多項式商與數域

符號 $\sqrt2$ 是實數，但也可從結構上理解為滿足關係 $\alpha^2=2$ 的元素。多項式商將這個關係變成嚴格構造，並解釋為甚麼出現一個新域。同一方法也說明某些看似相似的關係為甚麼會產生零因子。

1 二次數域中的算術

考慮 $K=\{a+b\sqrt2:a,b\in\mathbb Q\}\subset\mathbb R$。加法和乘法結果仍在該集合內：

$$(a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2.$$

表示唯一。若 $a+b\sqrt2=c+d\sqrt2$ 且 $b\ne d$，則 $\sqrt2=(c-a)/(b-d)$ 是有理數。標準奇偶性證明排除這一點：若將 $\sqrt2=p/q$ 寫成最簡分數，則 $p^2=2q^2$ 迫使 $p$ 和 $q$ 均為偶數。

對非零 $a+b\sqrt2$，其共軛 $a-b\sqrt2$ 滿足

$$(a+b\sqrt2)(a-b\sqrt2)=a^2-2b^2.$$

這個有理分母除非 $a=b=0$ 否則不為零：若 $b\ne0$，分母為零將蘊含 $a/b=\pm\sqrt2$。因此

$$(a+b\sqrt2)^{-1}=\frac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2}\in K.$$

使用繼承的實數運算，$K$ 因而是域。例如 $(3+2\sqrt2)^{-1}=3-2\sqrt2$，因為 $9-8=1$。

2 同一對象的多項式構造

在 $\mathbb Q[x]$ 中，若 $f-g$ 是 $x^2-2$ 的多項式倍數，則稱 $f\equiv g\pmod{x^2-2}$。這是等價關係。加法和乘法保持該關係，因為 $x^2-2$ 的倍數對加法封閉，並吸收任意多項式的乘法。這樣具有吸收性的加法子群稱為理想，記為 $(x^2-2)$。

除以首一多項式 $x^2-2$ 得到唯一餘式 $a+bx$，因此每個商類有唯一次數小於 2 的代表元。在商中 $[x]^2=[2]$，所以餘式乘法是

$$[a+bx][c+dx]=[(ac+2bd)+(ad+bc)x].$$

映射 $[a+bx]\mapsto a+b\sqrt2$ 定義良好、雙射且保持兩種運算，故該商同構於 $K$。我們通過關係構造了一個域，而不是直接假定其逆元公式。

求值映射 $E:\mathbb Q[x]\to K$、$f\mapsto f(\sqrt2)$ 的核恰為 $(x^2-2)$。為了證明非平凡的包含方向，將 $f=q(x^2-2)+(a+bx)$。若 $f(\sqrt2)=0$，則 $a+b\sqrt2=0$，由唯一性得 $a=b=0$。這是第一同構定理的具體環版本。

3 為甚麼不可約性重要

域上的多項式若次數為正，且不能分解成兩個次數較小的正次多項式之積，則稱為不可約。二次多項式不可約當且僅當它在該域中沒有根。因此 $x^2-2$ 在 $\mathbb Q$ 上不可約。

更一般地，對非恆定不可約多項式 $p$，$F[x]/(p)$ 是域。若 $[f]\ne0$，則 $\gcd(f,p)=1$。多項式歐幾里得算法給出 $uf+vp=1$，所以 $[u]$ 是 $[f]$ 的逆元。反之，若 $p=ab$ 分解為次數較小的正次因子，則得到非零商類 $[a],[b]$，其乘積為零，因而不是域。

對於 $\mathbb Q[x]/(x^2-1)$，$[x-1]$ 與 $[x+1]$ 均非零，但乘積為零。因此形式關係 $x^2=1$ 不產生域。光有關係還不夠；在所選域上的分解性質才是決定因素。

將具體商映射逐步寫清楚

在無理性論證中，奇整數 $2k+1$ 的平方為奇數 $4k(k+1)+1$。所以 $p^2=2q^2$ 先使 $p=2r$ 為偶數，再由 $q^2=2r^2$ 使 $q$ 為偶數。這與分母取正的最簡分數矛盾。

集合 $K$ 包含 0、1，對減法及已列的乘法均封閉。結合律、交換律和分配律從 $\mathbb R$ 繼承；分母非零的逆元公式因而核對了域的全部要求。對商映射，每個類有唯一代表元 $a+bx$；$a+b\sqrt2$ 的唯一性證明單射，$K$ 的定義證明滿射，已列乘法式及逐係數加法證明保持兩種運算和 1。$x^2-1$ 例子中的零因子類非零，因為非零一次多項式不可能是二次多項式的倍數。這些次數論證屬於構造的必要部分，而不是可省略的數值檢查。

4 分級練習

E1 基礎。 計算 $(1+\sqrt2)(2-\sqrt2)$，並求 $1+\sqrt2$ 的逆元。

E2 約化。 將 $x^5+3x^2+1$ 模 $x^2-2$ 約化。

E3 域。 判斷 $\mathbb Q[x]/(x^2+1)$ 和 $\mathbb R[x]/(x^2-2)$ 是否為域。

E4 證明。 解釋為甚麼域上的每個 $d$ 次非零多項式至多有 $d$ 個不同根。

5 完整解答

S1. 乘積為 $2-\sqrt2+2\sqrt2-2=\sqrt2$。$1+\sqrt2$ 的逆元是 $(1-\sqrt2)/(1-2)=\sqrt2-1$，可通過相乘驗證。

S2. 由關係得到 $x^4=4$、$x^5=4x$，而 $3x^2=6$。餘式為 $7+4x$，次數小於 2。多項式除法給出相同的唯一結果。

S3. $x^2+1$ 無有理根，故為不可約二次多項式，第一個商是域。在 $\mathbb R$ 上，$x^2-2=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$，故第二個商有非零零因子，不是域。同一多項式在不同域上可有不同表現。

S4. 若 $a$ 是根，除以 $x-a$ 的餘式為零，故 $f=(x-a)g$。每個其他根 $b$ 滿足 $(b-a)g(b)=0$；由於系數系統是域且 $b\ne a$，得到 $g(b)=0$。對次數歸納即可證明上界。零多項式被排除，因為它處處為零。

總結

二次數域的運算可由多項式類構造。理想使商運算不依賴代表元，不可約性通過 Bézout 等式保證逆元。必須明確系數域以及整環與有零因子的環之間的區別。