MATH1090：集合論

從邏輯與集合建立嚴謹的數學推理，再構造數系、理解完備性與極限，並比較無窮集合。由命題開始，逐步學會以明確假設組織證明。

1.1 命題邏輯

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章節 1

邏輯

處理陳述、連接詞與量詞的推理工具。

章節 2

基本的集合語言、函數與關係。

章節 3

自然數、整數與有理數如何構造，以及 Q 還欠缺甚麼。

章節 4

全序、上下界、上確界與下確界，以及 Q 與 R 的完備性差異。

4.1 全序與有序域
先把全序與偏序分開，再理解 Z 與 Q 的熟悉次序如何與域運算配合。
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4.2 上下界、上確界與下確界
分清最大值、最小值與上界、下界，再理解上確界與下確界如何提供真正需要的極值語言。
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4.3 完備性與 Q 的缺口
精確定義完備性，並用 `sqrt(2)` 下方那個有理數集合去看出 Q 仍然有真正的缺口。
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4.4 實數公理與第一次近似構造
把實數視為目標中的完備有序域，然後用小數近似去建立第一次構造的動機。
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4.5 Dedekind cut 與 Q 的嵌入
把實數定義成 Q 的左右分割，理解有理 cut 為何能忠實嵌入 Q，並看清序與運算如何在 cut 上重建。
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4.6 小數展開與無理數
把無限小數的直覺轉成 cut，並用 sqrt(2) 看清無理數如何住在完成後的數系裡。
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章節 5

序列、Cauchy 收斂，以及函數極限的第一輪 delta-epsilon 處理。

5.1 序列與 epsilon-N 極限
把序列視作定義在 N 上的函數，再透過具體例子學會 epsilon-N 的收斂定義。
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5.2 Cauchy 序列與另一個實數模型
理解 Cauchy 序列如何抓住內部收斂，再勾勒有理 Cauchy 序列的等價類如何給出另一個 R 的模型。
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5.3 Delta-epsilon 極限、極限定律與連續性
由序列極限走向函數極限，學會 delta-epsilon 定義，並整理第一套判別不存在、極限定律與連續性的工具。
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章節 6

基數、可數性、Cantor 定理、選擇原則、區間、Cantor set、稠密性與良序。

6.1 基數、可數性與基數不等式
用雙射、單射與明確的可數枚舉比較有限與無限集合大小。
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6.2 Cantor 定理、連續統與選擇公理
用 Cantor 定理證明冪集嚴格更大，再把 continuum hypothesis 與選擇公理放入脈絡。
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6.3 區間、Cantor set、稠密性與良序
研究區間、Cantor set、稠密性與良序，分清不同的大小與次序概念。
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章節 7

二元運算，以及建立在集合之上的第一批代數結構。