0$。按标准基展开，得到

反三角不等式给出 $|N(x)-N(y)|\le N(x-y)\le C\|x-y\|_2$，所以 $N$ 对欧氏距离连续。已证明的紧致性定理适用于非空欧氏单位球面，故 $N$ 在其上取得最小值 $m$；球面各点都非零，所以 $m>0$。对 $x\ne0$，将此最小值用于 $x/\|x\|_2$；连同 $x=0$，得到

若 $(x_k)$ 是 $N$-柯西序列，则每个坐标都是实柯西序列，因为 $|(x_k-x_l)_j|\le\|x_k-x_l\|_2\le N(x_k-x_l)/m$。实数完备性给出各坐标极限 $a_j$。有限个坐标差平方之和趋零，故 $\|x_k-a\|_2\to0$，再由 $N(x_k-a)\le C\|x_k-a\|_2$ 得到范数收敛。因此每个 $N$-柯西序列均在 $N$ 中收敛。零维空间只有零向量，单独即知完备；这里不声称无限维空间的完备性或范数等价。

固定 $F=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$，以及整数 $d\ge1$。记 $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$；它是 $\mathbb R^2$ 的欧氏范数，因此可用已证的实三角不等式。直接展开得 $|zw|^2=|z|^2|w|^2$，所以 $|zw|=|z||w|$。对 $A\in M_d(F)$ 定义

它恰在零矩阵处为零；模的齐次性与标量三角不等式给出范数的齐次性和三角不等式。有限矩阵乘法给出

故 $\nu(AB)\le\nu(A)\nu(B)$，且 $\nu(I)=1$。另有 $|a_{ij}|\le\nu(A)$。

对实矩阵，这是 $\mathbb R^{d^2}$ 上的实范数。对复矩阵，把全部元素的实部与虚部依次列出，将该空间作为实向量空间与 $\mathbb R^{2d^2}$ 对应。同一个 $\nu$ 是这些实坐标上的实范数，所以可用已证的有限实范数完备性定理。这是明确的实坐标化论证，没有改变该定理的标量域。两种情形下，每个 $\nu$-Cauchy 矩阵序列都有 $\nu$ 意义下的矩阵极限。矩阵乘法保持极限：若 $A_n\to A,B_n\to B$，由 $\nu(A_n)$ 有界及

即得结论。零维矩阵空间由其唯一映射单独处理，不对空单位球面取极值。

绝对收敛矩阵级数及保持因子次序的 Cauchy 乘积

若 $\sum_{n\ge0}\nu(A_n)<\infty$，则 $\sum A_n$ 的有限尾和范数不超过相应标量尾和，故由完备性得到矩阵和。由 $|\nu(X)-\nu(Y)|\le\nu(X-Y)$，有限范数不等式可传至极限。再设 $\sum\nu(B_n)<\infty$，两矩阵和为 $A,B$，绝对和为 $\alpha,\beta$。定义有限系数

对每个 $N$，有 $\sum_{n=0}^N\nu(C_n)\le\sum_{k+j\le N}\nu(A_k)\nu(B_j)\le\alpha\beta$。非负标量部分和有界，因而收敛；$\sum C_n$ 绝对存在。为求其值，令 $A^{[m]}=\sum_{k=0}^m A_k$，并类似定义 $B^{[m]}$。当 $N\ge2m$ 时，三角形 $k+j\le N$ 包含方块 $k,j\le m$；每个额外指标对满足 $k>m$ 或 $j>m$，所以

右侧趋零，且 $A^{[m]}B^{[m]}\to AB$。故 $\sum C_n=AB$，没有改变矩阵因子的次序，也没有交换未经证明的二重极限。这里只用实数列的通常完备性与有限求和。

矩阵指数的构造、乘积及实际求导

对 $B\in M_d(F)$ 定义 $\operatorname{Exp}(B)=\sum_{n=0}^{\infty}B^n/n!$，其中 $B^0=I$。若 $B=0$，级数直接等于 $I$；否则，正项标量优级数 $\sum\nu(B)^n/n!$ 收敛：一旦 $n+1\ge2\nu(B)$，相邻项比至多为 $1/2$，余下尾项便有几何尾和界。因此由上一结果得到绝对存在性。

若 $B,C$ 可交换，前述 Cauchy 乘积定理及有限二项式恒等式给出

有限二项式恒等式可归纳证明；只在使用 $BC=CB$ 时交换两因子，并不声称不交换矩阵也满足此式。特别地，对实数 $s,t$，$E_A(t)=\operatorname{Exp}(tA)$ 满足 $E_A(t+s)=E_A(t)E_A(s)$、$E_A(0)=I$ 和 $E_A(-t)E_A(t)=I$。

现直接证明可微性。令 $q=\nu(A)$。若 $q=0$，则 $E_A=I$，所有导数结论直接成立。否则对满足 $|h|q\le1$ 的非零实数 $h$，由 $n\ge2$ 下 $n!\ge2^{n-1}$ 得

乘积法则于是给出

故对实数 $t$，有 $E_A'(t)=E_A(t)A=AE_A(t)$；复元素的导数指关于实参数逐元素求导。与 $A$ 可交换由有限部分和及乘法连续性得到。这里没有预先假设某个尚未证明的极限函数满足积分定理。

逐项求导也获得实际验证。在固定 $|t|\le M$ 上，多项式部分和的尾部一致地被 $\sum(Mq)^n/n!$ 控制；其导数尾部被 $q\sum_{n\ge1}(Mq)^{n-1}/(n-1)!$ 控制。两优级数均由相同的几何比值论证收敛，$M=0$ 单独直接处理。因此导数部分和一致收敛到 $AE_A(t)$，恰与上面独立证明的极限导数相同。标量复指数采用同一个一维构造：$e^z=\sum z^n/n!$；并未把仅适用实数的指数 profile 改标成复数。

唯一性所需的实零导数引理

已选的有限欧氏紧致性与极值证明，保证连续实函数在 $[a,b]$ 上取得极值。内部可微极值点的左右差商迫使导数为零。连续函数 $g$ 若两端值相同，则或者恒定，或者有内部最大值或最小值；故内部可微时有一点导数为零，这就是 Rolle 论证。对实可微函数 $f$，减去端点割线并应用该论证，得到某个 $c\in(a,b)$ 满足 $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。因此区间上导数为零的实函数恒定。对实参数复值函数的实部与虚部分别应用该结论，得到相同的恒定结论；这里没有假设复中值等式。

幂零因子、相似变换与初值解

若整数 $r\ge1$、$N^r=0$ 且 $\lambda\in F$，则 $\lambda tI$ 与 $tN$ 可交换。已证的乘积法则和终止的幂零级数给出，对实数 $t$，

这包括 $\lambda=0$，常数项仍为一。若 $P$ 可逆且 $A=PJP^{-1}$，有限次幂满足 $A^n=PJ^nP^{-1}$；绝对极限及乘法连续性给出 $E_A(t)=PE_J(t)P^{-1}$。所以 $x(t)=E_A(t)x_0$ 可微，满足 $x'=Ax$ 及零处初值 $x_0$。它还是包含零的任意实开区间上的唯一可微解：若 $y'=Ay$，对 $E_A(-t)y(t)$ 求导；由于 $A$ 与 $E_A(-t)$ 交换，其导数为零。由前述实零导数引理，它恒等于 $y(0)$；乘以 $E_A(t)$ 得 $y(t)=E_A(t)y(0)$。这在两个系数域上验证了所列 Jordan 指数公式及完整初值意义，没有借用尚未准入的矩阵常微分方程定理。