4.4 實數公理與第一次近似構造

為甚麼要先定義目標，再談構造？

前面章節一直遵循同一個模式：

1. 先說清楚我們想要甚麼結構；
2. 再構造一個模型去滿足這些結構；
3. 最後仔細驗證構造。

實數的目標結構是完備有序域。先明確目標，才能知道構造需要驗證哪些性質。

這是很好的數學習慣。若你連目標性質都未說明，就算後面給出很漂亮的 構造，也會顯得缺乏動機。

正式目標

定義

實數模型

集合 $R$ 稱為實數模型，如果它帶有：

• 元素 $0,1\in R$；
• 二元運算 $+$ 與 $\cdot$；
• 一個全序 $\le$；

而且滿足：

• $(R,0,1,+,\cdot,\le)$ 是有序域；
• $(R,\le)$ 是完備的。

這個定義把整個第 4 章濃縮成一句話：

實數就是一個沒有遺漏最小上界與最大下界的有序域。

定理

實數的唯一性

任何兩個完備有序域，都存在保持加法、乘法與次序的同構。因此，不同的有效 構造都可以視為同一個 $R$ 的模型。

這裏陳述唯一性定理，不給出證明。

這個定理解釋了為甚麼不同構造可以代表同一個 $R$。Dedekind 分割和 Cauchy 序列的內部形式很不同；但只要兩個構造都滿足完備有序域公理，它們 在本課程關心的結構上就是同一個實數系統。

例題

為甚麼 Q 還不是實數模型

$Q$ 已經滿足有序域那一部分。失敗的地方在於完備性。

集合

$$S=\{x\in Q\mid x^2\lt 2\}$$

在 $Q$ 中非空而且上有界，卻沒有有理 supremum。因此 $Q$ 很接近目標， 但仍然不是實數系統。

為甚麼無窮小數還不是完整答案

第一個直覺通常是：

「實數不就是一串無窮小數嗎？」

這個直覺有幫助，但 需要注意的是，它還不是最乾淨的定義。

至少有兩個原因：

• 同一個實數可能有多種小數表示，例如 $0.9999\ldots = 1$；
• 小數展開迫使你選擇某個基底，例如十進位，但實數的概念本身不應依賴 這種任意選擇。

因此，這裏並不是否定小數直覺，而是把它視為引路工具，帶你走向更結 構化的構造。

近似的想法

假設一個實數非正式地寫成

$$r=10.234890234809234\ldots$$

那麼我們可以用有理數由下方與上方去逼近它：

$$10\lt r\lt 11,$$ $$10.2\lt r\lt 10.3,$$ $$10.23\lt r\lt 10.24,$$

如此類推。

每增加一位小數，就縮小一個有理區間。最終的構造必須說明：為甚麼這些有限 比較會決定同一條邊界。

例題

由下、由上的有理圍欄

若有一個小數展開 $r=3.1415\ldots$，那前幾個有理圍欄可以寫成

$$3\lt r\lt 4,\qquad 3.1\lt r\lt 3.2,\qquad 3.14\lt r\lt 3.15.$$

每多看一位小數，就得到一個更窄的有理區間去包含 $r$。

把有理數分成左右兩邊

從這種近似觀點出發，實數 $r$ 會決定兩個有理數集合：

$$A=\{q\in Q\mid q\lt r\}, \qquad B=\{q\in Q\mid q\ge r\}.$$

關鍵不只在符號，而在思想：實數可以被看成一條邊界，把所有有理數分成 左邊一堆與右邊一堆。

這正是 Dedekind 分割構造的動機：用與有理數的比較來確定邊界。

從近似圖像走向構造

上面的集合用已有的實數 $r$ 描述哪些有理數位於它的下方。這提供了構造 動機，但構造本身必須在不預先假設 $r$ 存在的前提下定義邊界。下一篇會 用有理數下集的公理完成這一步。先來看完備有序域這個目標對近似有何要求。

不循環地推出 Archimedean 性質

不能把 $R$ 的 Archimedean 性質當作沒有說明的事實。它可以從完備性推出。 反設自然數集在 $R$ 中有上界。由最小上界原理，它有上確界 $s$。因為 $s-1\lt s$，$s-1$ 不可能是上界，所以存在自然數 $n$ 使 $s-1\lt n$。於是 $n+1\gt s$，這與 $s$ 是上界矛盾。因此自然數在 $R$ 中無上界；對每個 $x\in R$，都存在 $n\in N$ 使 $n\gt x$。

定理

Archimedean 近似原理

對每個 $x\in R$，存在 $n\in N$ 使 $n\gt x$。等價地，對每個 $\varepsilon\gt 0$，存在 $n\in N$ 且 $n\ge1$ 使 $1/n\lt \varepsilon$。這個結論來自 完備性，不是先假設小數展開已經構造了實數直線。

例題

選擇有理圍欄的寬度

給定 $\varepsilon\gt 0$，取 $n\gt 1/\varepsilon$，便有 $1/n\lt \varepsilon$。 如果一個近似區間的寬度不超過 $1/n$，它就小於 $\varepsilon$。這說明 逐位小數圍欄為甚麼能夠任意變窄。

常見錯誤

不要把結論當成構造本身

在還沒有證明圍欄確定邊界以前，就說「取這個實數的小數展開」，會把要 構造的對象預先放進論證。應先使用次序和完備性，再用 Archimedean 性質 控制近似寬度。

稠密性與有理圍欄

Archimedean 性質不只是抽象的無界性；它能按指定精度在任何實數兩側放置 有理數。下一節會把這個網格論證完整寫出：先用良序性選擇最小整數，再 除以正整數，得到有理圍欄。這個機制不依賴十進制表示。

定理

帶指定誤差的有理近似

對每個 $x\in R$ 和 $\varepsilon\gt 0$，存在 $q\in Q$ 使 $|x-q|\lt \varepsilon$。把下文的區間論證應用到 $x-\varepsilon$ 和 $x+\varepsilon$ 即可。

例題

在指定區間中找有理數

取 $n=1000$，則 $1/n=0.001\lt 1.42-1.41$。嚴格大於 $1000(1.41)=1410$ 的最小整數是 $m=1411$，所以 $m/n=1.411$ 嚴格 位於 $(1.41,1.42)$ 內。若誤取 $n=100$，得到的會是右端點 $1.42$； 這說明網格寬度的嚴格不等式不可省略。

例題

為甚麼仍然需要完備性

稠密性說明任何兩個實數之間有有理點，卻不說明有界的有理子集有有理端點。 $\sqrt{2}$ 以下可以有無窮多個稠密有理數，而邊界仍是無理實數。近似和 取到是不同的命題。

三歧性、絕對值與誤差控制

全序公理給出任何兩個實數的三種且僅有三種可能：$x\lt y$、$x=y$ 或 $y\lt x$。特別地，每個實數都正、為零或負；差的符號也決定它位於一個區 間的哪一側。這正是有理 cut 版本中的三歧性：三種情形既窮盡所有可 能，又互相排斥，因此之後的證明可以按符號分類而不遺漏情況。

定理

有理誤差項的三角不等式

對 $u,v\in Q$（在有序域公理建立後也對 $u,v\in R$），有

$$|u+v|\le |u|+|v|.$$

因此若 $|x-q|\lt\varepsilon$ 且 $|q-r|\lt\delta$，則 $|x-r|\lt\varepsilon+\delta$。

證明第一條時，若 $u+v\ge0$，則 $|u+v|=u+v\le|u|+|v|$，因為 $u\le|u|$ 且 $v\le|v|$。若 $u+v\lt0$，則 $|u+v|=-(u+v)=(-u)+(-v)\le|u|+|v|$，因為 $-u\le|u|$ 且 $-v\le|v|$。兩種符號情形涵蓋所有可能。對於推論，把 $x-r=(x-q)+(q-r)$，再應用三角不等式：

$$|x-r|\le|x-q|+|q-r|\lt\varepsilon+\delta.$$

這就是網格估計有用的原因：誤差會被定量控制，而不只是「看起來很小」。

不隱藏選擇的有理網格

稠密性論證可以完全寫成明確步驟。給定 $x\lt y$，先取 $n\in N$、$n\ge1$，使 $1/n\lt y-x$。由 Archimedean 性質，嚴格大於 $nx$ 的整數集合非空；把它平移到 $N$ 後用良序性取其中最小元 $m$。最小性給出

$$m-1\le nx\lt m.$$

因為 $n>0$，除以 $n$ 不改變不等號方向，於是

$$x\lt\frac mn\le x+\frac1n\lt y.$$

$m/n$ 是有理數，而且嚴格位於所要求的區間。嚴格條件 $1/n\lt y-x$ 不可改成非嚴格條件；否則構造出的分數可能恰好落在 $y$ 上。

例題

一個三段式近似問題

設 $x\in R$ 且 $\varepsilon>0$。取 $n>2/\varepsilon$，並把網格構造應用 到區間 $(x-\varepsilon/2,x+\varepsilon/2)$，得到有理數 $q$，滿足 $|x-q|\lt\varepsilon/2\lt\varepsilon$。若另一個有理數 $r$ 滿足 $|q-r|\lt\varepsilon/2$，三角不等式給出 $|x-r|\lt\varepsilon$。所以同一 個證明既產生有理近似，也給出替換一個近似時的嚴格容差。

例題

有理圍欄附近的三歧性檢查

設實數 $x$ 滿足 $1.41\lt x\lt1.42$。三歧性說明 $x\lt1.411$、$x=1.411$、 $1.411\lt x$ 恰有一個成立。若第三種成立，$q=1.411=1411/1000$ 是嚴格 位於 $x$ 下方且仍在原區間內的有理數；若第一種成立，則把 $1.41$ 當作 下圍欄並用更細網格重複。等號情形並不是錯誤，而是說明有理圍欄已經取 到了 $x$。保留三種情形，可以避免把嚴格不等號悄悄換成非嚴格不等號。

現在可以看清每個假設的角色：完備性提供目標實數邊界，並透過上確界論證 推出 Archimedean 性質；三歧性提供確定的一側比較；良序性選擇所需的最小 整數；有序域相容性允許除以正整數 $n$。有理稠密性是這些成分共同產生的 結果，不能拿來替代完備性。

還要區分近似程序與數的構造。實數 $x$ 已經存在時，網格引理可以在它兩 側找到有理數，三角不等式可以比較這些近似的誤差。真正的構造還要說明哪 些近似資料代表同一個對象，證明所得對象支援域運算，並驗證次序完備。小 數記號本身不會完成這些工作。把有理數分成左右兩邊之所以有動機，是因 為它記錄了邊界資料；下一節的 Dedekind cut 才會把資料變成正式對象。

依賴次序也很重要。只有先建立 Archimedean 估計，才能選擇網格寬度；而 Archimedean 估計是把最小上界原理應用於自然數集、由完備性推出的，因此 不能在這個推導中暗中把它當作前提。估計成立後，才由良序性和正數除法推 出有理稠密性。這樣的依賴鏈保持第一次近似構造不循環，也清楚區分公理 目標與後面的正式構造。

快速檢查

思考檢查

Q 缺少哪個性質，所以不能成為實數模型？

對照上面的正式定義。

解答 · 答案

$Q$ 缺少完備性。它雖然是有序域，但不是每個非空有界子集都能在 $Q$ 內找到 supremum 與 infimum。

思考檢查

不等式 $10.23<r<10.24$ 告訴了你關於 r 的甚麼資訊？

用有理近似的語言回答。

解答 · 答案

它把 $r$ 放進一個很窄的有理區間內，也就是給出一個下方的有理近似與一 個上方的有理近似去夾住 $r$。

練習

思考檢查

設 $x\in R$ 且 $\varepsilon>0$。找有理近似 $q,r$，使 $|x-q|<\varepsilon/3$、$|q-r|<2\varepsilon/3$，並證明 $|x-r|<\varepsilon$。

兩次應用有理稠密性，分別記錄兩部分誤差。

解答 · 參考解答

由有理稠密性可取 $q\in Q$，使 $|x-q|<\varepsilon/3$。再以 $2\varepsilon/3$ 為容差近似 $q$，得到 $r\in Q$。三角不等式給出

$$|x-r|\le|x-q|+|q-r|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{2\varepsilon}{3}=\varepsilon.$$

兩部分容差不必相等；關鍵是總和不超過所要求的誤差範圍。論證不需要指定 任何小數展開。

思考檢查

假設用無限數字串構造實數。除了為每個數字串指定邊界，還需要驗證哪些關於相等和運算的性質？

用 $1.25000\ldots=1.24999\ldots$ 檢驗相等的含義。

解答 · 參考解答

構造必須把表示同一邊界的不同數字串認作同一對象。加法、乘法與次序的 結果必須不依賴代表串的選擇；還要驗證有序域公理與完備性。近似記號很 有用，但不能單獨建立這些結構性質。

相關筆記

請先讀 4.3 完備性與 Q 的缺口。 然後繼續讀 4.5 Dedekind 分割與 Q 的嵌入， 那一頁會把這裡提到的 $Q$ 的左右分割正式變成實數的嚴格定義。