置換群與二面體群

正多邊形的對稱結合了循環旋轉群和改變旋轉方向的反射。置換使這些操作精確且有限。本章展開輪換計算，證明二面體群的標準形式，並將三角形的對稱與三個頂點的全置換群聯繫起來。

1 置換與不相交輪換

群 $S_n$ 由 $\{1,\ldots,n\}$ 的所有雙射在複合下組成。全章約定 $\sigma\tau$ 表示先應用 $\tau$。輪換 $(a_1\ \cdots\ a_k)$ 將每一項映到下一項，將最後一項映回第一項，並固定其他所有元素。

每個置換都可分解為不相交輪換。從一個元素開始，反覆追蹤它的像。有限性迫使某個值重複，而雙射性使第一次重複必定回到起點；否則重複值會有兩個不同前驅。所得軌道是一個輪換。再從未用的元素重複此過程。不同軌道不相交，因此它們的輪換可交換，且共同描述整個置換。除不相交輪換的排列次序及每個輪換所寫項的循環移動外，這種分解唯一。

一個 $k$-輪換恰在迭代次數為 $k$ 的倍數時使所有受影響的元素回到原處。因此，長度為 $k_1,\ldots,k_r$ 的不相交輪換的乘積，其階為 $\operatorname{lcm}(k_1,\ldots,k_r)$。對於 $(1\ 3\ 5)(2\ 4)$，階為 6，而不是和 5；在其他例子中也未必是長度的乘積。

複合例。 設 $\sigma=(1\ 2\ 3)$、$\tau=(1\ 2)$。追蹤各輸入得到 $\tau\sigma=(2\ 3)$：1 回到 1，2 到 3，3 到 2。相反，$\sigma\tau=(1\ 3)$。改變約定會改變計算，而不會改變群本身，因此計算前應說明約定。

2 顯式構造二面體群

固定 $n\ge3$，用 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ 標記多邊形頂點。令 $r(k)=k+1$、$s(k)=-k$。它們是滿足下式的置換：

$$r^n=e,\qquad s^2=e,\qquad sr=r^{-1}s.$$

這裏將它們生成的群記作 $D_n$，其階為 $2n$。有些書改用下標 $2n$；明確寫出階消除了記號歧義。

利用 $sr^a=r^{-a}s$，把乘積中每個 $s$ 移到右邊並化簡冪。每個元素均為 $r^as^\varepsilon$ 形式，其中 $0\le a<n$、$\varepsilon\in\{0,1\}$。這 $2n$ 個置換互不相同。同一類型中，零處的值區分 $a$。旋轉不可能等於反射：若對每個頂點都有 $k+a=b-k$，比較 $k=0$ 和 $k=1$ 會迫使模 $n$ 有 $2=0$，這在 $n\ge3$ 時不可能。

因此標準形式不只是給出上界，而是將每個元素恰好列出一次。乘法規則為

$$(r^as^\varepsilon)(r^bs^\delta)=r^{a+(-1)^\varepsilon b}s^{\varepsilon+\delta},$$

其中旋轉指數模 $n$，反射指數模 2。該公式通常比反覆繪制多邊形運動更快、更可靠。

3 階、正規性與三角形

每個反射 $r^as$ 的階為 2：

$$(r^as)^2=r^a(sr^a)s=r^ar^{-a}s^2=e,$$

且沒有反射是單位元。旋轉 $r^a$ 的階為 $n/\gcd(n,a)$。旋轉構成正規循環子群 $R=\langle r\rangle$：旋轉共軛保持它，$s$ 的共軛將 $r^a$ 變為 $r^{-a}$。商群有兩個陪集，同構於 $\mathbb Z/2\mathbb Z$，記錄對稱是旋轉還是反射。

當 $n=3$，將頂點標為 1、2、3，取 $r=(1\ 2\ 3)$、$s=(2\ 3)$。追蹤頂點可知關係 $srs=r^{-1}$ 成立。六個標準形式是六個不同置換，而 $S_3$ 恰有 $3!=6$ 個元素，所以 $D_3\cong S_3$。這不是僅僅大小相同，而是運算同構：在所給生成元下，兩者都是標記頂點集上的相同變換。

對每個 $n\ge4$，$D_n$ 都是 $S_n$ 的真子群，因為 $2n<n!$。多邊形對稱保持鄰接關係，一般置換則未必如此。例如 $D_4$ 有 8 個元素，而 $S_4$ 有 24 個。

4 分級練習

E1 基礎。 將以下置換分解成不相交輪換，並求其階：$1\mapsto4$、$4\mapsto2$、$2\mapsto1$、$3\mapsto5$、$5\mapsto3$、$6\mapsto6$。

E2 二面體群計算。 在 $D_5$ 中化簡 $(r^2s)(r^3s)$，並求 $r^2$ 和 $r^2s$ 的階。

E3 結構。 按上述約定，證明每個 $n\ge3$ 的 $D_n$ 都非阿貝爾。

E4 中心。 找出與一個反射可交換的旋轉，並用它求奇數和偶數 $n$ 情形下 $D_n$ 的中心。

5 詳解

S1. 分解為 $(1\ 4\ 2)(3\ 5)$，其中 6 不動。其階為 $\operatorname{lcm}(3,2)=6$。不動點貢獻長度為 1 的輪換，不改變最小公倍數。

S2. 乘積為 $r^{2-3}=r^{-1}=r^4$。旋轉 $r^2$ 的階為 $5/\gcd(5,2)=5$，而由反射計算可知 $r^2s$ 的階為 2。

S3. 若 $sr=rs$，則關係 $sr=r^{-1}s$ 會蘊含 $r=r^{-1}$，從而 $r^2=e$。但 $r$ 的階為 $n\ge3$，矛盾。即使每個反射都等於自身的逆，因子次序仍然重要。

S4. $sr^a=r^{-a}s$ 等於 $r^as$，當且僅當模 $n$ 有 $2a=0$。若 $n$ 為奇數，只得到 $a=0$；若 $n$ 為偶數，得到 $a=0,n/2$。沒有反射與 $r$ 可交換，理由與 E3 中相同。因此，奇數 $n$ 時中心為 $\{e\}$，偶數 $n$ 時為 $\{e,r^{n/2}\}$。

小結

不相交輪換將置換組織為獨立軌道。二面體群具有唯一的旋轉或反射標準形式及顯式乘法規則。其循環旋轉子群正規，而反射將旋轉反向。這些結構論證解釋了群，而不依賴圖形或對相同大小的猜測。