双线性型、合同与标准几何

所有空间均为所述域上的有限维空间。双线性型对两个变量均线性；在 $\mathbb C$ 上它不是 Hermitian 内积。

1. 型按合同而非相似变换

域 $F$ 上 $V$ 的双线性型是映射 $B:V\times V\to F$，对两个变量分别线性。对基 $e_1,\ldots,e_n$，令 $A_{ij}=B(e_i,e_j)$，则在列坐标下

$$B(v,w)=[v]^{\mathsf T}A[w].$$

若新旧坐标满足 $[v]=P[v]'$，新矩阵为

$$A'=P^{\mathsf T}AP.$$

这叫合同。算子的换基法则是 $P^{-1}AP$；两者是不同问题。特征值是相似不变量，一般不是合同不变量。例如实一维型 $[1]$ 和 $[4]$ 通过 $P=[2]$ 合同，但特征值不同。

由 $B^\flat(v)(u)=B(u,v)$ 定义的映射 $B^\flat:V\to V^*$ 线性，在所选基和其对偶基下矩阵为 $A$。若该映射是同构，称型非退化；等价地 $A$ 可逆。非对称型有不同的左核和右核，虽然由秩相等可知其维数相同。对对称型或交错型，两者的根基（radical）子空间相同，记作

$$\operatorname{rad}B=\{v:B(v,w)=0\text{ for all }w\}.$$

秩和根基维数不依赖基。在以根基取商后，这些型诱导出良定义的非退化型：将代表元改变一个根基向量，不会改变型的值。

2. 对称双线性型与二次型

若 $B(u,v)=B(v,u)$，称型为对称的，等价于 $A^{\mathsf T}=A$。它定义二次型 $q(v)=B(v,v)$。若 $\operatorname{char}F\ne2$，极化公式恢复双线性型：

$$B(u,v)=\frac{q(u+v)-q(u)-q(v)}2.$$

因此在此特征下，对称型和其二次型包含相同信息；特征二中则不然。

合同对角化。 在特征不为二的任何域上，对称双线性型都有一个基使其矩阵对角化，允许对角项为零。

证明。 对维数归纳。若 $B=0$，任何基都可。否则存在 $v$ 使 $B(v,v)\ne0$：若所有对角值为零，由极化可知每个 $B(u,v)$ 均为零。对该 $v$，每个 $w$ 唯一分解为

$$w=\frac{B(w,v)}{B(v,v)}v+\left(w-\frac{B(w,v)}{B(v,v)}v\right),$$

其中第二项关于 $B$ 垂直于 $v$。由于 $B(v,v)\ne0$，和是直和。将 $B$ 限制在该垂直子空间上并应用归纳。该论证允许限制退化，因此证明一般结论。∎

例：配方。 在 $\mathbb R$ 上，对 $q(x,y)=2x^2+4xy-y^2$，

$$q=2(x+y)^2-3y^2.$$

新坐标 $s=x+y,t=y$ 显示一个正平方和一个负平方。这是合同换坐标，而不是特征值计算。相应对称矩阵为 $\begin{pmatrix}2&2\\2&-1\end{pmatrix}$，因为混合项系数是非对角元素的两倍。

在 $\mathbb C$ 上，每个非零对角系数都有平方根，因此缩放基向量可将对称型化为 $\operatorname{diag}(I_r,0)$。秩 $r$ 完全决定其合同类。在 $\mathbb R$ 上，实数缩放不能去掉所有符号；在 $\mathbb Q$ 上，即使正系数也不一定是有理数平方。系数域是分类的一部分。

3. 实数上的 Sylvester 惯性定律

重新缩放实对称型的对角项得到

$$q= x_1^2+\cdots+x_{p_+}^2-y_1^2-\cdots-y_{p_-}^2+0\cdot z_1^2+\cdots+0\cdot z_{p_0}^2.$$

三元组 $(p_+,p_-,p_0)$ 是其惯性指数，不依赖基的选择。

唯一性证明。 在此表示中，正坐标子空间的维数为 $p_+$，二次型 $q$ 在其上正定。维数大于 $p_+$ 的子空间不可能使限制正定：它必与所有正坐标均为零的坐标子空间相交，后者维数为 $p_-+p_0$，因为两者维数之和大于 $n$。交集中的非零向量的二次型值至多为零，产生矛盾。因此 $p_+$ 内蕴地等于正定子空间可能达到的最大维数。同理 $p_-$ 是负定限制的最大维数。最后 $p_0=n-p_+-p_-$，也就是根基维数。∎

型正定当且仅当 $(p_+,p_-,p_0)=(n,0,0)$，负定对应 $(0,n,0)$，不定对应 $p_+,p_->0$。正半定允许零平方项，但不允许负平方项。非退化意味着 $p_0=0$，不意味着正定。

对实对称矩阵，正交谱对角化是合同的一个特例，因为 $Q^{-1}=Q^{\mathsf T}$。因此惯性指数按重数计数正、负、零特征值。一般合同保持这些数量，但不保持特征值的具体数值。

各向同性向量是满足 $q(v)=0$ 的非零向量 $v$。它不一定属于根基。在 $q(x,y)=x^2-y^2$ 中，$(1,1)$ 是各向同性向量，但 $B((1,1),(1,0))=1$。将各向同性与退化混为一谈会丢失重要几何信息。

4. 交错型与辛对

若对每个 $v$ 都有 $B(v,v)=0$，双线性型是交错的。展开 $B(u+v,u+v)$ 表明任何特征下均有 $B(u,v)=-B(v,u)$。反过来，只有特征不为二时，反对称才蕴含交错；特征二中仍须检查对角项。

交错型标准形。 存在一个基，使交错型是下列块

$$H=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$$

和零块的直和。因此其秩为偶数，非退化交错空间的维数为偶数。

证明。 若型为零，停止。否则选 $u,v$ 使 $B(u,v)\ne0$，并缩放 $v$ 使 $B(u,v)=1$。在 $E=\operatorname{span}(u,v)$ 上，型的矩阵为 $H$ 且非退化。对每个 $w$，令

$$h=B(w,v)u-B(w,u)v.$$

直接计算得 $B(w-h,u)=B(w-h,v)=0$。因此 $V=E\oplus E^\perp$；和为直和，因为 $E$ 上的型非退化。限制到补空间并归纳。剩余零块恰为根基。计算无需除以二，在 $-1=1$ 的特征二中仍有效。∎

非退化情况下只给出 $H$ 块的基称为辛基。它将方向配对，而不是令向量单位长度；交错型没有相应的正范数。因此不能在忽略不同不变量与假设的情况下，将对称型和交错型分类描述成 Gram–Schmidt 的变体。

5. 特征二是实质边界，而非技术细节

在特征二的域上，对称矩阵 $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 非零且非退化，但对所有向量 $q(x,y)=2xy=0$。因此 $B(v,v)$ 不能确定对称双线性型，以 $1/2$ 极化无定义，第 2 节的对角化证明在第一步便失效。交错型标准形仍然有效。每当定理使用配方，先检查标量二是否可逆。

6. 练习

P01 — 基础。 写出 $\mathbb R$ 上 $q(x,y,z)=x^2+4xy+3y^2-2z^2$ 的对称矩阵。

P02 — 核心。 用配方求 P01 的型的惯性指数和根基。

P03 — 核心。 $\operatorname{diag}(1,-1)$ 与 $\operatorname{diag}(2,-3)$ 在 $\mathbb R$ 上合同吗？相似吗？

P04 — 核心。 $\mathbb R^3$ 上 $B$ 的矩阵为 $\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$。求根基及诱导的非退化商型。

P05 — 诊断。 给出一个有非零各向同性向量的非退化对称型，并解释该向量为什么不在根基中。

P06 — 证明。 证明奇数维空间上不存在非退化交错型，包括特征二的情况。

P07 — 核心。 在 $\mathbb C$ 上，证明矩阵为 $\operatorname{diag}(1,-1)$ 与 $I_2$ 的对称型合同。

P08 — 证明。 对根基为 $R$ 的对称型，验证 $\bar B(v+R,w+R)=B(v,w)$ 在 $V/R$ 上良定义且非退化。

P09 — 拓展。 证明一维型 $[1]$ 和 $[2]$ 在 $\mathbb Q$ 上不合同，虽然在 $\mathbb R$ 上合同。

7. 详解

P01. 矩阵为 $\begin{pmatrix}1&2&0\\2&3&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$。对称展开时非对角元素二产生系数 $4xy$。

P02. 配方得到 $q=(x+2y)^2-y^2-2z^2$，故惯性指数为 $(1,2,0)$、根基为零。特别地，该型不定且非退化。

P03. 它们合同：$P=\operatorname{diag}(\sqrt2,\sqrt3)$ 给出 $P^{\mathsf T}\operatorname{diag}(1,-1)P=\operatorname{diag}(2,-3)$。它们不相似，因为特征值多重集不同（迹也不同）。

P04. 根基为 $\operatorname{span}(e_3)$。在商空间中，$e_1+R,e_2+R$ 构成基，其矩阵为 $H$，是秩二的非退化交错型。

P05. 对 $B((x,y),(s,t))=xs-yt$，矩阵 $\operatorname{diag}(1,-1)$ 可逆。向量 $(1,1)$ 的二次型值为零，但与 $(1,0)$ 配对得到一，故它不在根基中。

P06. 交错型标准形的秩是 $H$ 块数的两倍。非退化要求秩等于维数，故维数必须为偶数。与使用 $\det A=(-1)^n\det A$ 的证明不同，这里没有除以二，在特征二中仍有效。

P07. 令 $P=\operatorname{diag}(1,i)$，则 $P^{\mathsf T}\operatorname{diag}(1,-1)P=I_2$，因为 $-i^2=1$。这里是转置，不是共轭转置；后者会形成不同的型问题。

P08. 将 $v,w$ 替换为 $v+r,w+s$ 后，增加 $B(r,w)+B(v,s)+B(r,s)$；对称性使根基向量在任一变量中都给出零，所以这些项均为零。若 $v+R$ 与每个商类配对为零，则对每个 $w$ 有 $B(v,w)=0$，故 $v\in R$，其商类为零。这就是非退化性。

P09. 一维有理换基是乘以非零 $p\in\mathbb Q$，故合同要求 $p^2=2$。把 $p=a/b$ 写成最简形式，得到 $a^2=2b^2$，迫使两个整数都为偶数，矛盾。在 $\mathbb R$ 上，乘以 $\sqrt2$ 给出合同。

8. 总结

双线性型对应到代数对偶的线性映射，换基法则为合同。二可逆时对称型可对角化；实数符号给出惯性指数，复数平方则使秩成为分类依据。任何特征下，交错型都分解为二维对。域、根基，以及转置与共轭转置的区别，都是任何分类不可缺少的部分。