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下一節: 1.1 命題邏輯
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MATH1090 筆記裏的內容
- 定理卡
- 78
- 定義
- 61
- 反例
- 1
- 概念視角
- 1
- 思想史
- 2
- 證明透視
- 1
數字只算這門課 23 節公開筆記裏寫了甚麼，不是網上已記錄的關係。目前其中 0 節已細緻地記錄到網上。
在網上定理卡 78 · 定義 61 · 反例 1 · 概念視角 1 · 思想史 2 · 證明透視 1
第 1 章 · 3 節
邏輯
處理陳述、連接詞與量詞的推理工具。
第 2 章 · 2 節
集合與關係
基本的集合語言、函數與關係。
第 3 章 · 5 節
由構造得到的數系
自然數、整數與有理數如何構造，以及 Q 還欠缺甚麼。
- 3.1
自然數與 Peano 公理
從 Peano 觀點認識自然數，並理解後繼運算真正代表甚麼。
- 3.2
歸納法與遞歸算術
把歸納法當作證明模式，並能讀懂 + 和 · 的遞歸公式而不丟失基本情況。
- 3.3
由等價類構造整數
用自然數對的等價類構造整數，並把每個等價類讀成一個有符號數。
- 3.4
有理數與良定運算
把有理數定義成等價類，並檢查常用公式不會依賴你選哪個代表元。
- 3.5
Q 的缺口與 sqrt(2)
只用有理數的平方與上界描述 Q 的缺口，不預先假設邊界處已有一個實數。
第 4 章 · 6 節
序與完備性
全序、上下界、上確界與下確界，以及 Q 與 R 的完備性差異。
- 4.1
全序與有序域
先把全序與偏序分開，再理解 Z 與 Q 的熟悉次序如何與域運算配合。
- 4.2
上下界、上確界與下確界
分清最大值、最小值與上界、下界，再理解上確界與下確界如何提供真正需要的極值語言。
- 4.3
完備性與 Q 的缺口
用有理條件定義的有界集合，說明有序域的運算性質為何不能保證完備性。
- 4.4
實數公理與第一次近似構造
把實數視為目標中的完備有序域，然後用小數近似去建立第一次構造的動機。
- 4.5
Dedekind 分割與 Q 的嵌入
把實數定義成 Q 的左右分割，理解有理分割為何能忠實嵌入 Q，並看清序與運算如何在分割上重建。
- 4.6
小數展開與無理數
把無限小數的直覺轉成分割，並用 sqrt(2) 看清無理數如何住在完成後的數系裡。
第 5 章 · 3 節
序列與最初的極限理論
序列、Cauchy 收斂，以及函數極限的第一輪 ε-δ 處理。
- 5.1
序列與 epsilon-N 極限
把序列視作定義在 N 上的函數，再透過具體例子學會 ε-N 的收斂定義。
- 5.2
Cauchy 序列與另一個實數模型
理解 Cauchy 序列如何抓住內部收斂，再勾勒有理 Cauchy 序列的等價類如何給出另一個 R 的模型。
- 5.3
Delta-epsilon 極限、極限定律與連續性
由序列極限走向函數極限，學會 ε-δ 定義，並整理第一套判別不存在、極限定律與連續性的工具。
第 6 章 · 3 節
大型集合
基數、可數性、Cantor 定理、選擇原則、區間、Cantor 集、稠密性與良序。
- 6.1
基數、可數性與基數不等式
用雙射、單射與明確的可數枚舉比較有限與無限集合大小。
- 6.2
Cantor 定理、連續統與選擇公理
用 Cantor 定理證明冪集嚴格更大，再把連續統假設與選擇公理放入脈絡。
- 6.3
區間、Cantor 集、稠密性與良序
研究區間、Cantor 集、稠密性與良序，分清不同的大小與次序概念。
第 7 章 · 1 節
帶結構的集合
二元運算，以及建立在集合之上的第一批代數結構。
- 7.1
二元運算、么半群與群
由純集合走向二元運算，再用代數公理分清么半群與群。