学习目标与准备
本章假设读者熟悉第 1 章的导数定义和法则、连续性，以及以弧度表示的基本三角函数。我们解释导数信息如何控制整个图像或优化问题，并提供有明确假设的未定型极限技巧。导数符号或驻点计算只支持特定结论，不能代替检查假设。
2.1 平均值定理连接局部与区间信息
为何实数不只有算术规则
有理数支援熟悉的有序算术，但集合 { q ∈ Q : q > 0 , q 2 < 2 } \{q\in\mathbb Q:q>0,\ q^2<2\} { q ∈ Q : q > 0 , q 2 < 2 }
定义
上界与上确界 对非空 A ⊂ R A\subset\mathbb R A ⊂ R a ∈ A a\in A a ∈ A a ≤ u a\le u a ≤ u u u u s s s u u u s ≤ u s\le u s ≤ u s = sup A s=\sup A s = sup A A A A A A A
定理
完备性公理 每个非空且有上界的实数子集都有实数上确界。等价地，每个非空且有下界的子集都有实数下确界，因为 inf A = − sup ( − A ) \inf A=-\sup(-A) inf A = − sup ( − A )
例如 sup ( 0 , 1 ) = 1 \sup(0,1)=1 sup ( 0 , 1 ) = 1 1 1 1 sup [ 0 , 1 ] = 1 \sup[0,1]=1 sup [ 0 , 1 ] = 1
定理
上确界近似判据 非空集合 A A A s s s sup A \sup A sup A ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 a ∈ A a\in A a ∈ A s − ε < a ≤ s s-\varepsilon<a\le s s − ε < a ≤ s
证明
证明两个方向 若 s = sup A s=\sup A s = sup A s − ε s-\varepsilon s − ε s − ε s-\varepsilon s − ε s s s u < s u<s u < s ε = s − u > 0 \varepsilon=s-u>0 ε = s − u > 0 a > u a>u a > u u u u s s s
例题
上确界证明的两部分 令 A = { n / ( n + 1 ) : n ∈ N , n ≥ 1 } A=\{n/(n+1):n\in\mathbb N, n\ge1\} A = { n / ( n + 1 ) : n ∈ N , n ≥ 1 } 1 1 1 1 1 1 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 n > 1 / ε n>1/\varepsilon n > 1/ ε 1 − n / ( n + 1 ) = 1 / ( n + 1 ) < ε 1-n/(n+1)=1/(n+1)<\varepsilon 1 − n / ( n + 1 ) = 1/ ( n + 1 ) < ε sup A = 1 \sup A=1 sup A = 1 1 1 1 A A A 2 2 2
阿基米德性质与稠密性
定理
阿基米德性质 对每个实数 x x x n > x n>x n > x ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 n ∈ N n\in\mathbb N n ∈ N 1 / n < ε 1/n<\varepsilon 1/ n < ε
证明
完备性迫使整数无上界 若正整数有上界，完备性给 s = sup N s=\sup\mathbb N s = sup N s − 1 s-1 s − 1 n ∈ N n\in\mathbb N n ∈ N n > s − 1 n>s-1 n > s − 1 n + 1 > s n+1>s n + 1 > s n + 1 ∈ N n+1\in\mathbb N n + 1 ∈ N s s s 1 / ε 1/\varepsilon 1/ ε
任意实数 x < y x<y x < y n n n n ( y − x ) > 1 n(y-x)>1 n ( y − x ) > 1 m m m n x < m < n y nx<m<ny n x < m < n y x < m / n < y x<m/n<y x < m / n < y x x x y y y q q q x − 2 < q < y − 2 x-\sqrt2<q<y-\sqrt2 x − 2 < q < y − 2 q + 2 q+\sqrt2 q + 2
例题
以反射求下确界 对 B = { 2 + 1 / n : n ≥ 1 } B=\{2+1/n:n\ge1\} B = { 2 + 1/ n : n ≥ 1 } 2 2 2 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 n > 1 / ε n>1/\varepsilon n > 1/ ε 2 < 2 + 1 / n < 2 + ε 2<2+1/n<2+\varepsilon 2 < 2 + 1/ n < 2 + ε 2 2 2 3 3 3 n = 1 n=1 n = 1
收敛中的量词
定义
实数数列的收敛 数列 ( x n ) (x_n) ( x n ) L ∈ R L\in\mathbb R L ∈ R ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 N ∈ N N\in\mathbb N N ∈ N n ≥ N n\ge N n ≥ N ∣ x n − L ∣ < ε |x_n-L|<\varepsilon ∣ x n − L ∣ < ε x n → L x_n\to L x n → L N N N ε \varepsilon ε
「收敛至 L L L ε 0 > 0 \varepsilon_0>0 ε 0 > 0 N N N n ≥ N n\ge N n ≥ N ∣ x n − L ∣ ≥ ε 0 |x_n-L|\ge\varepsilon_0 ∣ x n − L ∣ ≥ ε 0
例题
构造 epsilon–N 证明 对 x n = ( 3 n + 1 ) / ( n + 2 ) x_n=(3n+1)/(n+2) x n = ( 3 n + 1 ) / ( n + 2 ) L = 3 L=3 L = 3
∣ 3 n + 1 n + 2 − 3 ∣ = 5 n + 2 < 5 n , \left|\frac{3n+1}{n+2}-3\right|=\frac5{n+2}<\frac5n, n + 2 3 n + 1 − 3 = n + 2 5 < n 5 , 选 N > 5 / ε N>5/\varepsilon N > 5/ ε n ≥ N n\ge N n ≥ N ∣ x n − 3 ∣ < ε |x_n-3|<\varepsilon ∣ x n − 3∣ < ε
定理
唯一性、有界性及极限定律 收敛实数数列的极限唯一，且数列有界。若 x n → x x_n\to x x n → x y n → y y_n\to y y n → y x n + y n → x + y x_n+y_n\to x+y x n + y n → x + y x n y n → x y x_ny_n\to xy x n y n → x y y ≠ 0 y\ne0 y = 0 x n / y n → x / y x_n/y_n\to x/y x n / y n → x / y x n ≤ z n ≤ y n x_n\le z_n\le y_n x n ≤ z n ≤ y n L L L z n → L z_n\to L z n → L
证明
唯一性与有界性 若 x n → L x_n\to L x n → L x n → M x_n\to M x n → M ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ∣ x n − L ∣ < ε / 2 |x_n-L|<\varepsilon/2 ∣ x n − L ∣ < ε /2 ∣ x n − M ∣ < ε / 2 |x_n-M|<\varepsilon/2 ∣ x n − M ∣ < ε /2 ∣ L − M ∣ < ε |L-M|<\varepsilon ∣ L − M ∣ < ε ε \varepsilon ε L = M L=M L = M N N N n ≥ N n\ge N n ≥ N ∣ x n − L ∣ < 1 |x_n-L|<1 ∣ x n − L ∣ < 1 ∣ x n ∣ ≤ ∣ L ∣ + 1 |x_n|\le|L|+1 ∣ x n ∣ ≤ ∣ L ∣ + 1
有界性的逆命题不成立：( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n L L L 1 1 1 − 1 -1 − 1
证明
乘积定律的机制 收敛数列 ( y n ) (y_n) ( y n ) ∣ y n ∣ ≤ M |y_n|\le M ∣ y n ∣ ≤ M
∣ x n y n − x y ∣ ≤ ∣ y n ∣ ∣ x n − x ∣ + ∣ x ∣ ∣ y n − y ∣ , |x_ny_n-xy|\le|y_n||x_n-x|+|x||y_n-y|, ∣ x n y n − x y ∣ ≤ ∣ y n ∣∣ x n − x ∣ + ∣ x ∣∣ y n − y ∣ , 两项均趋零。对商，y n → y ≠ 0 y_n\to y\ne0 y n → y = 0 ∣ y n ∣ ≥ ∣ y ∣ / 2 |y_n|\ge|y|/2 ∣ y n ∣ ≥ ∣ y ∣/2 1 / y n → 1 / y 1/y_n\to1/y 1/ y n → 1/ y
子列
定义
子列 ( x n ) (x_n) ( x n ) ( x n k ) (x_{n_k}) ( x n k ) n 1 < n 2 < ⋯ n_1<n_2<\cdots n 1 < n 2 < ⋯ x n → L x_n\to L x n → L L L L n k ≥ k n_k\ge k n k ≥ k
证明
套叠区间证明 把所有项放入闭有界区间 I 1 I_1 I 1 I 2 I_2 I 2 I k I_k I k n k n_k n k x n k ∈ I k x_{n_k}\in I_k x n k ∈ I k L L L x n k , L ∈ I k x_{n_k},L\in I_k x n k , L ∈ I k
结论是关于子列，而非整个数列。例如 ( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n 1 1 1 − 1 -1 − 1
实直线闭集：序列判据与开补集
在通常的经典集合论背景下讨论实直线，并允许可数次见证选择。集合 U U U y y y U U U r > 0 r>0 r > 0 ( y − r , y + r ) (y-r,y+r) ( y − r , y + r ) U U U 1 / n 1/n 1/ n K K K
K K K K K K K K K
由 2 推出 1。 设 x n x_n x n K K K x n x_n x n x x x x x x K K K r > 0 r>0 r > 0 ( x − r , x + r ) (x-r,x+r) ( x − r , x + r ) K K K ∣ x n − x ∣ < r |x_n-x|<r ∣ x n − x ∣ < r x n x_n x n K K K x x x K K K
由 1 推出 2。 固定不属于 K K K y y y y y y K K K n n n x n x_n x n K K K ∣ x n − y ∣ < 1 / n |x_n-y|<1/n ∣ x n − y ∣ < 1/ n ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 N N N 1 / N < ε 1/N<\varepsilon 1/ N < ε n ≥ N n\ge N n ≥ N ∣ x n − y ∣ < 1 / n ≤ 1 / N < ε |x_n-y|<1/n\le1/N<\varepsilon ∣ x n − y ∣ < 1/ n ≤ 1/ N < ε x n x_n x n y y y y y y K K K y y y K K K K K K K K K
学习目标与定义
集合 K ⊆ R K\subseteq\mathbb R K ⊆ R K K K K K K K K K K K K
空集是紧致、闭且有界的，也满足序列紧致性；这些性质均以空真方式成立。在需要选取点或无穷序列的证明中，要单独处理空集。我们使用先前数列内容中的实数完备性及其闭区间套和 Bolzano–Weierstrass 推论。
定理：实数直线上的 Heine–Borel 定理
对 K ⊆ R K\subseteq\mathbb R K ⊆ R
紧致推出闭且有界。 区间 ( − n , n ) (-n,n) ( − n , n ) n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 R \mathbb R R K K K y ∉ K y\notin K y ∈ / K x ∈ K x\in K x ∈ K B ( x , ∣ x − y ∣ / 2 ) B(x,|x-y|/2) B ( x , ∣ x − y ∣/2 ) y y y K K K δ \delta δ y y y x x x y y y ∣ x − y ∣ / 2 ≥ δ |x-y|/2\ge\delta ∣ x − y ∣/2 ≥ δ B ( y , δ ) B(y,\delta) B ( y , δ ) K K K K K K
闭且有界推出紧致。 将非空的 K K K I 0 I_0 I 0 K K K I 0 I_0 I 0 K K K K K K I n I_n I n K ∩ I n K\cap I_n K ∩ I n x n ∈ K ∩ I n x_n\in K\cap I_n x n ∈ K ∩ I n p p p I n I_n I n x n → p x_n\to p x n → p p ∈ K p\in K p ∈ K O O O p p p O O O p p p n n n I n I_n I n O O O K ∩ I n K\cap I_n K ∩ I n
闭且有界推出序列紧致。 K K K K K K
序列紧致推出闭且有界。 若无界，可选取 x n ∈ K x_n\in K x n ∈ K ∣ x n ∣ > n |x_n|>n ∣ x n ∣ > n p p p K K K x n ∈ K x_n\in K x n ∈ K ∣ x n − p ∣ < 1 / n |x_n-p|<1/n ∣ x n − p ∣ < 1/ n K K K p p p p ∈ K p\in K p ∈ K K K K
实数线上的紧致子集
集合 K ⊂ R K\subset\mathbb R K ⊂ R R \mathbb R R K K K K K K
定理
极值定理 若 K ⊂ R K\subset\mathbb R K ⊂ R f : K → R f:K\to\mathbb R f : K → R f f f K K K
证明
抽取逼近最大值的子列 若 f f f x n ∈ K x_n\in K x n ∈ K f ( x n ) > n f(x_n)>n f ( x n ) > n x n k → x ∈ K x_{n_k}\to x\in K x n k → x ∈ K f ( x n k ) → f ( x ) f(x_{n_k})\to f(x) f ( x n k ) → f ( x ) − f -f − f s = sup f ( K ) s=\sup f(K) s = sup f ( K ) x n ∈ K x_n\in K x n ∈ K s − 1 / n < f ( x n ) ≤ s s-1/n<f(x_n)\le s s − 1/ n < f ( x n ) ≤ s x ∈ K x\in K x ∈ K f ( x ) = s f(x)=s f ( x ) = s − f -f − f
例题
哪个假设失效？ 连续函数 f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) 0 0 0 1 1 1 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ]
费马必要条件。 在可微的内点局部最大值或最小值处，f ′ ( a ) = 0 f'(a)=0 f ′ ( a ) = 0
证明。 在局部最大值处，充分小的正增量给出非正差商，负增量给出非负差商。双侧导数的极限要同时满足两种符号，只能为零。对函数取负处理最小值。□ \square □
内点条件很重要：f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] x 3 x^3 x 3
Rolle 定理。 若 a < b a<b a < b f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] ( a , b ) (a,b) ( a , b ) f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f ( a ) = f ( b ) c ∈ ( a , b ) c\in(a,b) c ∈ ( a , b ) f ′ ( c ) = 0 f'(c)=0 f ′ ( c ) = 0
证明。 极值定理保证最大值和最小值存在。若函数为常数，任意内点均符合要求。否则某值不同于相等的端点值，因此最大值或最小值之一出现在内部。可在该处应用费马条件。□ \square □
中值定理。 在相同的连续与可微条件下，不要求端点值相等，则存在 c ∈ ( a , b ) c\in(a,b) c ∈ ( a , b ) f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( c ) ( b − a ) f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( c ) ( b − a )
从 f f f f ( a ) + [ f ( b ) − f ( a ) ] ( x − a ) / ( b − a ) f(a)+[f(b)-f(a)](x-a)/(b-a) f ( a ) + [ f ( b ) − f ( a )] ( x − a ) / ( b − a ) f ′ f' f ′ ∣ f ′ ∣ ≤ M |f'|\le M ∣ f ′ ∣ ≤ M ∣ f ( y ) − f ( x ) ∣ ≤ M ∣ y − x ∣ |f(y)-f(x)|\le M|y-x| ∣ f ( y ) − f ( x ) ∣ ≤ M ∣ y − x ∣
因此区间上 f ′ > 0 f'>0 f ′ > 0 f ′ < 0 f'<0 f ′ < 0 ∣ f ′ ∣ ≤ M |f'|\le M ∣ f ′ ∣ ≤ M ∣ f ( b ) − f ( a ) ∣ ≤ M ∣ b − a ∣ |f(b)-f(a)|\le M|b-a| ∣ f ( b ) − f ( a ) ∣ ≤ M ∣ b − a ∣
例 1：证明唯一性。 方程 x + e x = 3 x+e^x=3 x + e x = 3 ( 0 , 2 ) (0,2) ( 0 , 2 ) 1 + e x > 0 1+e^x>0 1 + e x > 0 R \mathbb R R
不能忽略区间假设。函数 1 / x 1/x 1/ x − 1 -1 − 1 1 1 1 f ( − 1 ) = − 1 < f ( 1 ) = 1 f(-1)=-1<f(1)=1 f ( − 1 ) = − 1 < f ( 1 ) = 1
2.2 驻点、凹凸性与完整图像分析
驻点满足 f ′ = 0 f'=0 f ′ = 0 临界输入 也可以是导数不存在的定义域内点。不可微时局部最大或最小值不一定是驻点；端点不是内部临界输入。
一阶导数判别法要求 c c c f f f c c c c c c f ′ > 0 f\prime>0 f ′ > 0 f ′ < 0 f\prime<0 f ′ < 0 c c c f f f c c c f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0 f ′ ′ < 0 f''<0 f ′′ < 0
证明与连续性条件。 对充分接近 c c c x < c x<c x < c [ x , c ] [x,c] [ x , c ] f ( c ) − f ( x ) = f ′ ( ξ ) ( c − x ) > 0 f(c)-f(x)=f\prime(\xi)(c-x)>0 f ( c ) − f ( x ) = f ′ ( ξ ) ( c − x ) > 0 x > c x>c x > c [ c , x ] [c,x] [ c , x ] f ( x ) − f ( c ) = f ′ ( η ) ( x − c ) < 0 f(x)-f(c)=f\prime(\eta)(x-c)<0 f ( x ) − f ( c ) = f ′ ( η ) ( x − c ) < 0 − f -f − f c c c x ≠ 0 x\ne0 x = 0 f ( x ) = − ∣ x ∣ f(x)=-|x| f ( x ) = − ∣ x ∣ f ( 0 ) = − 1 f(0)=-1 f ( 0 ) = − 1 x < 0 x<0 x < 0 f ′ ( x ) = 1 f\prime(x)=1 f ′ ( x ) = 1 x > 0 x>0 x > 0 f ′ ( x ) = − 1 f\prime(x)=-1 f ′ ( x ) = − 1 0 0 0 0 0 0
例 2：逐步分析有理函数图像。 设
f ( x ) = x 2 x − 1 = x + 1 + 1 x − 1 , x ≠ 1. f(x)=\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac1{x-1},\qquad x\ne1. f ( x ) = x − 1 x 2 = x + 1 + x − 1 1 , x = 1.
定义域与截距。 定义域排除 1 1 1 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 渐近线。 与直线 y = x + 1 y=x+1 y = x + 1 1 / ( x − 1 ) 1/(x-1) 1/ ( x − 1 ) x → ± ∞ x\to\pm\infty x → ± ∞ x → 1 − x\to1^- x → 1 − f → − ∞ f\to-\infty f → − ∞ x → 1 + x\to1^+ x → 1 + f → + ∞ f\to+\infty f → + ∞ 单调性。 f ′ = 1 − 1 / ( x − 1 ) 2 = x ( x − 2 ) / ( x − 1 ) 2 f'=1-1/(x-1)^2=x(x-2)/(x-1)^2 f ′ = 1 − 1/ ( x − 1 ) 2 = x ( x − 2 ) / ( x − 1 ) 2 ( − ∞ , 0 ) (-\infty,0) ( − ∞ , 0 ) ( 2 , ∞ ) (2,\infty) ( 2 , ∞ ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 2 , 4 ) (2,4) ( 2 , 4 ) 凹凸性。 f ′ ′ = 2 / ( x − 1 ) 3 f''=2/(x-1)^3 f ′′ = 2/ ( x − 1 ) 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1
这些信息无需依赖可能掩盖竖直行为的绘图窗口便可描述曲线。局部最大值 0 0 0 4 4 4
2.3 有约束优化与全局检查
闭有界区间上的连续函数取得极值。对只有有限个候选点的可微目标函数，应计算所有内部临界输入和两个端点。在开区间或无界定义域上，最优值可能被趋近却不被取到，故需要额外论证。
例 3：封闭圆柱的最少材料。 假设封闭圆柱容器的体积固定为 V > 0 V>0 V > 0 r > 0 r>0 r > 0 h > 0 h>0 h > 0 h = V / ( π r 2 ) h=V/(\pi r^2) h = V / ( π r 2 )
S ( r ) = 2 π r 2 + 2 π r h = 2 π r 2 + 2 V r . S(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{2V}{r}. S ( r ) = 2 π r 2 + 2 π r h = 2 π r 2 + r 2 V . 导数为 S ′ = 4 π r − 2 V / r 2 S'=4\pi r-2V/r^2 S ′ = 4 π r − 2 V / r 2 r 3 = V / ( 2 π ) r^3=V/(2\pi) r 3 = V / ( 2 π ) r > 0 r>0 r > 0 S → ∞ S\to\infty S → ∞
h = V / ( π r 2 ) = 2 r . h=V/(\pi r^2)=2r. h = V / ( π r 2 ) = 2 r . 结论依赖封闭圆柱和单位面积材料成本相同的假设。开口容器或侧面与端面成本不同会产生不同目标函数。
稳健的建模应在求导前说明目标、约束、可行域和单位。先解无约束导数方程，再事后补约束，常导致不允许的答案。
2.4 三角极限与未定型
扇形面积与弧度
使用以下初等几何事实：单位圆的周长是 2 π 2\pi 2 π π \pi π π \pi π
设 0 < h < π / 2 0<h<\pi/2 0 < h < π /2 t = h / ( 2 π ) t=h/(2\pi) t = h / ( 2 π ) h h h t t t n n n π / n \pi/n π / n t = m / n t=m/n t = m / n m π / n = π t = h / 2 m\pi/n=\pi t=h/2 mπ / n = π t = h /2
对这个范围内任意的 t t t 0 ≤ r k ≤ t ≤ s k ≤ 1 0\le r_k\le t\le s_k\le1 0 ≤ r k ≤ t ≤ s k ≤ 1 r k , s k → t r_k,s_k\to t r k , s k → t
π r k ≤ A ( h ) ≤ π s k . \pi r_k\le A(h)\le\pi s_k. π r k ≤ A ( h ) ≤ π s k . 令 k → ∞ k\to\infty k → ∞ A ( h ) = π t = h / 2 A(h)=\pi t=h/2 A ( h ) = π t = h /2
9.5 基本三角极限
本节所有极限使用弧度。对 0 < h < π / 2 0<h<\pi/2 0 < h < π /2
1 2 sin h < 1 2 h < 1 2 tan h . \tfrac12\sin h<\tfrac12h<\tfrac12\tan h. 2 1 sin h < 2 1 h < 2 1 tan h . 扇形面积是 h / 2 h/2 h /2 h h h
cos h < sin h h < 1. \cos h<\frac{\sin h}{h}<1. cos h < h sin h < 1. 对 0 < h < π / 2 0<h<\pi/2 0 < h < π /2 0 < sin h < h 0<\sin h<h 0 < sin h < h cos h > 0 \cos h>0 cos h > 0 sin 2 h + cos 2 h = 1 \sin^2 h+\cos^2 h=1 sin 2 h + cos 2 h = 1
0 ≤ 1 − cos h = sin 2 h 1 + cos h ≤ h 2 . 0\le 1-\cos h=\frac{\sin^2 h}{1+\cos h}\le h^2. 0 ≤ 1 − cos h = 1 + cos h sin 2 h ≤ h 2 . 因此 h → 0 + h\to0^+ h → 0 + cos h → 1 \cos h\to1 cos h → 1
当 h → 0 + h\to0^+ h → 0 + sin h / h → 1 \sin h/h\to1 sin h / h → 1 h h h L L L
两个推论为
lim h → 0 tan h h = 1 , lim h → 0 1 − cos h h 2 = 1 2 . \lim_{h\to0}\frac{\tan h}{h}=1,\qquad
\lim_{h\to0}\frac{1-\cos h}{h^2}=\frac12. h → 0 lim h tan h = 1 , h → 0 lim h 2 1 − cos h = 2 1 . 第一个将 sin h / h \sin h/h sin h / h cos h \cos h cos h 1 − cos h = 2 sin 2 ( h / 2 ) 1-\cos h=2\sin^2(h/2) 1 − cos h = 2 sin 2 ( h /2 ) [ sin ( h / 2 ) / ( h / 2 ) ] 2 [\sin(h/2)/(h/2)]^2 [ sin ( h /2 ) / ( h /2 ) ] 2 ( cos h − 1 ) / h → 0 (\cos h-1)/h\to0 ( cos h − 1 ) / h → 0
定理：Cauchy 中值定理
若 f , g f,g f , g [ a , b ] [a,b] [ a , b ] ( a , b ) (a,b) ( a , b ) a < b a<b a < b c ∈ ( a , b ) c\in(a,b) c ∈ ( a , b )
[ f ( b ) − f ( a ) ] g ′ ( c ) = [ g ( b ) − g ( a ) ] f ′ ( c ) . [f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c). [ f ( b ) − f ( a )] g ′ ( c ) = [ g ( b ) − g ( a )] f ′ ( c ) . 证明。 辅助函数 H ( t ) = [ f ( b ) − f ( a ) ] g ( t ) − [ g ( b ) − g ( a ) ] f ( t ) H(t)=[f(b)-f(a)]g(t)-[g(b)-g(a)]f(t) H ( t ) = [ f ( b ) − f ( a )] g ( t ) − [ g ( b ) − g ( a )] f ( t ) H ′ ( c ) = 0 H'(c)=0 H ′ ( c ) = 0
学习目标与精确的单侧情形
辨认真正的不定式，证明法则而不是把导数相除当作代数约分，并区分充分条件和必要条件。设 f , g f,g f , g b b b + ∞ +\infty + ∞ g ′ g' g ′
Cauchy 中值定理说明，对不同的内部点 x , y x,y x , y c c c
f ( x ) − f ( y ) g ( x ) − g ( y ) = f ′ ( c ) g ′ ( c ) . \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}. g ( x ) − g ( y ) f ( x ) − f ( y ) = g ′ ( c ) f ′ ( c ) . 分母 g ( x ) − g ( y ) g(x)-g(y) g ( x ) − g ( y ) g g g g g g g ≠ 0 g\ne0 g = 0
定理：导数之比趋于有限极限
当趋近端点时若 f ′ / g ′ → L ∈ R f'/g'\to L\in\mathbb R f ′ / g ′ → L ∈ R f / g → L f/g\to L f / g → L f , g → 0 f,g\to0 f , g → 0 ∣ g ∣ → ∞ |g|\to\infty ∣ g ∣ → ∞ f f f
情形（i）的证明。 令 h = f − L g h=f-Lg h = f − Lg ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ∣ h ′ / g ′ ∣ < ε |h'/g'|<\varepsilon ∣ h ′ / g ′ ∣ < ε ∣ h ( x ) − h ( y ) ∣ ≤ ε ∣ g ( x ) − g ( y ) ∣ |h(x)-h(y)|\le\varepsilon|g(x)-g(y)| ∣ h ( x ) − h ( y ) ∣ ≤ ε ∣ g ( x ) − g ( y ) ∣ x x x y y y h ( y ) , g ( y ) → 0 h(y),g(y)\to0 h ( y ) , g ( y ) → 0 ∣ h ( x ) ∣ ≤ ε ∣ g ( x ) ∣ |h(x)|\le\varepsilon|g(x)| ∣ h ( x ) ∣ ≤ ε ∣ g ( x ) ∣ ∣ f ( x ) / g ( x ) − L ∣ ≤ ε |f(x)/g(x)-L|\le\varepsilon ∣ f ( x ) / g ( x ) − L ∣ ≤ ε
情形（ii）的证明。 给定 η > 0 \eta>0 η > 0 ε = η / 4 \varepsilon=\eta/4 ε = η /4 h = f − L g h=f-Lg h = f − Lg ε \varepsilon ε x 0 x_0 x 0 x 0 x_0 x 0 x x x ∣ h ( x ) − h ( x 0 ) ∣ ≤ ε ∣ g ( x ) − g ( x 0 ) ∣ |h(x)-h(x_0)|\le\varepsilon|g(x)-g(x_0)| ∣ h ( x ) − h ( x 0 ) ∣ ≤ ε ∣ g ( x ) − g ( x 0 ) ∣
∣ f ( x ) g ( x ) − L ∣ ≤ ∣ h ( x 0 ) ∣ ∣ g ( x ) ∣ + ε ∣ 1 − g ( x 0 ) g ( x ) ∣ . \left|\frac{f(x)}{g(x)}-L\right|
\le\frac{|h(x_0)|}{|g(x)|}+\varepsilon\left|1-\frac{g(x_0)}{g(x)}\right|. g ( x ) f ( x ) − L ≤ ∣ g ( x ) ∣ ∣ h ( x 0 ) ∣ + ε 1 − g ( x ) g ( x 0 ) . 当 x x x η / 2 \eta/2 η /2 2 2 2 η / 2 + 2 ( η / 4 ) = η \eta/2+2(\eta/4)=\eta η /2 + 2 ( η /4 ) = η η > 0 \eta>0 η > 0 L L L
定理：导数之比趋于无穷
在相同的分母假设下，若 f ′ / g ′ → + ∞ f'/g'\to+\infty f ′ / g ′ → + ∞ f / g → + ∞ f/g\to+\infty f / g → + ∞ − ∞ -\infty − ∞
证明。 对任意实阈值 M M M f ′ / g ′ > M f'/g'>M f ′ / g ′ > M M M M x x x f ( x ) / g ( x ) ≥ M f(x)/g(x)\ge M f ( x ) / g ( x ) ≥ M M M M + ∞ +\infty + ∞ x 0 x_0 x 0 R ( x ) > M R(x)>M R ( x ) > M
f ( x ) g ( x ) = R ( x ) ( 1 − g ( x 0 ) g ( x ) ) + f ( x 0 ) g ( x ) . \frac{f(x)}{g(x)}=R(x)\left(1-\frac{g(x_0)}{g(x)}\right)+\frac{f(x_0)}{g(x)}. g ( x ) f ( x ) = R ( x ) ( 1 − g ( x ) g ( x 0 ) ) + g ( x ) f ( x 0 ) . 当 M > 0 M>0 M > 0 x x x 1 / 2 1/2 1/2 f ( x 0 ) / g ( x ) > − 1 f(x_0)/g(x)>-1 f ( x 0 ) / g ( x ) > − 1 f ( x ) / g ( x ) > M / 2 − 1 f(x)/g(x)>M/2-1 f ( x ) / g ( x ) > M /2 − 1 M M M + ∞ +\infty + ∞ − f -f − f
仅仅无界不等同于趋于无穷，不能满足所述无穷极限假设。该法则也有无穷远处的版本。它计算商的极限，并不声称函数 f / g f/g f / g f ′ / g ′ f'/g' f ′ / g ′
例 4：先验证形式。 当 x → 0 x\to0 x → 0 ( e x − 1 ) / x (e^x-1)/x ( e x − 1 ) / x 0 / 0 0/0 0/0 e x / 1 → 1 e^x/1\to1 e x /1 → 1 1 1 1 x → 0 + x\to0^+ x → 0 + ( 1 + x ) / x (1+x)/x ( 1 + x ) / x 1 1 1 + ∞ +\infty + ∞
其他未定型须先改写。对 x → 0 + x\to0^+ x → 0 +
x ln x = ln x 1 / x . x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}. x ln x = 1/ x ln x . 分子和分母的绝对值都趋于无穷，其导数之比为 − x → 0 -x\to0 − x → 0 x ln x → 0 x\ln x\to0 x ln x → 0 x x = exp ( x ln x ) → 1 x^x=\exp(x\ln x)\to1 x x = exp ( x ln x ) → 1 x > 0 x>0 x > 0
2.5 微分误差估计与敏感性
当 h h h f ( a + h ) − f ( a ) ≈ f ′ ( a ) h f(a+h)-f(a)\approx f'(a)h f ( a + h ) − f ( a ) ≈ f ′ ( a ) h
例 5：球体体积的容差。 对 V ( r ) = 4 π r 3 / 3 V(r)=4\pi r^3/3 V ( r ) = 4 π r 3 /3 d V / V = 3 d r / r dV/V=3\,dr/r d V / V = 3 d r / r r = 10 r=10 r = 10 ∣ h ∣ ≤ 0.01 |h|\le0.01 ∣ h ∣ ≤ 0.01 0.003 0.003 0.003
V ( 10 + h ) − V ( 10 ) V ( 10 ) = 3 h 10 + 3 ( h 10 ) 2 + ( h 10 ) 3 . \frac{V(10+h)-V(10)}{V(10)}=3\frac h{10}+3\left(\frac h{10}\right)^2+\left(\frac h{10}\right)^3. V ( 10 ) V ( 10 + h ) − V ( 10 ) = 3 10 h + 3 ( 10 h ) 2 + ( 10 h ) 3 . 被省略的相对项的模至多为 3 ⋅ 10 − 6 + 10 − 9 3\cdot10^{-6}+10^{-9} 3 ⋅ 1 0 − 6 + 1 0 − 9
2.6 分层练习
基础
用平均值定理证明 ∣ sin b − sin a ∣ ≤ ∣ b − a ∣ |\sin b-\sin a|\le|b-a| ∣ sin b − sin a ∣ ≤ ∣ b − a ∣
分类 f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x f(x)=x^3-6x^2+9x f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x
解释为何 f ( x ) = x 4 f(x)=x^4 f ( x ) = x 4 f ′ ′ ( 0 ) = 0 f''(0)=0 f ′′ ( 0 ) = 0
核心
求 f ( x ) = x + 4 / x f(x)=x+4/x f ( x ) = x + 4/ x x ≠ 0 x\ne0 x = 0
矩形周长为 20 20 20
求 lim x → 0 ( 1 − cos ( 3 x ) ) / x 2 \lim_{x\to0}(1-\cos(3x))/x^2 lim x → 0 ( 1 − cos ( 3 x )) / x 2
在说明相关极限法则假设的情况下，求 lim x → ∞ ( ln x ) / x \lim_{x\to\infty}(\ln x)/x lim x → ∞ ( ln x ) / x
通过取对数求 lim x → 0 + ( 1 + x ) 1 / x \lim_{x\to0^+}(1+x)^{1/x} lim x → 0 + ( 1 + x ) 1/ x
综合
封闭圆柱的体积为 16 π 16\pi 16 π
设 f ( x ) = x 3 f(x)=x^3 f ( x ) = x 3 a > 0 a>0 a > 0 h h h ∣ h ∣ ≤ η a |h|\le\eta a ∣ h ∣ ≤ η a 0 < η < 1 0<\eta<1 0 < η < 1 3 η 2 + η 3 3\eta^2+\eta^3 3 η 2 + η 3
2.7 详解
正弦在两点之间的线段上连续、内部可微。当 a ≠ b a\ne b a = b c c c sin b − sin a = cos c ( b − a ) \sin b-\sin a=\cos c(b-a) sin b − sin a = cos c ( b − a ) ∣ cos c ∣ ≤ 1 |\cos c|\le1 ∣ cos c ∣ ≤ 1 a = b a=b a = b
f ′ = 3 ( x − 1 ) ( x − 3 ) f'=3(x-1)(x-3) f ′ = 3 ( x − 1 ) ( x − 3 ) x = 1 x=1 x = 1 4 4 4 x = 3 x=3 x = 3 0 0 0 x 4 ≥ 0 x^4\ge0 x 4 ≥ 0 x ≠ 0 x\ne0 x = 0 f ′ ′ = 12 x 2 > 0 f''=12x^2>0 f ′′ = 12 x 2 > 0 f ′ = 1 − 4 / x 2 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) / x 2 f'=1-4/x^2=(x-2)(x+2)/x^2 f ′ = 1 − 4/ x 2 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) / x 2 ( − ∞ , − 2 ) (-\infty,-2) ( − ∞ , − 2 ) ( 2 , ∞ ) (2,\infty) ( 2 , ∞ ) ( − 2 , 0 ) (-2,0) ( − 2 , 0 ) ( 0 , 2 ) (0,2) ( 0 , 2 ) ( − 2 , − 4 ) (-2,-4) ( − 2 , − 4 ) ( 2 , 4 ) (2,4) ( 2 , 4 ) 若边长为 x x x 10 − x 10-x 10 − x 0 < x < 10 0<x<10 0 < x < 10 x ( 10 − x ) = 25 − ( x − 5 ) 2 x(10-x)=25-(x-5)^2 x ( 10 − x ) = 25 − ( x − 5 ) 2 5 , 5 5,5 5 , 5 25 25 25
使用 1 − cos 3 x = 2 sin 2 ( 3 x / 2 ) 1-\cos3x=2\sin^2(3x/2) 1 − cos 3 x = 2 sin 2 ( 3 x /2 ) ( 9 / 2 ) [ sin ( 3 x / 2 ) / ( 3 x / 2 ) ] 2 → 9 / 2 (9/2)[\sin(3x/2)/(3x/2)]^2\to9/2 ( 9/2 ) [ sin ( 3 x /2 ) / ( 3 x /2 ) ] 2 → 9/2
分子分母均趋于无穷，在 x > 0 x>0 x > 0 1 / x → 0 1/x\to0 1/ x → 0
令 y = ( 1 + x ) 1 / x y=(1+x)^{1/x} y = ( 1 + x ) 1/ x x > 0 x>0 x > 0 ln y = ln ( 1 + x ) / x \ln y=\ln(1+x)/x ln y = ln ( 1 + x ) / x 0 / 0 0/0 0/0 1 / ( 1 + x ) → 1 1/(1+x)\to1 1/ ( 1 + x ) → 1 ln y → 1 \ln y\to1 ln y → 1 y → e y\to e y → e
最优半径满足 r 3 = V / ( 2 π ) = 8 r^3=V/(2\pi)=8 r 3 = V / ( 2 π ) = 8 r = 2 r=2 r = 2 h = 2 r = 4 h=2r=4 h = 2 r = 4 2 π ( 4 ) + 2 π ( 2 ) ( 4 ) = 24 π 2\pi(4)+2\pi(2)(4)=24\pi 2 π ( 4 ) + 2 π ( 2 ) ( 4 ) = 24 π
精确变化为 ( a + h ) 3 − a 3 = 3 a 2 h + 3 a h 2 + h 3 (a+h)^3-a^3=3a^2h+3ah^2+h^3 ( a + h ) 3 − a 3 = 3 a 2 h + 3 a h 2 + h 3 3 a h 2 + h 3 3ah^2+h^3 3 a h 2 + h 3 a 3 a^3 a 3 3 ( ∣ h ∣ / a ) 2 + ( ∣ h ∣ / a ) 3 ≤ 3 η 2 + η 3 3(|h|/a)^2+(|h|/a)^3\le3\eta^2+\eta^3 3 ( ∣ h ∣/ a ) 2 + ( ∣ h ∣/ a ) 3 ≤ 3 η 2 + η 3
总结与后续联系
平均值定理为单调性、唯一性和敏感度界提供依据。局部临界点必须结合符号变化、可行域和全局检查解释。完整图像分析分开处理定义域、渐近线、单调性和凹凸性。未定型极限法则需要验证假设；对数可将变量幂转成商的极限。泰勒估计将把线性余项分析扩展至高阶。
