0. 函数与坐标准备

学习目标与先修知识

本预备章假设读者熟悉中学代数和初等几何，明确工程微积分各章使用的函数语言：定义域、复合、反函数分支、指数与三角模型，以及极坐标。目标是防止隐藏的定义域或单位错误影响后续微积分，而不是替代中学背景知识。

0.1 定义域、值域与变换

函数 $f:D\to C$ 为 $D$ 中每个输入指定 $C$ 中的一个输出。值域 $f(D)$ 可以小于指定的陪域 $C$。两个公式在共同定义处处处相等，若定义域不同，也未必定义相同函数。

对实数公式，分母不能为零，偶次根要求被开方数非负，对数要求真数为正。应取所有限制的交集；在模型中还须限制到物理上有意义的量。

例 1：取限制的交集。 对 $f(x)=\sqrt{\ln x}/(x-2)$，要求 $x>0$、$\ln x\ge0$ 和 $x\ne2$。前两项合为 $x\ge1$，故定义域是 $[1,2)\cup(2,\infty)$。对数限制不会消除分母限制。

由已知图像 $y=f(x)$ 得到 $f(x-a)+b$ 的图像，需要向右平移 $a$、向上平移 $b$。$cf(x)$ 的图像按 $c$ 缩放输出；$c$ 为负还会作竖直反射。对 $k\ne0$，$f(kx)$ 的输入区间按 $1/k$ 缩放；$k<0$ 时还作水平反射。输入变换先于函数作用，因此形状和定义域都会改变。

复合 $g\circ f$ 的定义域是 $\{x\in D:f(x)\in\operatorname{dom}g\}$。次序重要：例如先指数再平方，与先平方再指数不同，分别对应 $e^{2x}$ 与 $e^{x^2}$。

0.2 多项式、有理函数与幂函数

多项式 $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ 的幂为非负整数，对每个实输入均有定义。有理函数是多项式的商，排除原分母的零点。约去因子可以揭示可去空点，但除非明确重新定义函数，否则不会填上该点。

对整数 $n<0$，$x^n=1/x^{-n}$ 排除零。对 $x^{1/2}$ 等有理次幂，使用实根的定义域及主非负值。特别地，$\sqrt{x^2}=|x|$，不是在整个 $\mathbb R$ 上都等于 $x$。对任意实指数 $a$，标准正输入定义是 $x^a=e^{a\ln x}$，其中 $x>0$；某些有理指数有额外的实定义域延拓，必须另行说明。

例 2：带定义域的代数恒等式。 商 $(x^2-9)/(x-3)$ 在 $x\ne3$ 时等于 $x+3$。即使化简表达式看不出分母，其自然定义域仍排除 $3$。后续该缺失点的极限可以存在，而原函数在该处没有值。

0.3 指数与对数

对 $a>0$、$a\ne1$，函数 $a^x$ 为正且一一对应，其反函数是定义在 $x>0$ 上的 $\log_a x$。自然对数的底数是 $e$。对正输入，

$$\ln(uv)=\ln u+\ln v,\quad\ln(u/v)=\ln u-\ln v,\quad\ln(u^r)=r\ln u.$$

$\ln(u+v)$ 没有类似的加法法则。若对数内出现有量纲的量，最好将其相对于固定参考尺度表示，使对数真数无量纲。

例 3：先精确求解再近似。 对 $t\ge0$ 解 $5e^{-0.4t}=2$。相除并取对数得 $t=\ln(5/2)/0.4$。由于 $5/2>1$，结果为正。若 $t$ 以秒计，系数 $0.4$ 的单位为 s$^{-1}$。小数近似可选；对数式是精确值。

对实常数 $A,k$ 及 $A\ne0$，模型 $y(t)=Ae^{kt}$ 处处非零，相对变化率 $y'(t)/y(t)=k$ 恒定。若 $A=0$，则 $y\equiv0$ 仍满足 $y'=ky$，但其相对变化率的商无定义。仿射模型 $A+bt$ 的绝对变化率 $b$ 恒定。选择哪种模型是建模假设，不是代数上的偏好。

0.4 三角函数与弧度模型

弧度角是有向弧长除以半径。角度 $\theta$ 对应的单位圆点为 $(\cos\theta,\sin\theta)$，所以 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$。正弦与余弦的周期为 $2\pi$；正切的周期为 $\pi$，在余弦为零处无定义。

模型 $s(t)=A\sin(\omega t+\phi)$ 在 $A\ne0$、$\omega\ne0$ 时振幅为 $|A|$、周期为 $2\pi/|\omega|$。自变量必须无量纲；若 $t$ 以秒计，$\omega$ 记为 rad/s。导数公式若使用角度制，需要额外换算因子；标准微积分法则使用弧度。

例 4：求周期。 对 $s(t)=2\cos(5t-\pi/3)$，振幅为 $2$、周期为 $2\pi/5$，零时刻的值为 $1$。非负时间的首次最大值在 $5t-\pi/3=0$ 时出现，即 $t=\pi/15$。

解 $\sin\theta=c$ 时，先要求 $|c|\le1$，再列出所要求区间内的全部周期解。主值反函数只给出一个代表值，不是全部解集。

0.5 反函数与适于求导的分支

若 $f(x_1)=f(x_2)$ 蕴含 $x_1=x_2$，函数为单射。单射的反函数从其值域映回定义域。周期三角函数必须限制定义域才可逆：

• $\arcsin:[-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2]$；
• $\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$；
• $\arctan:\mathbb R\to(-\pi/2,\pi/2)$。

因此仅当 $\theta$ 位于选定正弦分支时，$\arcsin(\sin\theta)=\theta$。$f^{-1}$ 表示反函数，不是倒数。

当反函数可微且 $f'(x)\ne0$，对 $f(f^{-1}(y))=y$ 求导得到

$$(f^{-1})'(y)=\frac1{f'(f^{-1}(y))}.$$

对 $y=\arcsin x$，有 $\sin y=x$；当 $|x|<1$，分支给出 $\cos y=\sqrt{1-x^2}>0$。因此 $d(\arcsin x)/dx=1/\sqrt{1-x^2}$。在 $x=\pm1$，反函数仍有定义，但没有该有限双侧导数。同理，当 $|x|<1$，$d(\arccos x)/dx=-1/\sqrt{1-x^2}$；对每个实数 $x$，$d(\arctan x)/dx=1/(1+x^2)$。

例 5：检查分支。 $\arctan(\tan(3\pi/4))=-\pi/4$，因为该角的正切为 $-1$，主值反函数必须返回介于 $-\pi/2$ 和 $\pi/2$ 之间的值。忽略分支会返回不允许的反函数值。

0.6 直角坐标与极坐标

对 $r\ge0$，极坐标满足 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$。非零点有 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，方向在模 $2\pi$ 意义下确定。原点的任意角度都对应同一点，所以方向不唯一。由 $\tan\theta=y/x$ 恢复角度需要象限信息，且在 $x=0$ 时不能直接使用。

例 6：极坐标曲线。 曲线 $r=2\cos\theta$，其中 $r\ge0$、$-\pi/2\le\theta\le\pi/2$，满足 $r^2=2r\cos\theta=2x$。故 $x^2+y^2=2x$，即 $(x-1)^2+y^2=1$。反过来，圆上每点的横坐标非负，且在所述区间有相容的极坐标表示（原点由一个端点表示）。代数转换与角度范围共同确定曲线；若不检查限制便将极坐标方程平方，可能引入额外点。

极坐标是同一平面的不同描述，不是不同物理空间。后续积分公式必须包含适当的几何度量；没有尺度因子时，$dr\,d\theta$ 不能自动视为面积元素。

0.7 分层练习

基础

1. 求 $\ln(4-x^2)$ 的自然实定义域。
2. 对所有实数 $x$ 化简 $\sqrt{(x-2)^2}$。
3. 精确求解 $3e^{2t}=12$。

核心

4. 设 $f(x)=x^2-4$、$g(u)=\sqrt u$，求 $g(f(x))$ 的定义域。
5. 求 $v(t)=-4\sin(2t+\pi/2)$ 的振幅、周期和初始值。
6. 在 $0\le\theta<2\pi$ 上解 $\cos\theta=1/2$。
7. 求 $\arccos(\cos(5\pi/3))$，并解释反函数值域。
8. 对 $(-1,\sqrt3)$ 求正半径极坐标，取 $0\le\theta<2\pi$。

综合

9. 用反函数求导和链式法则对 $y=\arctan(2x)$ 求导，解释为何结果的分母没有实奇点。
10. 将 $r=4\sin\theta$、$0\le\theta\le\pi$ 转为直角坐标形式，并在不丢弃非负半径限制的情况下验证几何曲线。

0.8 详解

1. 要求 $4-x^2>0$，所以 $-2<x<2$。
2. 结果为 $|x-2|$；当 $x\ge2$ 等于 $x-2$，当 $x<2$ 等于 $2-x$。
3. $e^{2t}=4$，故 $t=(\ln4)/2=\ln2$。
4. 要求 $x^2-4\ge0$，得到 $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$。
5. 振幅为 $4$、周期为 $\pi$、初始值为 $-4\sin(\pi/2)=-4$。
6. 第一周解为 $\theta=\pi/3$ 和 $5\pi/3$。
7. $5\pi/3$ 的余弦为 $1/2$，而 $\arccos$ 返回 $[0,\pi]$ 内的角，即 $\pi/3$。
8. 半径为 $\sqrt{1+3}=2$。该点在第二象限，余弦为 $-1/2$、正弦为 $\sqrt3/2$，故 $\theta=2\pi/3$。
9. 导数为 $2/(1+4x^2)$。对每个实数 $x$，分母至少为一，故导数处处有定义，与 $\arctan(2x)$ 的实定义域一致。
10. 乘以 $r$ 得 $r^2=4r\sin\theta=4y$，从而 $x^2+(y-2)^2=4$。这是以 $(0,2)$ 为中心、半径为二的圆。圆上每点都满足 $y\ge0$，可用 $0\le\theta\le\pi$、$r\ge0$ 表示；原点出现在角度端点。因此没有额外包含下半平面的点。

总结与后续联系

化简与复合时保留定义域。幂、对数、三角公式与反函数分支各有不同限制。指数和周期模型需要无量纲自变量及明确时间单位。极坐标需要象限与半径约定。这些准备为导数、极限与积分章节提供支持，避免无定义输入。