学习目标与准备

本章以标量导数、弧度制三角函数、向量分量和定积分为基础。你将区分几何曲线与其遍历方式，从参数推导一阶和二阶直角坐标斜率，并联系向量速度、加速度与标量速率。

6.1 曲线与参数化是不同对象

参数曲线是函数 $r:I\to\mathbb R^n$，通常写为 $r(t)=(r_1(t),\ldots,r_n(t))^T$。其像是经过的点组成的集合；参数化还记录顺序、时序和重复经过。消去 $t$ 可以找出像，但可能丢失限制或方向。

例 1：随时间遍历椭圆。 对 $r(t)=(a\cos t,b\sin t)^T$，其中 $a,b>0$，消去 $t$ 得 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$。在 $[0,2\pi]$ 上从 $(a,0)$ 出发并回到该点，逆时针遍历椭圆一次；在 $[0,\pi]$ 上只走过上半部分；在 $[0,4\pi]$ 上遍历两次。单靠直角坐标方程不能区分这些情况。

重参数化 $t=\phi(s)$ 给出 $\tilde r(s)=r(\phi(s))$。若 $\phi$ 是 $C^1$ 双射 $\phi:J\to I$，且 $\phi'\ne0$，其中 $I,J$ 为区间，$r:I\to\mathbb R^n$ 是正则 $C^1$ 路径，则 $\tilde r$ 正则地遍历同一路径；$\phi'$ 的符号决定方向保持还是反转。重复取参数值的映射可能造成重复遍历，不能假定其计数一次的长度不变。

6.2 向量极限与导数

向量极限存在当且仅当每个分量极限都存在。这可由每个分量差的绝对值不超过范数、而范数不超过各分量绝对值之和得到。定义

$$r'(t)=\lim_{h\to0}\frac{r(t+h)-r(t)}h.$$

因此 $r'=(r_1',\ldots,r_n')^T$。在导数存在处再次逐分量求导，得到 $r''$。参数定义域仍决定导数是双侧还是单侧。

对可微向量 $u,v$ 和标量函数 $f$，

$$(u+v)'=u'+v',\quad(fu)'=f'u+fu',\quad (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.$$

将点积写成有限和并应用标量乘积法则，可得点积求导法则。链式法则为 $d[r(\phi(s))]/ds=r'(\phi(s))\phi'(s)$。在三维中定义 $u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)^T$。逐分量求导得到 $(u\times v)'=u'\times v+u\times v'$；必须保留顺序，因为叉积交换顺序会变号。 没有定义对向量作除法，也不需要这种运算。

例 2：三坐标路径。 对 $r(t)=(t^2,e^t,\sin2t)^T$，导数为 $(2t,e^t,2\cos2t)^T$，二阶导数为 $(2,e^t,-4\sin2t)^T$。每个坐标使用通常的标量法则，振荡坐标还包括内部因子二。

若 $r(t)\ne0$，对 $\|r\|^2=r\cdot r$ 求导得到

$$\frac d{dt}\|r(t)\|=\frac{r(t)\cdot r'(t)}{\|r(t)\|}.$$

这是距原点的距离变化率，一般不是速率 $\|r'(t)\|$。当向量为零时，还须另行分析范数。

6.3 切线与直角坐标导数

在满足 $r'(t)\ne0$ 的正则参数值处，导数与路径相切，其单位方向为 $T(t)=r'(t)/\|r'(t)\|$。对局部直角坐标公式，设 $x,y$ 在 $t_0$ 周围的开参数区间上为 $C^1$，且 $x'(t_0)\ne0$。第一式在 $t_0$ 附近成立；第二式还要求 $x,y$ 在该处为 $C^2$：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)},\qquad \frac{d^2y}{dx^2}=\frac1{x'(t)}\frac d{dt}\left(\frac{y'(t)}{x'(t)}\right).$$

第二个公式不是 $y''/x''$；它再次使用参数链式法则，对第一个斜率关于 $x$ 求导。

局部图像为何存在。 由 $x'$ 连续，可缩小区间，使 $x'$ 保持一个固定非零符号。中值定理于是保证 $x$ 在该处严格单调。连续性与介值定理保证其像为开区间：它包含任意两个参数的像之间的每个值，而开参数区间内每个参数的左、右两侧都有邻近参数。其反函数连续：在所选参数两侧任取两个参数，其像夹出该点像周围的一个开区间，故充分接近的像值的参数必位于这两个参数之间。因此，当邻近的直角坐标输入趋于 $x(t)$，对应参数可写成 $t+h$，且 $h\to0$。图像的差商为

$$\frac{y(t+h)-y(t)}{x(t+h)-x(t)}=\frac{[y(t+h)-y(t)]/h}{[x(t+h)-x(t)]/h}\longrightarrow\frac{y'(t)}{x'(t)}.$$

若 $x,y$ 为 $C^2$，则该区间上的商 $y'/x'$ 为 $C^1$。对这一商应用一阶导数的论证，得到 $d/dx=(1/x')d/dt$，从而得到第二式。这里没有把缺少所述邻域正则性时仅一个点的水平导数非零，当作逆函数定理。

例 3：参数化抛物线。 设 $x=t^2$、$y=t^4$，其中 $t>0$。则 $dy/dx=2t^2=2x$，且 $d^2y/dx^2=2$。消参得到的曲线虽为 $y=x^2$，参数限制只走过 $x>0$。在延拓到被排除的参数 $t=0$ 时，两个分量的一阶导数都为零，不能直接使用比值公式，尽管几何抛物线在该处有水平切线。

对例 1 的椭圆，当 $\sin t\ne0$ 时 $dy/dx=-b\cos t/(a\sin t)$。在 $t=0,\pi$ 处，水平分量导数为零而竖直分量导数非零，故切线竖直。若两个分量导数都为零，仅凭这两个数不能推出切线结论；需要检查曲线或更高阶展开。

6.4 速度、速率与加速度

对位置路径，速度为 $v=r'$，加速度为 $a=r''$，速率为 $\|v\|\ge0$。速度非零时，

$$\frac d{dt}\|v\|=\frac{v\cdot a}{\|v\|}.$$

非零加速度可以改变运动方向而不改变速率。

例 4：匀速圆周运动。 设 $r(t)=(R\cos\omega t,R\sin\omega t)^T$，其中 $R>0$、$\omega\ne0$。则

$$v=R\omega(-\sin\omega t,\cos\omega t)^T,\qquad a=-R\omega^2(\cos\omega t,\sin\omega t)^T.$$

速率 $R|\omega|$ 为常数，但加速度的大小为 $R\omega^2$ 且指向圆心。点积 $v\cdot a=0$ 确认速率导数为零；仅知道标量速率并不能确定向量运动。

例 5：改变参数速率。 将单位圆重新参数化为 $r(t)=(\cos(t^2),\sin(t^2))^T$、$t\ge0$。其像仍为圆，但速率为 $2t$，随着时间增长路径反复绕圈；初始速度为零。几何形状本身不能指定唯一的速率规律。

6.5 长度与向量的累积变化

为何实数不只有算术规则

有理数支援熟悉的有序算术，但集合 $\{q\in\mathbb Q:q>0,\ q^2<2\}$ 没有有理数最小上界。实数系统加入完备性：非空有上界集合都有最小上界。这不只是另一条不等式运算规则，而是分析中许多存在性结论的来源。

定义

上界与上确界

对非空 $A\subset\mathbb R$，若每个 $a\in A$ 均满足 $a\le u$，则 $u$ 是上界。若 $s$ 是上界，并对每个上界 $u$ 都有 $s\le u$，则 $s=\sup A$。最大值是既属于 $A$ 又是上界的元素。最大值若存在便是上确界；上确界则不一定属于 $A$。下界、下确界和最小值以反向不等式定义。

定理

完备性公理

每个非空且有上界的实数子集都有实数上确界。等价地，每个非空且有下界的子集都有实数下确界，因为 $\inf A=-\sup(-A)$。

例如 $\sup(0,1)=1$，但 $1$ 不是该集合的最大值；相反，$\sup[0,1]=1$ 且是最大值。依此定义，空集及没有上界的集合没有实数上确界。

定理

上确界近似判据

非空集合 $A$ 的上界 $s$ 是 $\sup A$，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$，存在 $a\in A$ 使 $s-\varepsilon<a\le s$。

证明

证明两个方向

若 $s=\sup A$，但没有元素大于 $s-\varepsilon$，则 $s-\varepsilon$ 是更小的上界，矛盾。反过来，假设 $s$ 是上界且具近似性质。若另一上界 $u<s$，取 $\varepsilon=s-u>0$，近似性质给出 $a>u$，违反 $u$ 是上界。因此 $s$ 是最小上界。

例题

上确界证明的两部分

令 $A=\{n/(n+1):n\in\mathbb N, n\ge1\}$。每个元素小于 $1$，所以 $1$ 是上界。给定 $\varepsilon>0$，由下述阿基米德性质选 $n>1/\varepsilon$。则 $1-n/(n+1)=1/(n+1)<\varepsilon$，故 $\sup A=1$。没有元素等于 $1$，所以 $A$ 没有最大值。只证上界并不足以证明它是最小上界：$2$ 也是上界。

阿基米德性质与稠密性

定理

阿基米德性质

对每个实数 $x$，存在正整数 $n>x$。因此对每个 $\varepsilon>0$，存在 $n\in\mathbb N$ 使 $1/n<\varepsilon$。

证明

完备性迫使整数无上界

若正整数有上界，完备性给 $s=\sup\mathbb N$。因 $s-1$ 不是上界，存在 $n\in\mathbb N$ 满足 $n>s-1$。但 $n+1>s$ 且 $n+1\in\mathbb N$，违反 $s$ 是上界。对 $1/\varepsilon$ 应用该性质即得第二个结论。

任意实数 $x<y$ 之间都有有理数。选 $n$ 使 $n(y-x)>1$；由阿基米德性质及整数部分性质，可选整数 $m$ 使 $nx<m<ny$，因此 $x<m/n<y$。整数部分性质可由整数在正负两方向均无界及自然数良序性得到。$x$ 和 $y$ 之间也有无理数：选有理数 $q$ 使 $x-\sqrt2<q<y-\sqrt2$，则 $q+\sqrt2$ 是位于区间内的无理数。稠密性不表示有理数与无理数集合相同。

例题

以反射求下确界

对 $B=\{2+1/n:n\ge1\}$，所有元素均大于 $2$。给定 $\varepsilon>0$，选 $n>1/\varepsilon$ 可得 $2<2+1/n<2+\varepsilon$。所以 $2$ 是下确界，但不是最小值。最大值为 $3$，由 $n=1$ 取到。

收敛中的量词

定义

实数数列的收敛

数列 $(x_n)$ 收敛至 $L\in\mathbb R$，指对每个 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbb N$，使每个 $n\ge N$ 均有 $|x_n-L|<\varepsilon$。记作 $x_n\to L$。$N$ 可以依赖 $\varepsilon$，但必须对其后所有下标同时有效。

「收敛至 $L$」的否定式为：存在 $\varepsilon_0>0$，使对每个 $N$ 都有某个 $n\ge N$ 满足 $|x_n-L|\ge\varepsilon_0$。少数初始项不影响收敛；在任意后期仍反复出现的失败则会影响。

例题

构造 epsilon–N 证明

对 $x_n=(3n+1)/(n+2)$，先猜 $L=3$。因为

$$\left|\frac{3n+1}{n+2}-3\right|=\frac5{n+2}<\frac5n,$$

选 $N>5/\varepsilon$，则每个 $n\ge N$ 都满足 $|x_n-3|<\varepsilon$。猜测只是动机；不等式及带量词的选取才建立证明。

定理

唯一性、有界性及极限定律

收敛实数数列的极限唯一，且数列有界。若 $x_n\to x$、$y_n\to y$，则 $x_n+y_n\to x+y$、$x_ny_n\to xy$；若 $y\ne0$ 且商最终有定义，则 $x_n/y_n\to x/y$。若最终有 $x_n\le z_n\le y_n$，而两侧均收敛至 $L$，则 $z_n\to L$。

证明

唯一性与有界性

若 $x_n\to L$ 且 $x_n\to M$，对任意 $\varepsilon>0$，充分后期的项同时满足 $|x_n-L|<\varepsilon/2$ 及 $|x_n-M|<\varepsilon/2$。三角不等式给 $|L-M|<\varepsilon$；此式对所有正 $\varepsilon$ 成立，故 $L=M$。要证有界，选 $N$ 使 $n\ge N$ 时 $|x_n-L|<1$。有限个初始项与尾部界 $|x_n|\le|L|+1$ 一起给出整个数列的有限界。

有界性的逆命题不成立：$(-1)^n$ 有界但不收敛。若收敛至 $L$，其偶数子列收敛至 $1$、奇数子列收敛至 $-1$，违反极限唯一性。

证明

乘积定律的机制

收敛数列 $(y_n)$ 有界，设 $|y_n|\le M$。由

$$|x_ny_n-xy|\le|y_n||x_n-x|+|x||y_n-y|,$$

两项均趋零。对商，$y_n\to y\ne0$ 蕴含最终有 $|y_n|\ge|y|/2$；分母因而远离零，得 $1/y_n\to1/y$。

子列

定义

子列

$(x_n)$ 的子列是 $(x_{n_k})$，其中 $n_1<n_2<\cdots$ 为正整数。若 $x_n\to L$，每个子列都收敛至 $L$，因为 $n_k\ge k$，最终会超过任意指定下标。

定理

Bolzano–Weierstrass 定理

每个有界实数数列都有收敛子列。

证明

套叠区间证明

把所有项放入闭有界区间 $I_1$，并把它平分。至少一半含无穷多个数列项；选该半区间为 $I_2$。继续进行，得到长度趋零的套叠闭区间 $I_k$，每个都含无穷多项。选严格递增的下标 $n_k$ 使 $x_{n_k}\in I_k$；因每个区间含无穷多项，故可做到。完备性给出所有区间的一个共同点 $L$：左端点集合的上确界位于每个区间内，因为每个左端点都不超过每个右端点。由 $x_{n_k},L\in I_k$，二者距离不超过区间长度，故趋零。

结论是关于子列，而非整个数列。例如 $(-1)^n$ 有分别收敛至 $1$ 及 $-1$ 的常数子列，但自身不收敛。

实直线闭集：序列判据与开补集

在通常的经典集合论背景下讨论实直线，并允许可数次见证选择。集合 $U$ 为开集，是指每个 $y$ 属于 $U$ 都有某个 $r>0$，使 $(y-r,y+r)$ 包含于 $U$。使用阿基米德性质的推论：$1/n$ 趋于零。对任意实直线子集 $K$，下列条件等价：

1. $K$ 中任意在实直线上收敛的序列，其极限仍属于 $K$。
2. $K$ 的补集为开集。

由 2 推出 1。 设 $x_n$ 属于 $K$ 且 $x_n$ 趋于 $x$。若 $x$ 不属于 $K$，补集的开放性给出 $r>0$，使 $(x-r,x+r)$ 与 $K$ 不相交。收敛性保证充分靠后时 $|x_n-x|<r$，与 $x_n$ 属于 $K$ 矛盾，故 $x$ 属于 $K$。

由 1 推出 2。 固定不属于 $K$ 的 $y$。若以 $y$ 为中心的每个正半径区间都遇到 $K$，则对每个正整数 $n$，都有 $x_n$ 属于 $K$ 且 $|x_n-y|<1/n$。将这些见证选成一个序列。给定 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使 $1/N<\varepsilon$；当 $n\ge N$，有 $|x_n-y|<1/n\le1/N<\varepsilon$，故 $x_n$ 趋于 $y$。条件 1 会迫使 $y$ 属于 $K$，矛盾。因此 $y$ 周围存在避开 $K$ 的区间。对补集每点均如此，故补集开放。选择见证序列这一步使用已声明的经典背景；这里不声称在不带选择的基础体系中证明同一结论。若 $K$ 为空，其中没有序列，其补集为整个开实直线；若 $K$ 为整个实直线，其空补集的开放性真空成立。两种边界情形也满足等价关系。

学习目标与定义

集合 $K\subseteq\mathbb R$ 称为紧致的，如果任意一族开集只要其并包含 $K$，就存在有限个成员仍覆盖 $K$。集合若包含其点构成的每个收敛序列的极限，则称为闭集；等价地，其补集是开集。序列紧致性指 $K$ 中每个序列都有收敛到 $K$ 中某点的子列。

空集是紧致、闭且有界的，也满足序列紧致性；这些性质均以空真方式成立。在需要选取点或无穷序列的证明中，要单独处理空集。我们使用先前数列内容中的实数完备性及其闭区间套和 Bolzano–Weierstrass 推论。

定理：实数直线上的 Heine–Borel 定理

对 $K\subseteq\mathbb R$，下列条件等价：开覆盖意义下的紧致性；闭且有界；序列紧致性。

紧致推出闭且有界。 区间 $(-n,n)$（$n\ge1$）覆盖 $\mathbb R$，因而覆盖 $K$。有限子覆盖给出一个界。为证明闭性，取 $y\notin K$。对每个 $x\in K$，区间 $B(x,|x-y|/2)$ 不含 $y$。取其中覆盖 $K$ 的有限子族，令 $\delta$ 为这些区间中心到 $y$ 的正距离的一半所组成的有限集合的最小值。所选以 $x$ 为中心的区间内每点到 $y$ 的距离严格大于 $|x-y|/2\ge\delta$。因此 $B(y,\delta)$ 与 $K$ 不相交，因此对每个集合外的点，都找到不与集合相交的开邻域，补集是开集。若 $K$ 为空，结论立即成立。

闭且有界推出紧致。 将非空的 $K$ 放入闭有界区间 $I_0$。假设 $K$ 的某个开覆盖不存在有限子覆盖。将 $I_0$ 二等分；至少一个闭半区间与 $K$ 的交集不能被有限覆盖，否则两组有限覆盖合起来便覆盖 $K$。选取这样的半区间并重复，得到长度趋于零的闭区间套 $I_n$，且 $K\cap I_n$ 不能被有限覆盖。每个交集非空，选取 $x_n\in K\cap I_n$。闭区间套性质给出唯一公共点 $p$；因两者均在 $I_n$ 中，故 $x_n\to p$。由闭性得 $p\in K$。覆盖中某个成员 $O$ 含 $p$；由其开放性，$O$ 包含以 $p$ 为中心的某个开球。当 $n$ 足够大时，整个区间 $I_n$ 均在该球内，于是单个开集 $O$ 就覆盖 $K\cap I_n$，矛盾。

闭且有界推出序列紧致。 $K$ 中每个序列有界，故 Bolzano–Weierstrass 定理给出收敛子列。由闭性，其极限仍在 $K$ 中。

序列紧致推出闭且有界。 若无界，可选取 $x_n\in K$，使 $|x_n|>n$；它没有收敛到有限实数的子列，矛盾。若 $p$ 是 $K$ 中点的极限，则可选取 $x_n\in K$ 使 $|x_n-p|<1/n$。由序列紧致性，某子列收敛到 $K$ 中一点；它也收敛到 $p$，由实数极限唯一性得 $p\in K$。因此 $K$ 是闭集，所有蕴涵均已证明。

实数线上的紧致子集

集合 $K\subset\mathbb R$ 若每个开覆盖都有有限子覆盖，便称紧致。在 $\mathbb R$ 中，Heine–Borel 定理指出，这等价于闭且有界，也等价于 $K$ 内每个数列都有收敛至 $K$ 中某点的子列。闭性使子列极限留在集合内；有界性则容许抽取子列。以下证明使用序列形式。

定理

极值定理

若 $K\subset\mathbb R$ 非空且紧致，$f:K\to\mathbb R$ 连续，则 $f$ 有界并在 $K$ 上取得最大值及最小值。

证明

抽取逼近最大值的子列

若 $f$ 无上界，选 $x_n\in K$ 使 $f(x_n)>n$。存在子列 $x_{n_k}\to x\in K$；连续性给 $f(x_{n_k})\to f(x)$，与其趋向无穷矛盾。对 $-f$ 作同样论证可得下界。令 $s=\sup f(K)$，选 $x_n\in K$ 使 $s-1/n<f(x_n)\le s$。某收敛子列趋向 $x\in K$，由连续性有 $f(x)=s$。对 $-f$ 同理得最小值。

例题

哪个假设失效？

连续函数 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上有界，但没有最大值或最小值，因为 $0$、$1$ 不在定义域。此集合有界但不闭，故不紧致。在 $[0,1]$ 上两端点都存在，因此取得极值。紧致性是充分的全局假设，不是每个个别函数取得极值的必要条件。

费马必要条件。 在可微的内点局部最大值或最小值处，$f'(a)=0$。

证明。 在局部最大值处，充分小的正增量给出非正差商，负增量给出非负差商。双侧导数的极限要同时满足两种符号，只能为零。对函数取负处理最小值。$\square$

内点条件很重要：$f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上的极值出现在端点，尽管导数为 1。逆命题不成立：$x^3$ 在零处导数为零，但那里不是极值。

Rolle 定理。 若 $a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 上可微，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $c\in(a,b)$ 使 $f'(c)=0$。

证明。 极值定理保证最大值和最小值存在。若函数为常数，任意内点均符合要求。否则某值不同于相等的端点值，因此最大值或最小值之一出现在内部。可在该处应用费马条件。$\square$

中值定理。 在相同的连续与可微条件下，不要求端点值相等，则存在 $c\in(a,b)$ 满足 $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。

从 $f$ 减去割线 $f(a)+[f(b)-f(a)](x-a)/(b-a)$，再应用 Rolle 定理即可。这一证明不假定 $f'$ 连续。推论包括：导数在区间上为零则函数为常数；导数非负则函数不减；区间上 $|f'|\le M$ 则其中各点满足 $|f(y)-f(x)|\le M|y-x|$。不能由一点的导数值推出整个区间上的导数界。

一致连续

定义

整个定义域共用一个 delta

若对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使所有 $x,y\in A$ 只要满足 $|x-y|<\delta$，便有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，则称 $f:A\to\mathbb R$ 在 $A$ 上一致连续。$\delta$ 可依赖 $\varepsilon$，但不可依赖 $x$ 或 $y$。

定理

Heine–Cantor 定理

紧致集合上的每个连续实值函数都一致连续。

证明

用紧致性作反证

若非一致连续，则存在 $\varepsilon_0>0$，使每个 $n$ 都有 $x_n,y_n\in K$，满足 $|x_n-y_n|<1/n$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0$。紧致性给子列 $x_{n_k}\to x\in K$；由两点距离趋零，也有 $y_{n_k}\to x$。连续性给 $f(x_{n_k})\to f(x)$ 及 $f(y_{n_k})\to f(x)$，与输出距离至少为 $\varepsilon_0$ 矛盾。

例题

无界定义域上连续但非一致连续

$f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上连续，但不一致连续。取 $x_n=n$、$y_n=n+1/n$，则 $|x_n-y_n|=1/n\to0$，但 $|f(y_n)-f(x_n)|=2+1/n^2\not\to0$。在任何闭有界区间上，Heine–Cantor 定理却保证一致连续。也可直接证明：若 $|x|,|y|\le M$，则 $|x^2-y^2|\le2M|x-y|$。

学习目标与定义

推导可积性结论背后的证明，并区分有界与可积。设 $a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。对分割 $P:a=x_0<\cdots<x_n=b$，记 $m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f$、$M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f$，并定义 $L(f,P)=\sum m_i\Delta x_i$、$U(f,P)=\sum M_i\Delta x_i$。下积分 $\underline I$ 是所有下和的上确界，上积分 $\overline I$ 是所有上和的下确界。加细分割使下和不减、上和不增。

对任意两个分割 $P,Q$，由其公共加细得 $L(f,P)\le U(f,Q)$，故 $\underline I\le\overline I$。有界性保证这些量有限。上下积分相等时，称函数 Riemann 可积。

定理：Darboux 判据

有界函数可积，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$ 都存在分割，使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

证明。 若上下积分均等于 $I$，由上下确界逼近性质，取一个大于 $I-\varepsilon/2$ 的下和及一个小于 $I+\varepsilon/2$ 的上和。它们的公共加细的上下和之差小于 $\varepsilon$。反之，若对每个正的 $\varepsilon$ 都有这样的分割，则不等式 $0\le\overline I-\underline I\le U(f,P)-L(f,P)$ 迫使上下积分之差为零。

定理：允许有限个不连续点

若 $f$ 有界，且除至多有限个点外处处连续，则它可积。

证明。 设 $|f|\le M$，并取 $M>0$。用有限个小区间围住例外点，将其端点加入分割，使这些区间总长度小于 $\varepsilon/(4M)$；在 $[a,b]$ 的端点处采用单侧区间。它们对上下和之差的贡献至多是总长度的 $2M$ 倍，因而小于 $\varepsilon/2$。剩余的有限个闭区间上，$f$ 连续，故一致连续。将各区间充分加细，使所得每个小区间上的振幅小于 $\varepsilon/[2(b-a)]$，则其上下和差的总贡献小于 $\varepsilon/2$。合并全部分割点，得到小于 $\varepsilon$ 的差。若某例外区间的端点本身是例外点，稍微移动该端点，使实际例外点都在所选区间内部或定义域端点，从而剩余闭区间上仍连续。

连续函数与任意标签的细网格

设 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 连续，其中 $a<b$。极值定理保证 $f$ 有界，Heine–Cantor 定理保证它一致连续。对分割 $P$，用 $L(f,P)$ 和 $U(f,P)$ 表示其 Darboux 下和与上和。已证明的连续函数 Darboux 可积定理给出共同积分值 $I$。

固定 $\varepsilon>0$。由一致连续性，存在 $\delta>0$，使得只要 $|x-y|<\delta$，便有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon/[2(b-a)]$。如果 $P$ 的网格大小小于 $\delta$，每个子区间上的振幅至多为 $\varepsilon/[2(b-a)]$，因此

$$U(f,P)-L(f,P)\le\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.$$

对任意标签选择，其标签和 $S(P)$ 位于 $L(f,P)$ 与 $U(f,P)$ 之间；$I$ 也在两者之间。因此 $|S(P)-I|\le U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。同一个 $\delta$ 对所有网格足够小的分割和所有标签选择都适用。这证明了所述闭区间上连续函数满足标签网格定义。

设 $a<b$，取分割 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，选标签 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，网格为 $\|P\|=\max_i\Delta x_i$。若有限数 $I$ 满足：对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得每个满足 $\|P\|<\delta$ 的分割及任意标签选择都满足 $|\sum_i f(\xi_i)\Delta x_i-I|<\varepsilon$，则 $I$ 是定积分 $\int_a^bf(x)dx$。闭区间上的连续函数可积。

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，令 $A(x)=\int_a^xf(t)dt$。对 $x\in(a,b)$ 及满足 $x+h\in[a,b]$ 的非零 $h$，积分估计给出

$$\left|\frac{A(x+h)-A(x)}h-f(x)\right|\le\sup_{t\in[\min(x,x+h),\max(x,x+h)]}|f(t)-f(x)|\longrightarrow0\quad(h\to0).$$

因此内部有 $A'(x)=f(x)$；端点处同理得到单侧导数。若 $F$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可微且其中 $F'=f$，由中值定理，$F-A$ 在 $[a,b]$ 上为常数。因此 $\int_a^bf=F(b)-F(a)$。

按分量积分与一致连续性

设 $a<b$，且 $r=(r_1,\ldots,r_n):[a,b]\to\mathbb R^n$ 属于 $C^1$，其中 $n\ge1$。连续向量函数的积分按分量定义。对 $a\le u<v\le b$，对每个坐标应用标量微积分基本定理，得

$$\int_u^v r'(t)\,dt=\bigl(r_1(v)-r_1(u),\ldots,r_n(v)-r_n(u)\bigr)=r(v)-r(u).$$

每个 $r_i'$ 在紧区间上连续，因而一致连续。给定 $\eta>0$，选取 $\delta_i>0$，使得 $t,s\in[a,b]$ 且 $|t-s|<\delta_i$ 时有 $|r_i'(t)-r_i'(s)|<\eta/\sqrt n$。取 $\delta=\min_i\delta_i$，则对满足 $|t-s|<\delta$ 的任意此类点，

$$\|r'(t)-r'(s)\|^2=\sum_{i=1}^n|r_i'(t)-r_i'(s)|^2<\eta^2.$$

因此 $r'$ 在欧氏范数下一致连续。即使 $r'$ 为零，上述两项结论仍成立。

1. 先定义长度，再将其化为积分

对于 $r:[a,b]\to\mathbb R^n$，将长度定义为所有有限分割 $a=t_0<\cdots<t_m=b$ 对应折线和 $\sum_i\|r(t_i)-r(t_{i-1})\|$ 的上确界。上确界允许任意精细的折线近似；单一的端点弦通常只是一个下界。

定理：$C^1$ 长度公式

对紧区间上的 $C^1$ 曲线，

$$L(r)=\int_a^b\|r'(t)\|\,dt.$$

上界。 在一个子区间上，向量形式的微积分基本定理给出位移 $d=\int r'(t)dt$。若 $d\ne0$，与其单位方向取点积得到 $\|d\|\le\int\|r'(t)\|dt$；若 $d=0$，该不等式立即成立。对任意分割求和，得到折线长度不超过速率积分。

下界。 $r'$ 的一致连续性表明：对任意 $\eta>0$，足够细的分割使每个子区间上 $\|r'(t)-r'(\xi_i)\|<\eta$，其中 $\xi_i$ 是该子区间的任意选定样本点。因此其位移与 $r'(\xi_i)\Delta t_i$ 之差的向量范数至多为 $\eta\Delta t_i$。反三角不等式给出弦长至少为 $\|r'(\xi_i)\|\Delta t_i-\eta\Delta t_i$。速率本身在子区间上变化至多为 $\eta$，所以其积分与该样本值之差至多为 $\eta\Delta t_i$。求和得折线长度至少为速率积分减去 $2\eta(b-a)$。由于 $\eta$ 可以任意小，上确界达到积分值。这同时证明两个方向，而不是只证明常见的弦长上界。

该公式不需要正则性：$C^1$ 曲线可以停下。将弧长反解作为坐标时，正则性才成为关键。

学习目标与设定

证明局部可逆性，而不只对形式上假定存在的逆映射求导。全程使用欧几里得范数及其诱导的算子范数。设 $U\subseteq\mathbb R^n$ 为开集，$F:U\to\mathbb R^n$ 为 $C^1$，$a\in U$，$b=F(a)$，且 $A=DF(a)$ 可逆。我们将证明存在 $a$ 的开邻域 $W$ 和 $b$ 的开邻域 $V$，使 $F:W\to V$ 成为一个 $C^1$ 双射，其逆映射的导数等于 $[DF]^{-1}$。

引理：闭球上的压缩映射

若映射 $T$ 将非空欧几里得闭球 $B$ 映入自身，并且对固定的 $0\le q<1$ 满足 $\|T(x)-T(y)\|\le q\|x-y\|$，那么它在 $B$ 中有唯一不动点。

证明。 从任意 $x_0\in B$ 出发，定义 $x_{k+1}=T(x_k)$。若 $q=0$，不等式使 $T$ 为常值映射，其值是第一次迭代即达到的唯一不动点。对 $0<q<1$，反复应用压缩条件得到 $\|x_{k+1}-x_k\|\le q^k\|x_1-x_0\|$。对于 $m>k$，对连续差求和得到 $\|x_m-x_k\|$ 的上界 $q^k\|x_1-x_0\|/(1-q)$，所以该数列是柯西列。逐坐标的实数完备性给出 $\mathbb R^n$ 中的极限，而闭性使极限留在 $B$ 中。压缩条件蕴含连续性，所以对 $x_{k+1}=T(x_k)$ 取极限可知极限为不动点。两个不动点之间的距离至多为该距离的 $q$ 倍，只能为零。这一证明也给出到极限的所述几何误差界。

局部逆的存在性与唯一性

由 $DF$ 的连续性，可以选择 $r>0$，使闭球 $B=\overline B(a,r)\subset U$ 且

$$\|I-A^{-1}DF(y)\|\le q=\frac12\quad\text{for all }y\in B.$$

对靠近 $b$ 的目标点 $x$，令 $T_x(y)=y-A^{-1}(F(y)-x)$。它在凸球上的导数范数至多为 $q$。沿线段应用一元微积分基本定理，得到 $\|T_x(y)-T_x(z)\|\le q\|y-z\|$。此外，

$$\|T_x(y)-a\|\le q\|y-a\|+\|A^{-1}(x-b)\|.$$

选取 $V=B(b,\rho)$，其中 $\rho=(1-q)r/(2\|A^{-1}\|)$。当 $x\in V$ 时，第二项小于 $(1-q)r/2$，故 $T_x$ 将 $B$ 映入自身。引理给出唯一的 $y=H(x)\in B$，满足 $F(y)=x$。在 $a$ 处的不动点估计给出

$$\|H(x)-a\|\le\frac{\|A^{-1}(x-b)\|}{1-q}<r/2,$$

所以这些解均为内点。令 $W=B(a,r)\cap F^{-1}(V)$。它是开集，包含 $a$，且 $F:W\to V$ 为双射，因为即使在更大的闭球上解也唯一。

逆映射的连续性与可微性

对 $x,z\in V$ 比较不动点方程：

$$\|H(x)-H(z)\|\le q\|H(x)-H(z)\|+\|A^{-1}\|\|x-z\|.$$

因此 $H$ 是 Lipschitz 映射，常数为 $\|A^{-1}\|/(1-q)$。对 $y\in B$，矩阵 $A^{-1}DF(y)=I-E$ 满足 $\|E\|\le q<1$。收敛的矩阵级数 $\sum_{k=0}^{\infty}E^k$ 是其逆：有限部分和相乘得到 $I-E^{N+1}$，它趋于 $I$。故 $DF(y)$ 在整个 $B$ 上可逆。

固定 $x\in V$，令 $y=H(x)$，并取充分小的增量 $k$，使 $x+k\in V$。设 $h=H(x+k)-H(x)$。由 $F$ 的可微性，$k=DF(y)h+o(\|h\|)$。Lipschitz 估计给出 $\|h\|=O(\|k\|)$，因此解得

$$h=[DF(y)]^{-1}k+o(\|k\|).$$

所以 $DH(x)=[DF(H(x))]^{-1}$。逆矩阵连续变化：伴随矩阵除以行列式的公式在行列式非零处连续。结合 $DF$ 和 $H$ 的连续性，证明 $H$ 是 $C^1$。定理现已证明，包括存在性、唯一性、邻域与正则性。

隐函数作为推论

设 $G:\mathbb R^{p+m}\supset U\to\mathbb R^m$ 为 $C^1$，$G(a,c)=0$，且 $D_yG(a,c)$ 可逆。定义 $\Phi(x,y)=(x,G(x,y))$。其分块导数为

$$D\Phi=\begin{pmatrix}I&0\\D_xG&D_yG\end{pmatrix},$$

它在 $(a,c)$ 处可逆。已证明的逆函数定理给出局部 $C^1$ 逆映射。将邻域缩小为乘积邻域，使求解 $\Phi(x,y)=(x,0)$ 定义唯一的 $y=\varphi(x)$，并包含该乘积邻域内每一个零点。存在性成立后，对恒等式求导得到

$$D\varphi(x)=-[D_yG(x,\varphi(x))]^{-1}D_xG(x,\varphi(x)).$$

解矩阵方程确定了因子的次序，不能颠倒。

2. 重参数化与单位速率

设 $\phi:J\to I$ 是导数非零的 $C^1$ 双射。新曲线 $q(u)=r(\phi(u))$ 的速度向量为 $q'=r'(\phi)\phi'$，速率为 $\|q'\|=v(\phi)|\phi'|$。由连续性，在连通区间内导数若改变符号便必然经过零。正号保持遍历方向，负号反转方向；无论方向如何，计算长度都需要绝对值。

对正则曲线，固定 $t_0$ 并定义 $s(t)=\int_{t_0}^t v(\tau)d\tau$。于是 $s'=v>0$，故 $s$ 严格递增，具有逆函数 $t=t(s)$；其导数在区间内部为 $1/v(t(s))$，在包含的闭端点处按相应单侧导数解释。重参数化曲线 $\gamma(s)=r(t(s))$ 满足

$$\gamma'(s)=\frac{r'(t(s))}{v(t(s))},\qquad\|\gamma'(s)\|=1.$$

在 $t_0$ 之前，$s(t)$ 可以为负；有序参数 $t_1<t_2$ 之间的非负长度是 $s(t_2)-s(t_1)$。带符号坐标与经过的长度相关，却不是同一个概念。

单位切向量 $T=r'/v$ 依赖遍历方向。反向重参数化使对应点处它变成 $-T$，但几何切线不变。

3. 曲率衡量单位长度上的转向

对正则 $C^2$ 曲线，定义曲率 $\kappa=\|dT/ds\|=\|T'(t)\|/v(t)$。由 $T\cdot T=1$ 求导得到 $T\cdot T'=0$，即单位切向量的转向与该切向量垂直。

在 $\mathbb R^3$ 中，对 $r'=vT$ 求导得到 $r''=v'T+vT'$，因此

$$\|r'\times r''\|=\|vT\times(v'T+vT')\|=v^2\|T'\|, \qquad \kappa=\frac{\|r'\times r''\|}{\|r'\|^3}.$$

最后一个等式使用了 $T\perp T'$ 和 $\|T\|=1$。若 $T'=0$，两边都为零；不能除以 $\|T'\|$ 来归一化。主单位法向量 $N=T'/\|T'\|$ 只在曲率为正时有定义。

曲率在上述正则重参数化下不变：新 $T$ 是原 $T$ 乘固定的方向符号，其导数范数多出因子 $|\phi'|$，新速率也多出同一因子，因此比值不变。加速度本身没有这种不变性，因为它还记录参数时钟的变化。

若光滑曲线被走过两次，该积分计入两倍的单次长度。

向量积分按分量进行。微积分基本定理给出 $r(b)-r(a)=\int_a^br'(t)dt$。即使行程长度为正，这个位移向量的范数仍可能为零。例如沿圆周完整走一圈时，位移为零而长度为 $2\pi R$。

例 6：螺旋路径。 对 $r(t)=(\cos t,\sin t,2t)^T$、$0\le t\le2\pi$，速率为 $\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+4}=\sqrt5$。长度为 $2\pi\sqrt5$，位移为 $(0,0,4\pi)^T$。路径还在水平方向绕圈，因此比直线位移长。

6.6 分级练习

基础

1. 对 $x=2t+1,y=t^2$ 消去参数；若 $t\ge0$，保留相应限制。
2. 将 $r(t)=(t,e^{-t},t^3)^T$ 求导两次。
3. 对 $r(t)=(3t,4t)^T$，分别在 $t>0$ 与 $t<0$ 时求速率及距原点距离的导数。

核心

4. 对 $x=t,y=t^3-t$，求 $dy/dx$ 和 $d^2y/dx^2$。
5. 对 $x=t^2,y=t^3$、$t>0$，推导两个直角坐标导数，说明为什么 $y''/x''$ 不是二阶直角坐标导数。
6. 求 $r(t)=(\cos t,\sin t)^T$ 在 $t=\pi/4$ 处的切线。
7. 对 $r(t)=(t,t^2)^T$，求速度、加速度及 $t=1$ 处的速率导数。
8. 求 $r(t)=(2\cos t,2\sin t,3t)^T$ 在 $[0,\pi]$ 上的长度。

综合

9. 若 $\|r(t)\|$ 为非零常数，证明 $r\cdot r'=0$。这是否蕴含 $r'=0$？给出反例。
10. 比较 $[0,2\pi]$ 上的 $r_1(t)=(\cos t,\sin t)$ 与 $[0,2\pi]$ 上的 $r_2(s)=(\cos2s,\sin2s)$；分别求像、速率、位移及按遍历次数计的长度。

6.7 完整解答

1. $t=(x-1)/2$，故 $y=(x-1)^2/4$。若 $t\ge0$，须限制 $x\ge1$；不加限制时，同一个消参后的抛物线包含额外的点。
2. $r'=(1,-e^{-t},3t^2)^T$，$r''=(0,e^{-t},6t)^T$。
3. 速率为五。距离为 $5|t|$，在正时间时导数为五，在负时间时为负五。零点处距离不可微，即使向量路径可微。
4. 由于 $x'=1$，两个导数为 $3t^2-1$ 和 $6t$。
5. 一阶斜率为 $3t^2/(2t)=3t/2$。对 $t$ 求导并除以 $2t$ 得 $3/(4t)$；相比之下 $y''/x''=6t/2=3t$，通常不同。
6. 点为 $(1/\sqrt2,1/\sqrt2)$，切线方向为 $(-1/\sqrt2,1/\sqrt2)$，切线方程可取 $x+y=\sqrt2$。
7. $v=(1,2t)$、$a=(0,2)$，所以在一处的速率导数为 $(1,2)\cdot(0,2)/\sqrt5=4/\sqrt5$。
8. 速率为 $\sqrt{4\sin^2t+4\cos^2t+9}=\sqrt{13}$，长度为 $\pi\sqrt{13}$。
9. 对常数平方范数求导：$0=(r\cdot r)'=2r\cdot r'$。它不蕴含导数为零；单位圆路径的范数恒定而切向速度非零。
10. 两个像都是单位圆。第一个速率为一、遍历一次，位移为零、长度为 $2\pi$；第二个速率为二、遍历两次，位移也为零而长度为 $4\pi$。区间和参数化都重要。

总结与后续联系

参数化既记录像也记录遍历。向量导数按分量计算，并遵循点积、乘积和链式法则。直角坐标斜率公式要求水平导数非零；参数停滞不自动意味着几何曲线奇异。速度、速率、加速度和距原点距离的变化率各不相同。长度计入遍历次数，速度积分给出净位移。