学习目标与准备

本章假设读者熟悉代数、函数及其定义域、弧度，以及初等指数与对数法则。本章用极限将平均变化率转为瞬时变化率。你将学习区分极限与函数值、检查连续性、计算和解释导数，并对隐式工程约束求导。

微积分不仅是改变指数的一组法则。只有适当的斜率极限存在时导数才存在，其单位是输出单位除以输入单位。数学变化率也继承其物理模型的假设与适用范围。

1.1 极限断言什么

$\lim_{x\to a}f(x)=L$ 表示在定义域内取充分接近但不等于 $a$ 的 $x$，可以使 $f(x)$ 任意接近 $L$。形式上，对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使

$$0<|x-a|<\delta\implies |f(x)-L|<\varepsilon.$$

此定义假设 $a$ 是定义域的聚点，并使用该定义域中的输入。函数不必在 $a$ 有定义。当定义域从 $a$ 的两侧都有任意接近 $a$ 的点时，双侧极限存在当且仅当左右极限存在且相等。若定义域只从一侧趋近 $a$，应使用相应单侧或相对定义域的极限，而非要求不存在的另一侧趋近。

例 1：图像中的空点。 对 $x\ne2$，

$$\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.$$

故其在 $2$ 的极限为 $4$，虽然原商在该点无定义。直接验证时，注意它与 $4$ 的差的绝对值为 $|x-2|$；选 $\delta=\varepsilon$ 即证明定义中的蕴含。缺失值和极限值是不同事实。

极限运算法则允许对极限作和、积和商；商法则要求分母极限非零。这些条件解释了为什么对多项式及分母非零处的有理函数可以直接代入。$0/0$ 等符号不是值，也不是答案；它表示不能直接使用商法则。

例 2：有理化。 计算

$$\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}.$$

对接近零且 $h\ne0$ 的 $h$，分子分母乘以共轭式得到 $1/(\sqrt{9+h}+3)$，其极限为 $1/6$。约分只在非零 $h$ 处进行，恰是极限中使用的输入。

$|x|/x$ 在正侧为 $1$、负侧为 $-1$，故其在零的双侧极限不存在。只包含正输入的计算器表格会遗漏这一障碍。

1.2 连续性与可取得的值

定义

相对定义域的连续性

对 $c\in A$，$f:A\to\mathbb R$ 在 $c$ 连续，指对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使 $x\in A$ 且 $|x-c|<\delta$ 蕴含 $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$。在 $A$ 的孤立点，此条件自动成立；在聚点，它等价于极限等于 $f(c)$。

为何实数不只有算术规则

有理数支援熟悉的有序算术，但集合 $\{q\in\mathbb Q:q>0,\ q^2<2\}$ 没有有理数最小上界。实数系统加入完备性：非空有上界集合都有最小上界。这不只是另一条不等式运算规则，而是分析中许多存在性结论的来源。

定义

上界与上确界

对非空 $A\subset\mathbb R$，若每个 $a\in A$ 均满足 $a\le u$，则 $u$ 是上界。若 $s$ 是上界，并对每个上界 $u$ 都有 $s\le u$，则 $s=\sup A$。最大值是既属于 $A$ 又是上界的元素。最大值若存在便是上确界；上确界则不一定属于 $A$。下界、下确界和最小值以反向不等式定义。

定理

完备性公理

每个非空且有上界的实数子集都有实数上确界。等价地，每个非空且有下界的子集都有实数下确界，因为 $\inf A=-\sup(-A)$。

例如 $\sup(0,1)=1$，但 $1$ 不是该集合的最大值；相反，$\sup[0,1]=1$ 且是最大值。依此定义，空集及没有上界的集合没有实数上确界。

定理

上确界近似判据

非空集合 $A$ 的上界 $s$ 是 $\sup A$，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$，存在 $a\in A$ 使 $s-\varepsilon<a\le s$。

证明

证明两个方向

若 $s=\sup A$，但没有元素大于 $s-\varepsilon$，则 $s-\varepsilon$ 是更小的上界，矛盾。反过来，假设 $s$ 是上界且具近似性质。若另一上界 $u<s$，取 $\varepsilon=s-u>0$，近似性质给出 $a>u$，违反 $u$ 是上界。因此 $s$ 是最小上界。

例题

上确界证明的两部分

令 $A=\{n/(n+1):n\in\mathbb N, n\ge1\}$。每个元素小于 $1$，所以 $1$ 是上界。给定 $\varepsilon>0$，由下述阿基米德性质选 $n>1/\varepsilon$。则 $1-n/(n+1)=1/(n+1)<\varepsilon$，故 $\sup A=1$。没有元素等于 $1$，所以 $A$ 没有最大值。只证上界并不足以证明它是最小上界：$2$ 也是上界。

阿基米德性质与稠密性

定理

阿基米德性质

对每个实数 $x$，存在正整数 $n>x$。因此对每个 $\varepsilon>0$，存在 $n\in\mathbb N$ 使 $1/n<\varepsilon$。

证明

完备性迫使整数无上界

若正整数有上界，完备性给 $s=\sup\mathbb N$。因 $s-1$ 不是上界，存在 $n\in\mathbb N$ 满足 $n>s-1$。但 $n+1>s$ 且 $n+1\in\mathbb N$，违反 $s$ 是上界。对 $1/\varepsilon$ 应用该性质即得第二个结论。

任意实数 $x<y$ 之间都有有理数。选 $n$ 使 $n(y-x)>1$；由阿基米德性质及整数部分性质，可选整数 $m$ 使 $nx<m<ny$，因此 $x<m/n<y$。整数部分性质可由整数在正负两方向均无界及自然数良序性得到。$x$ 和 $y$ 之间也有无理数：选有理数 $q$ 使 $x-\sqrt2<q<y-\sqrt2$，则 $q+\sqrt2$ 是位于区间内的无理数。稠密性不表示有理数与无理数集合相同。

例题

以反射求下确界

对 $B=\{2+1/n:n\ge1\}$，所有元素均大于 $2$。给定 $\varepsilon>0$，选 $n>1/\varepsilon$ 可得 $2<2+1/n<2+\varepsilon$。所以 $2$ 是下确界，但不是最小值。最大值为 $3$，由 $n=1$ 取到。

定理

介值定理

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，而 $y$ 位于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，则存在 $c\in[a,b]$ 使 $f(c)=y$。

证明

完备性定位穿越点

若 $y=f(a)$ 或 $y=f(b)$，取相应端点即可。否则，假设 $f(a)<y<f(b)$；反向次序可把 $f$ 换成 $-f$，同时把 $y$ 换成 $-y$。集合 $S=\{x\in[a,b]:f(x)\le y\}$ 非空且有上界。令 $c=\sup S$。若 $f(c)<y$，由连续性，右侧附近点的值仍小于 $y$；因 $c<b$，这违反上界性质。若 $f(c)>y$，连续性使 $c$ 附近值均大于 $y$；上确界近似性质却给出该邻域内一个 $S$ 的元素，矛盾。故 $f(c)=y$。

定理保证存在性，不保证唯一性或根有封闭形式。

例 3：计算前先证存在。 设 $f(x)=x^3+x-1$。它在 $[0,1]$ 上连续，$f(0)=-1$、$f(1)=1$，故 $(0,1)$ 内有根。若 $0\le u<v$，

$$f(v)-f(u)=(v-u)(v^2+uv+u^2+1)>0.$$

因此函数在该处严格递增，根唯一。连续性与单调性承担不同任务。

1.3 导数作为斜率的极限

内点 $a$ 处的导数定义为

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h,$$

前提是该有限极限存在。商是在宽度为 $h$ 的区间上的割线斜率；极限是切线斜率与瞬时变化率。

例 4：由位置模型求速度。 假设时间 $t\ge0$ 以秒计，位置为 $s(t)=2t^2+3t$ 米。在内点时间 $t>0$，

$$\frac{s(t+h)-s(t)}h=4t+2h+3,$$

故 $s'(t)=4t+3$ 米每秒。$t=2$ 时瞬时速度为 $11$ m/s。从 $2$ 到 $2+h$ 的平均速度为 $11+2h$，趋近 $11$。在端点 $t=0$，除非明确将模型延拓到负时间，否则它只提供右导数。

可微蕴含连续。写成

$$f(a+h)-f(a)=h\frac{f(a+h)-f(a)}h.$$

若商有有限极限，乘积趋于零。反过来不成立：$|x|$ 在零连续，但单侧差商为 $-1$ 和 $1$，故在那里没有导数。

1.4 求导法则及乘积为何需要两项

在相关导数存在的点，

$$\begin{aligned}(f+g)'&=f'+g',\\(cf)'&=cf',\\(fg)'&=f'g+fg',\\\left(\frac fg\right)'&=\frac{f'g-fg'}{g^2}\quad(g\ne0),\\(f\circ g)'(x)&=f'(g(x))g'(x).\end{aligned}$$

对乘积法则，在乘积差中加上并减去 $f(a+h)g(a)$，商变为

$$f(a+h)\frac{g(a+h)-g(a)}h+g(a)\frac{f(a+h)-f(a)}h.$$

利用 $f$ 在 $a$ 的连续性并取极限。该推导解释了为何分别对两个因子求导再将答案相乘是错误的。

常用初等导数包括

$$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1},\quad (e^x)'=e^x,\quad(\ln x)'=\frac1x\ (x>0),\quad(\sin x)'=\cos x,\quad(\cos x)'=-\sin x.$$

三角公式使用弧度。一般实数幂需要适当的实定义域；例如 $x^{1/2}$ 的法则适用于 $x>0$，不适用于零点的有限导数。

以下讨论实单变量函数。

1. 链式与商法则

设 $g$ 在内点 $a$ 可微，$f$ 在 $g(a)$ 的邻域有定义且在该点可微，则 $f\circ g$ 在 $a$ 可微，且

$$(f\circ g)'(a)=f'(g(a))g'(a).$$

证明。 由 $f$ 的可微性，$f(g(a)+u)-f(g(a))=f'(g(a))u+u\epsilon(u)$，其中 $u\to0$ 时 $\epsilon(u)\to0$，并令 $\epsilon(0)=0$。取 $u=g(a+h)-g(a)$。$g$ 的可微性保证 $u\to0$、$u/h\to g'(a)$。故差商为 $(f'(g(a))+\epsilon(u))(u/h)$，趋于所述乘积。某些非零 $h$ 可能使 $u=0$，此证明仍适用；不能直接除以 $u$。

若 $f,g$ 在 $a$ 可微且 $g(a)\ne0$，则

$$\left(\frac fg\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}.$$

因为 $g$ 连续，它在 $a$ 附近非零。倒数的差商为 $-[g(a+h)-g(a)]/[h g(a+h)g(a)]$，极限为 $-g'(a)/g(a)^2$；对 $f(1/g)$ 应用乘积法则即得。

例。 对所有实数 $x$，$F(x)=\log(1+x^2)$ 可微，因为 $1+x^2>0$；链式法则给出 $F'(x)=2x/(1+x^2)$。

例 5：复合响应。 令

$$v(t)=e^{-2t}\sin(3t).$$

乘积法则与链式法则给出

$$v'(t)=e^{-2t}\bigl(3\cos(3t)-2\sin(3t)\bigr).$$

这里有两个独立贡献：包络改变，振荡因子也改变。数值系数须使用相容的时间单位，使指数和三角函数的自变量无量纲。

1.5 隐式约束与相关变化率

输入和输出有时通过方程而非显式公式联系。若 $y=y(x)$ 可微且 $x^2+y^2=25$，链式法则给出 $2x+2yy'=0$。在 $y\ne0$ 的点，

$$y'=-x/y.$$

只有满足该条件才能除以 $y$。在 $(5,0)$，公式失效，反映圆的垂直切线，而不是允许除以零。

例 6：圆锥容器。 水占据的圆锥满足半径与深度关系 $r=h/2$。假设注水期间该几何关系保持成立，则

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac\pi{12}h^3.$$

对时间求导得到 $dV/dt=(\pi/4)h^2\,dh/dt$。若流入速率为 $2$ m$^3$/min、深度为 $2$ m，则 $dh/dt=2/\pi$ m/min。变化的表面积解释了为什么恒定体积流入不意味着深度恒速增长。

解决相关变化率问题时，先写出几何或守恒方程，再辨认随时间变化的量，求导后才代入指定时刻。若在求导前代入 $h=2$ 这样的暂时值，可能错误地将变化变量变成常数。

1.6 微分与受控的局部近似

可微意味着

$$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+r(h),\qquad r(h)/h\to0.$$

微分 $df=f'(a)h$ 是变化的线性部分。它近似有限变化 $\Delta f$，但一般不等于后者。

对 $f(x)=x^2$，精确变化为 $2ah+h^2$；线性预测为 $2ah$，省略项为 $h^2$。当 $a=10$、$h=0.01$，预测为 $0.2$，精确变化为 $0.2001$。明确余项比只说变化“很小”更能说明精确度。

1.7 分层练习

基础

1. 求 $\lim_{x\to3}(x^2-9)/(x-3)$，并说明该商在 $3$ 是否有定义。
2. 用有理化求 $\lim_{h\to0}(\sqrt{4+h}-2)/h$。
3. 对 $x<2$ 设 $f(x)=x+1$、$f(2)=c$、对 $x>2$ 设 $f(x)=2x-1$，求使其在 $2$ 连续的 $c$。
4. 从定义对 $f(x)=3x^2-x$ 求导。

核心

5. 对 $y=(t^2+1)e^{-t}$ 求导。
6. 对 $y=\ln(1+x^2)$ 求导并写出实定义域。
7. 若 $x^2+xy+y^2=7$ 且 $y$ 在 $(1,2)$ 附近可微，求该点的 $dy/dx$。
8. 球形气球半径为 $r$ 厘米、体积为 $4\pi r^3/3$。若体积以 $12\pi$ cm$^3$/s 增长，求 $r=3$ cm 时的 $dr/dt$。

综合

9. 不使用数值求根器，证明 $x^3+2x-2=0$ 在 $[0,1]$ 内恰有一个根。分别说明存在性和唯一性论证。
10. 令 $f(x)=1/x$、$a>0$。导出 $f(a+h)$ 的线性近似，证明当 $a+h\ne0$ 时其精确误差为 $h^2/[a^2(a+h)]$。若 $|h|\le a/2$，证明误差至多为 $2h^2/a^3$。

1.8 详解

1. 对 $x\ne3$，分解并约分得到 $x+3$，极限为 $6$。原商在 $3$ 无定义。
2. 对接近零的非零 $h$，商等于 $1/(\sqrt{4+h}+2)$，极限为 $1/4$。
3. 两个单侧极限均为 $3$。令 $c=3$，函数值与共同极限相等，故连续。
4. $[3(x+h)^2-(x+h)-(3x^2-x)]/h=6x+3h-1$。令 $h\to0$ 得 $f'(x)=6x-1$。
5. $y'=2te^{-t}-(t^2+1)e^{-t}=e^{-t}(-t^2+2t-1)$。
6. 对每个实数 $x$，真数 $1+x^2$ 为正，故定义域为 $\mathbb R$。链式法则给出 $y'=2x/(1+x^2)$。
7. 求导得 $2x+y+xy'+2yy'=0$，故分母非零时 $y'=-(2x+y)/(x+2y)$。在 $(1,2)$ 处为 $-4/5$。该点满足约束，因为 $1+2+4=7$。
8. $dV/dt=4\pi r^2dr/dt$。在 $r=3$，$12\pi=36\pi\,dr/dt$，故 $dr/dt=1/3$ cm/s。
9. 多项式连续，在 $0$ 处为 $-2$、在 $1$ 处为 $1$，中间值定理给出 $(0,1)$ 中的根。若 $0\le u<v\le1$，差为 $(v-u)(v^2+uv+u^2+2)>0$。严格递增至多允许一个根；两者结合得恰有一个根。
10. $a$ 处导数为 $-1/a^2$，线性近似为 $1/a-h/a^2$。从 $1/(a+h)$ 减去近似值并通分，得到 $h^2/[a^2(a+h)]$。若 $|h|\le a/2$，分母因子 $a+h\ge a/2$，故非负误差至多为 $2h^2/a^3$。

总结与后续联系

极限关注附近输入；连续性还关注该点的函数值。导数是内点处双侧斜率极限，可微蕴含连续。乘积、商和链式法则保持复合模型的结构。隐式求导与相关变化率取决于对变化量的明确假设。微分是一阶近似，其误差必须理解。

先修联系。 定义域代数和三角学支持极限计算；本章支持曲线分析、平均值及泰勒估计、数值方法和积分。

扇形面积与弧度

使用以下初等几何事实：单位圆的周长是 $2\pi$，围成的面积是 $\pi$，两式中的 $\pi$ 相同；平面面积在旋转下不变，对内部互不相交的区域有限可加，并且关于包含关系单调。

设 $0<h<\pi/2$ 以弧度计，令 $t=h/(2\pi)$。在单位圆上，$h$ 就是弧长，因此 $t$ 是该角所对应的弧长占整圆周长的比例。将圆分成 $n$ 个等角扇形。旋转把每个扇形移到下一个，所以各扇形面积相等。它们的内部互不相交，合起来填满圆盘；有限可加性给出每个扇形面积为 $\pi/n$。因此，当整周比例 $t=m/n$ 为有理数时，扇形面积为 $m\pi/n=\pi t=h/2$。

对这个范围内任意的 $t$，取满足 $0\le r_k\le t\le s_k\le1$ 且 $r_k,s_k\to t$ 的有理数。取所有扇形以同一射线为起始边，相应扇形便按包含关系嵌套，由面积单调性及有理数情形得到

$$\pi r_k\le A(h)\le\pi s_k.$$

令 $k\to\infty$，得 $A(h)=\pi t=h/2$。这就证明了几何比较中使用的扇形面积公式。

9.5 基本三角极限

本节所有极限使用弧度。对 $0<h<\pi/2$，比较内三角形、单位圆扇形与外切线三角形的面积：

$$\tfrac12\sin h<\tfrac12h<\tfrac12\tan h.$$

扇形面积是 $h/2$，正因为 $h$ 使用弧度。两边相除并利用余弦为正，得到

$$\cos h<\frac{\sin h}{h}<1.$$

对 $0<h<\pi/2$，上面的面积比较也给出 $0<\sin h<h$ 且 $\cos h>0$。利用 $\sin^2 h+\cos^2 h=1$，

$$0\le 1-\cos h=\frac{\sin^2 h}{1+\cos h}\le h^2.$$

因此 $h\to0^+$ 时 $\cos h\to1$。由于余弦是偶函数，左侧也有相同极限。

当 $h\to0^+$，余弦趋于一，夹逼原理给出 $\sin h/h\to1$。该商是 $h$ 的偶函数，故左极限相同。夹逼原理本身来自有限极限定义：若上下函数都在任意指定容许误差内接近 $L$，夹在中间的数也如此。

两个推论为

$$\lim_{h\to0}\frac{\tan h}{h}=1,\qquad \lim_{h\to0}\frac{1-\cos h}{h^2}=\frac12.$$

第一个将 $\sin h/h$ 除以 $\cos h$；第二个使用 $1-\cos h=2\sin^2(h/2)$，得到 $[\sin(h/2)/(h/2)]^2$ 的一半。特别地 $(\cos h-1)/h\to0$。

10.1 第一原理：方法而非背诵的表

对在 $a$ 的邻域中有定义的 $f$，

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h,$$

前提是极限作为实数存在。分子必须比较同一函数在两个输入处的值；将 $h=0$ 代入原商绝不是此方法。

对正整数 $n$，有限二项式定理给出

$$(a+h)^n=a^n+na^{n-1}h+\sum_{k=2}^{n}\binom nk a^{n-k}h^k.$$

减去 $a^n$ 并除以非零 $h$，剩余和趋于零，故 $(x^n)'=nx^{n-1}$。该证明也适用于 $a=0$；当 $n=1$ 和为空。常数情形直接检查，负整数次幂在 $x\ne0$ 上由倒数得到。

例 1——从差商求倒数导数。 对 $a\ne0$，

$$\frac{1/(a+h)-1/a}{h}=-\frac1{a(a+h)}\longrightarrow-\frac1{a^2}.$$

当 $h$ 充分小时 $a+h\ne0$，故每步都有定义。对 $f(x)=|x|$ 在零处，差商为 $|h|/h$，单侧极限为 $-1,1$；连续性不能使其可微。

10.2 正弦和余弦导数

首先说明复角公式。将平面旋转角 $\beta$，水平单位向量被送至 $(\cos\beta,\sin\beta)$，竖直单位向量送至 $(-\sin\beta,\cos\beta)$。旋转保持向量加法和实数倍，所以单位向量 $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ 被送至

$$(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, \cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta).$$

新角为 $\alpha+\beta$；比较坐标证明两个加法公式。以 $-\beta$ 替代 $\beta$ 或取 $\beta=\alpha$，得到具有相同符号约定的差角和倍角公式。这是坐标推导，不是从数值角例子推断。

现在使用正弦加法公式写成

$$\frac{\sin(a+h)-\sin a}{h} =\sin a\frac{\cos h-1}{h}+\cos a\frac{\sin h}{h}.$$

第 9 章的两个特殊极限使其趋于 $\cos a$。同理，

$$\frac{\cos(a+h)-\cos a}{h} =\cos a\frac{\cos h-1}{h}-\sin a\frac{\sin h}{h}\longrightarrow-\sin a.$$

故对每个实输入，$(\sin x)'=\cos x$、$(\cos x)'=-\sin x$。商法则继而给出

$$(\tan x)'=\sec^2x\quad(\cos x\ne0),\qquad (\cot x)'=-\csc^2x\quad(\sin x\ne0).$$

例如正切的分子是 $\cos^2x+\sin^2x=1$，不是 $\cos^2x-\sin^2x$。倒数也给出各自定义域上的 $(\sec x)'=\sec x\tan x$ 和 $(\csc x)'=-\csc x\cot x$。

若 $d$ 是以度计的数值角，其正弦为 $s(d)=\sin(\pi d/180)$，因此 $s'(d)=(\pi/180)\cos(\pi d/180)$，而不只是余弦。弧度约定使换算因子消失。

学习目标与定义

推导可积性结论背后的证明，并区分有界与可积。设 $a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。对分割 $P:a=x_0<\cdots<x_n=b$，记 $m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f$、$M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f$，并定义 $L(f,P)=\sum m_i\Delta x_i$、$U(f,P)=\sum M_i\Delta x_i$。下积分 $\underline I$ 是所有下和的上确界，上积分 $\overline I$ 是所有上和的下确界。加细分割使下和不减、上和不增。

对任意两个分割 $P,Q$，由其公共加细得 $L(f,P)\le U(f,Q)$，故 $\underline I\le\overline I$。有界性保证这些量有限。上下积分相等时，称函数 Riemann 可积。

定理：Darboux 判据

有界函数可积，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$ 都存在分割，使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

证明。 若上下积分均等于 $I$，由上下确界逼近性质，取一个大于 $I-\varepsilon/2$ 的下和及一个小于 $I+\varepsilon/2$ 的上和。它们的公共加细的上下和之差小于 $\varepsilon$。反之，若对每个正的 $\varepsilon$ 都有这样的分割，则不等式 $0\le\overline I-\underline I\le U(f,P)-L(f,P)$ 迫使上下积分之差为零。

定理：有界单调函数可积

对非递减函数 $f$，取由 $n$ 个小区间组成、宽度为 $(b-a)/n$ 的均匀分割。第 $i$ 个区间上的下确界与上确界分别是两端点处的值，因此

$$U-L=\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n[f(x_i)-f(x_{i-1})] =\frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}\longrightarrow0.$$

即使 $f$ 有跳跃不连续点，判据仍证明其可积。对非递增函数，可将结果应用于 $-f$。

有界常义黎曼积分：网格等价及基本性质

设有限实数 $a<b$，且 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 有界。对分割 $P$，以下用 $L(f,P),U(f,P)$ 表示 Darboux 下和、上和。使用实数完备性及已证明的 Darboux 判据：上下积分相等当且仅当 $U-L$ 可任意小。本段不要求 $f$ 连续。

Darboux 推出所有细网格标签和收敛。 设 Darboux 积分为 $I$。给定 $\varepsilon>0$，固定一个分割 $P_0$，其差小于 $\varepsilon/2$。取 $M>0$ 使 $|f|\le M$，设 $P_0$ 有 $k$ 个内部分点。对任意另一分割 $P$，将闭包包含这些分点之一的小区间标为坏区间。每个分点至多属于两个小区间，所以坏区间总长至多 $2k\|P\|$。其余好区间均位于某个 $P_0$ 小区间内。好区间的振幅和贡献不超过 $P_0$ 的差，坏区间贡献至多 $2M(2k\|P\|)$。因此

$$U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon/2+4Mk\|P\|.$$

取 $\|P\|<\varepsilon/[8M\max(1,k)]$。每个标签和 $S(P)$ 与 $I$ 均在 $L(f,P),U(f,P)$ 之间，故 $|S(P)-I|<\varepsilon$，且与标签选择无关。

反方向。 假设所有充分细标签和都与同一有限数 $I$ 相差小于 $\eta$。固定一个这样的细分割。每个小区间的上确界、下确界都能由实际函数值以小于 $\eta/(b-a)$ 的误差逼近。由此选出的上逼近标签和大于 $U(f,P)-\eta$，下逼近和小于 $L(f,P)+\eta$，所以 $U(f,P)<I+2\eta$、$L(f,P)>I-2\eta$。由于 $\eta$ 可任意小，由 Darboux 判据可积。再用下和、上和夹住标签和，得积分恰为 $I$。这个论证不需要上下确界达到。

线性、常数与保序。 对可积的 $f,g$ 及实数 $\alpha,\beta$，在共同标签分割上有精确有限恒等式 $S(\alpha f+\beta g)=\alpha S(f)+\beta S(g)$。右侧极限存在，由刚证明的等价性，左侧函数可积且积分满足线性恒等式。常数函数 $c$ 的每个和均为 $c(b-a)$。若 $f\le g$，同标签的和保持该次序，极限也保持。故当 $|f|\le M$ 时，$|\int f|\le M(b-a)$。

绝对值。 由反三角不等式，在每个小区间 $J$ 上有 $\operatorname{osc}_J|f|\le\operatorname{osc}_J f$：将 $||f(x)|-|f(y)||\le|f(x)-f(y)|$ 应用于实际点，再逼近上下确界即可。因此 $|f|$ 的每个 Darboux 差不超过 $f$ 的差，故 $|f|$ 可积。由于 $-|f|\le f\le|f|$，由保序与线性得 $|\int_a^b f|\le\int_a^b|f|$。

限制与区间可加性。 对 $a<c<b$，将任意小差分割加上分点 $c$。$[a,c]$ 与 $[c,b]$ 的非负差之和为加细后整段的差，所以各自都可任意小，两段限制均可积。将两段网格趋零的分割接合，整段标签和精确等于两段标签和之和。取三个极限，得 $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$。反之，若两段有界可积，各选差小于 $\varepsilon/2$ 的分割并接合，整段差小于 $\varepsilon$，证明整段可积及同一恒等式。共享端点的函数值相同；任何单独端点都没有正的区间长度。规定同限积分为零、反限积分取负，再用区间拆分与相消，便把可加性推广到三个端点的每种次序。

这些证明支持累积、连续版本基本定理、分部积分和常义换元中使用的估计。这里只证明有界常义黎曼结论；奇点或无穷端点的积分仍需另行使用收敛定义。

从常义面积对数建立自然指数

使用有限闭区间上连续函数的常义积分、已证明的可加性／保序／线性、实数完备性及阿基米德性质，以及介值定理。定义

$$L(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}\qquad(x>0),$$

上下限按方向理解。每个积分都是常义积分，因为其区间与零保持正距离。

连续且严格递增。 若 $0<u<v$，可加性与保序性给 $L(v)-L(u)=\int_u^vdt/t\ge(v-u)/v>0$。在固定 $a>0$ 附近要求 $x>a/2$，便有 $|L(x)-L(a)|\le(2/a)|x-a|$，无需对数导数即证连续。

由实际和式证明乘法公式。 固定 $u>0$，将 $1$ 与 $v>0$ 之间的带标签分割放大 $u$ 倍，网格与各宽度均乘 $u$，对应和满足

$$\sum_i\frac{u\Delta s_i}{u\xi_i}=\sum_i\frac{\Delta s_i}{\xi_i}.$$

两边都是连续常义被积函数的和，故所有细网格的极限相等。$v<1$ 时反转方向；$v=1$ 时直接为零。因此 $\int_u^{uv}dt/t=L(v)$，得到

$$L(uv)=L(u)+L(v).$$

特别地，$L(1)=0$、$L(1/u)=-L(u)$、$L(2^n)=nL(2)$。由于 $L(2)>0$，由阿基米德性质，后者无上界；倒数处的值无下界。给定实数 $y$，选正参数使 $L$ 分别低于、高于 $y$，由连续性及介值定理存在 $x>0$ 满足 $L(x)=y$；严格递增保证唯一。

建立并控制反函数。 定义 $E:\mathbb R\to(0,\infty)$ 为这个反函数，它严格递增且连续。证明 $y_0=L(a)$ 处连续时，取 $0<d<\min(a,\varepsilon)$。$L(a-d)<y_0<L(a+d)$ 有正的两侧间距。令 $|y-y_0|$ 小于两个间距，单调性迫使 $a-d<E(y)<a+d$，从而 $|E(y)-a|<\varepsilon$。乘法公式及唯一性给 $E(s+t)=E(s)E(t)$、$E(0)=1$、$E(-t)=1/E(t)$。定义 $e=E(1)>1$，并对 $a>0$ 定义 $a^t=E(tL(a))$。由 $L(E(z))=z$ 可得 $a^{s+t}=a^sa^t$ 和 $(a^s)^t=a^{st}$。整数指数等于重复相乘；有理指数 $m/n$（$n>0$）给出 $a^m$ 唯一的正 $n$ 次根。因此与初等正底数有理幂一致，并给出其连续实指数延拓。特别地 $E(t)=e^t$，面积对数就是其反函数 $\ln=L$。

无循环的导数证明。 对 $a>0$，在 $a$ 与 $a+h$ 之间的区间上，保留 $h$ 的符号与积分方向，$1/t$ 的平均值位于其最小、最大值之间；这两个界均趋于 $1/a$，所以

$$\frac{L(a+h)-L(a)}h\longrightarrow\frac1a.$$

对 $y_0=L(a)$ 和 $h\ne0$，令 $v=E(y_0+h)\ne a$。反函数连续性给 $v\to a$，并有

$$\frac{E(y_0+h)-E(y_0)}h =\left(\frac{L(v)-L(a)}{v-a}\right)^{-1}\longrightarrow a=E(y_0).$$

分母极限非零，故取倒数有效。这从常义面积与反函数连续性证明 $L'=1/x$、$E'=E$，没有洛必达法则，也不预设指数导数。链式法则再由 $x^r=E(rL(x))$ 得 $x>0$ 上 $(x^r)'=rx^{r-1}$，并对 $b>0$ 得 $(b^x)'=(\ln b)b^x$。$b=1$ 是常数一。这补上面积对数、反函数指数与实数幂记号之间的规范化及身份联系。

连续单调反函数与主值分支

设 $I$ 为实区间，$f:I\to\mathbb R$ 连续且严格单调。像集 $J=f(I)$ 是区间：两个像值之间的每个值，都由介值定理在相应原像之间取得。严格单调性使 $f:I\to J$ 成为双射。其反函数相对于 $J$ 连续。固定 $a\in I$ 及 $\varepsilon>0$。若 $I$ 有小于 $a$ 的点，利用区间性质选 $l\in I$ 使 $a-\varepsilon<l<a$；若没有，则所有反函数值本来就不小于 $a$。类似地，若有大于 $a$ 的点，选 $a<r<a+\varepsilon$ 且 $r\in I$。对实际存在的两侧，正数 $|f(l)-f(a)|$、$|f(r)-f(a)|$ 的最小值为正，记为 $\delta$。若两侧均不存在，则 $I=\{a\}$，连续性直接成立。若 $y\in J$ 且 $|y-f(a)|<\delta$，单调性在每个实际存在的方向把 $f^{-1}(y)$ 夹在所选界点内。因此 $|f^{-1}(y)-a|<\varepsilon$。此证明适用于严格递增、严格递减及包含的端点。

若 $a$ 是 $I$ 的内点，$f$ 在 $a$ 可微且 $f'(a)\ne0$，则连续性和严格单调性使像集在 $b=f(a)$ 周围包含开区间。对其中 $y\ne b$，令 $x=f^{-1}(y)$。单射性给出 $x\ne a$，反函数连续性给出 $x\to a$，故

$$\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b} =\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)^{-1}\longrightarrow\frac1{f'(a)}.$$

非零极限保证取倒数合法，也证明反函数导数确实存在。一旦区间上的严格单调性已经建立，这里不要求导数连续。

若 $-\pi/2\le u<v\le\pi/2$，加法公式给出 $\sin v-\sin u=2\cos((u+v)/2)\sin((v-u)/2)>0$：中点严格位于 $(-\pi/2,\pi/2)$ 内，且 $0<(v-u)/2\le\pi/2$。所以正弦在该闭区间上严格递增；端点值为 $-1,1$。若 $0\le u<v\le\pi$，则 $\cos v-\cos u=-2\sin((u+v)/2)\sin((v-u)/2)<0$，因为两个正弦因子均为正。因此余弦在 $[0,\pi]$ 上严格递减；端点值为 $1,-1$。因此两者的连续主值反函数定义域均为 $[-1,1]$，值域分别为 $[-\pi/2,\pi/2]$ 和 $[0,\pi]$。正切在 $(-\pi/2,\pi/2)$ 上连续且严格递增：对其中 $u<v$，有 $\tan v-\tan u=\sin(v-u)/(\cos u\cos v)>0$，因为 $0<v-u<\pi$，且两个余弦因子均为正。从区间内部趋近两端时，正弦分别趋于 $-1,1$，余弦则从正值趋于零，所以正切分别趋于 $-\infty,+\infty$。介值定理说明其值域为 $\mathbb R$，并有取值于该开区间的连续反函数。因此上述反函数差商适用于三个主值分支的每个内部输入。下面公式中的正平方根，来自反正弦内部值域上余弦为正，以及反余弦内部值域上正弦为正。

10.5 反三角函数导数

假设连续严格单调的 $f$ 有连续局部反函数且 $f'(a)\ne0$。写 $y=f(x)$、$b=f(a)$。当 $y\ne b$，由单射知 $x\ne a$，且

$$\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b} =\frac{x-a}{f(x)-f(a)}\longrightarrow\frac1{f'(a)}.$$

反函数连续性保证 $y\to b$ 时 $x\to a$。这证明反函数导数，而不是先假设其可微，再在链式法则中循环使用。

对 $y=\arcsin x$，值域限制 $-\pi/2\le y\le\pi/2$ 使内部余弦为正。因此对 $|x|<1$，

$$(\arcsin x)'=\frac1{\cos y}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}.$$

对反余弦，$0<y<\pi$ 使正弦为正，故在 $(-1,1)$ 上 $(\arccos x)'=-1/\sqrt{1-x^2}$。对反正切，$y\in(-\pi/2,\pi/2)$ 且 $\sec^2y=1+x^2$，故对每个实数 $x$ 有 $(\arctan x)'=1/(1+x^2)$。

反正弦和反余弦公式不能有限地延拓到输入 $\pm1$；它们是定义域端点，内部斜率无界。对 $H(x)=\arcsin(2x)$，函数定义域为 $[-1/2,1/2]$，有限导数公式 $2/\sqrt{1-4x^2}$ 只适用于 $(-1/2,1/2)$。