4.4 實數公理與第一次近似構造

更大的有序數系需要滿足甚麼？

有理數已經支持加法、減法、乘法和非零除法，次序也與這些運算相容。然而，有理數集合 $S=\{q\in Q:q^2\lt2\}$ 非空且有上界，卻在 $Q$ 中沒有最小上界。因此，擴大數系時，除了保留有理數的運算，還必須補上這樣的界。

完備有序域同時規定了這兩項要求。提出這個目標，並不等於已經證明模型存在。下文的 $R$ 暫指一個滿足這些公理的模型；Dedekind 構造將只用有理數資料建立這樣的模型。

正式目標

定義 4.4.1

（實數模型）

集合 $R$ 稱為實數模型，如果它帶有：

• 元素 $0,1\in R$；
• 二元運算 $+$ 與 $\cdot$；
• 一個全序 $\le$；

而且滿足：

• $(R,0,1,+,\cdot,\le)$ 是有序域；
• $(R,\le)$ 是完備的。

完備性要求每個非空且有上界的子集都有最小上界；等價地，每個非空且有下界的子集都有最大下界。這些界屬於所在的域，未必屬於子集本身。

定理 4.4.2

（實數的唯一性）

任何兩個完備有序域，都存在保持加法、乘法與次序的同構。因此，不同的有效構造都可以視為同一個 $R$ 的模型。

這裏陳述唯一性定理，不給出證明。

這個定理解釋了為甚麼不同構造可以代表同一個 $R$。Dedekind 分割和 Cauchy 序列的內部形式很不同；但只要兩個構造都滿足完備有序域公理，它們在本課程關心的結構上就是同一個實數系統。

例題 4.4.3

（為甚麼 Q 還不是實數模型）

$Q$ 已經滿足有序域那一部分。失敗的地方在於完備性。

集合

$$S=\{x\in Q\mid x^2\lt 2\}$$

在 $Q$ 中非空而且上有界，卻沒有有理 supremum。因此 $Q$ 很接近目標，但仍然不是實數系統。

為甚麼無窮小數還不是完整答案

無窮小數提供一連串有理截斷值，因此適合用來記錄近似資料，但這還沒有定義數字串之間的相等關係或運算。例如，熟悉的 $0.9999\ldots=1$ 提醒我們：不同數字串可能需要表示同一對象；這個等式的正式證明須待構造完成後才能給出。此外，十進制只是記號的選擇，有序域本身不應依賴這種選擇。

近似的想法

假設模型 $R$ 及其中的小數表示已經給定，以

$$r=10.234890234809234\ldots$$

為例，可以用有理數從下方與上方逼近它：

$$10\lt r\lt 11,$$ $$10.2\lt r\lt 10.3,$$ $$10.23\lt r\lt 10.24,$$

如此類推。

每增加一位小數，就縮小一個有理區間。最終的構造必須說明：為甚麼這些有限比較會決定同一條邊界。

例題 4.4.4

（由下、由上的有理圍欄）

若有一個小數展開 $r=3.1415\ldots$，那前幾個有理圍欄可以寫成

$$3\lt r\lt 4,\qquad 3.1\lt r\lt 3.2,\qquad 3.14\lt r\lt 3.15.$$

每多看一位小數，就得到一個更窄的有理區間去包含 $r$。

把有理數分成左右兩邊

在這樣的模型中，$r$ 決定兩個有理數集合：

$$A=\{q\in Q\mid q\lt r\}, \qquad B=\{q\in Q\mid q\ge r\}.$$

這兩個集合保存了所有有理數與 $r$ 的比較，而不限於有限次近似。不過，定義仍然使用了 $r$，因此不能單靠它構造 $r$。

若比較規則只用有理數運算，就可以反過來由集合定義新對象。例如，

$$C=\{q\in Q:q\le0\text{ 或 }q^2\lt2\}$$

只用有理數便記錄了上述缺口的整個下側，沒有預先使用實數平方根。所有非正有理數都必須包括在內，因為 $S$ 本身並不向下封閉。 Dedekind 分割構造 將把這類下集作為數，並定義其運算。以下先推導任何完備有序域模型都必須滿足的性質；這些條件下的推論，並不是模型存在的前提。

不循環地推出 Archimedean 性質

不能把 $R$ 的 Archimedean 性質當作沒有說明的事實。它可以從完備性推出。反設自然數集在 $R$ 中有上界。由最小上界原理，它有上確界 $s$。因為 $s-1\lt s$，$s-1$ 不可能是上界，所以存在自然數 $n$ 使 $s-1\lt n$。於是 $n+1\gt s$，這與 $s$ 是上界矛盾。因此自然數在 $R$ 中無上界；對每個 $x\in R$，都存在 $n\in N$ 使 $n\gt x$。

定理 4.4.5

（Archimedean 近似原理）

對每個 $x\in R$，存在 $n\in N$ 使 $n\gt x$。等價地，對每個 $\varepsilon\gt 0$，存在 $n\in N$ 且 $n\ge1$ 使 $1/n\lt \varepsilon$。這個結論來自完備性，不是先假設小數展開已經構造了實數直線。

例題 4.4.6

（選擇有理圍欄的寬度）

給定 $\varepsilon\gt 0$，取 $n\gt 1/\varepsilon$，便有 $1/n\lt \varepsilon$。如果一個近似區間的寬度不超過 $1/n$，它就小於 $\varepsilon$。這說明逐位小數圍欄為甚麼能夠任意變窄。

常見錯誤

（不要把結論當成構造本身）

在還沒有證明圍欄確定邊界以前，就說「取這個實數的小數展開」，會把要構造的對象預先放進論證。應先使用次序和完備性，再用 Archimedean 性質控制近似寬度。

稠密性與有理圍欄

Archimedean 性質不只是抽象的無界性；它能按指定精度在任何實數兩側放置有理數。下一節會把這個網格論證完整寫出：先用良序性選擇最小整數，再除以正整數，得到有理圍欄。這個機制不依賴十進制表示。

定理 4.4.7

（帶指定誤差的有理近似）

對每個 $x\in R$ 和 $\varepsilon\gt 0$，存在 $q\in Q$ 使 $|x-q|\lt \varepsilon$。把下文的區間論證應用到 $x-\varepsilon$ 和 $x+\varepsilon$ 即可。

例題 4.4.8

（在指定區間中找有理數）

取 $n=1000$，則 $1/n=0.001\lt 1.42-1.41$。嚴格大於 $1000(1.41)=1410$ 的最小整數是 $m=1411$，所以 $m/n=1.411$ 嚴格位於 $(1.41,1.42)$ 內。若誤取 $n=100$，得到的會是右端點 $1.42$；這說明網格寬度的嚴格不等式不可省略。

例題 4.4.9

（為甚麼仍然需要完備性）

任意兩個不同有理數之間都有另一個有理數，即兩者的中點。然而， $S=\{q\in Q:q^2\lt2\}$ 仍然沒有有理上確界。因此，在給定端點之間找到數，與為每個非空且有上界的集合找到最小上界，是不同的要求。

三歧性、絕對值與誤差控制

全序公理給出任何兩個實數的三種且僅有三種可能：$x\lt y$、$x=y$ 或 $y\lt x$。特別地，每個實數都正、為零或負；差的符號也決定它位於一個區間的哪一側。這三種情形既窮盡所有可能，又互相排斥，因此證明可以按符號分類而不遺漏情況。

定理 4.4.10

（有理誤差項的三角不等式）

對 $u,v\in Q$（在有序域公理建立後也對 $u,v\in R$），有

$$|u+v|\le |u|+|v|.$$

因此若 $|x-q|\lt\varepsilon$ 且 $|q-r|\lt\delta$，則 $|x-r|\lt\varepsilon+\delta$。

證明第一條時，若 $u+v\ge0$，則 $|u+v|=u+v\le|u|+|v|$，因為 $u\le|u|$ 且 $v\le|v|$。若 $u+v\lt0$，則 $|u+v|=-(u+v)=(-u)+(-v)\le|u|+|v|$，因為 $-u\le|u|$ 且 $-v\le|v|$。兩種符號情形涵蓋所有可能。對於推論，把 $x-r=(x-q)+(q-r)$，再應用三角不等式：

$$|x-r|\le|x-q|+|q-r|\lt\varepsilon+\delta.$$

這就是網格估計有用的原因：誤差會被定量控制，而不只是「看起來很小」。

不隱藏選擇的有理網格

稠密性論證可以完全寫成明確步驟。給定 $x\lt y$，先取 $n\in N$、$n\ge1$，使 $1/n\lt y-x$。由 Archimedean 性質，嚴格大於 $nx$ 的整數集合非空；將它平移到 $N$ 後，用 自然數的良序性 取其中最小元 $m$。這條良序性質由歸納法推出，證明列於後面的次序討論。最小性給出

$$m-1\le nx\lt m.$$

因為 $n>0$，除以 $n$ 不改變不等號方向，於是

$$x\lt\frac mn\le x+\frac1n\lt y.$$

$m/n$ 是有理數，而且嚴格位於所要求的區間。嚴格條件 $1/n\lt y-x$ 不可改成非嚴格條件；否則構造出的分數可能恰好落在 $y$ 上。

例題 4.4.11

（一個三段式近似問題）

設 $x\in R$ 且 $\varepsilon>0$。取 $n>2/\varepsilon$，並把網格構造應用到區間 $(x-\varepsilon/2,x+\varepsilon/2)$，得到有理數 $q$，滿足 $|x-q|\lt\varepsilon/2\lt\varepsilon$。若另一個有理數 $r$ 滿足 $|q-r|\lt\varepsilon/2$，三角不等式給出 $|x-r|\lt\varepsilon$。所以同一個證明既產生有理近似，也給出替換一個近似時的嚴格容差。

例題 4.4.12

（有理圍欄附近的三歧性檢查）

設實數 $x$ 滿足 $1.41\lt x\lt1.42$。三歧性說明 $x\lt1.411$、$x=1.411$、 $1.411\lt x$ 恰有一個成立。若第三種成立，$q=1.411=1411/1000$ 是嚴格位於 $x$ 下方且仍在原區間內的有理數；若第一種成立，則把 $1.41$ 當作下圍欄並用更細網格重複。等號情形並不是錯誤，而是說明有理圍欄已經取到了 $x$。保留三種情形，可以避免把嚴格不等號悄悄換成非嚴格不等號。

這裏的依賴關係是：完備性推出 Archimedean 性質，再推出有理稠密性。最後一步還使用最小整數的選擇，以及除以正整數時不等號方向不變。這些結果控制了已給定模型中的近似；要構造模型，仍須定義對象的相等關係、運算和完備的次序，小數記號本身不能建立這些性質。

快速檢查

快速檢查

（Q 缺少哪個性質，所以不能成為實數模型？）

對照上面的正式定義。

解答 · 答案

$Q$ 缺少完備性。它雖然是有序域，但非空且有上界的子集未必在 $Q$ 內有上確界；對偶地，非空且有下界的子集也未必在 $Q$ 內有下確界。

快速檢查

（不等式 $10.23<r<10.24$ 告訴了你關於 r 的甚麼資訊？）

用有理近似的語言回答。

解答 · 答案

它把 $r$ 放進一個很窄的有理區間內，也就是給出一個下方的有理近似與一個上方的有理近似去夾住 $r$。

練習

快速檢查

（設 $x\in R$ 且 $\varepsilon>0$。找有理近似 $q,r$，使 $|x-q|<\varepsilon/3$、$|q-r|<2\varepsilon/3$，並證明 $|x-r|<\varepsilon$。）

兩次應用有理稠密性，分別記錄兩部分誤差。

解答 · 參考解答

由有理稠密性可取 $q\in Q$，使 $|x-q|<\varepsilon/3$。再以 $2\varepsilon/3$ 為容差近似 $q$，得到 $r\in Q$。三角不等式給出

$$|x-r|\le|x-q|+|q-r|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{2\varepsilon}{3}=\varepsilon.$$

兩部分容差不必相等；關鍵是總和不超過所要求的誤差範圍。論證不需要指定任何小數展開。

快速檢查

（假設用無限數字串構造實數。除了為每個數字串指定邊界，還需要驗證哪些關於相等和運算的性質？）

用 $1.25000\ldots=1.24999\ldots$ 檢驗相等的含義。

解答 · 參考解答

構造必須把表示同一邊界的不同數字串認作同一對象。加法、乘法與次序的結果必須不依賴代表串的選擇；還要驗證有序域公理與完備性。近似記號很有用，但不能單獨建立這些結構性質。

相關筆記

請先讀 4.3 完備性與 Q 的缺口。然後繼續讀 4.5 Dedekind 分割與 Q 的嵌入，那一頁會把這裡提到的 $Q$ 的左右分割正式變成實數的嚴格定義。