3. 集合、像與原像

學習目標與定義

操作並集、交集、補集和笛卡爾積；區分像與原像；用量詞證明函數性質。所有補集均相對於固定全集 $U$。相等 $A=B$ 意味著 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。

並集 $A\cup B$ 包含至少屬於其中一個集合的元素；交集 $A\cap B$ 包含同時屬於兩者的元素；$A\setminus B$ 包含屬於 $A$ 但不屬於 $B$ 的元素。冪集 $\mathcal P(A)$ 是 $A$ 的所有子集組成的集合。笛卡爾積 $A\times B$ 是滿足 $a\in A,b\in B$ 的有序對 $(a,b)$ 的集合；一般有 $A\times B\ne B\times A$。

對函數 $f:X\to Y$ 和子集 $A\subseteq X$、$B\subseteq Y$，定義 $f(A)=\{f(x):x\in A\}$ 和 $f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}$。無論反函數是否存在，後者都有定義。

定理：原像保持集合運算

對 $B,C\subseteq Y$，

$$f^{-1}(B\cup C)=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(C),\quad f^{-1}(B\cap C)=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(C),$$

且 $f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$。

證明。 對 $x\in X$，屬於第一式左邊意味著 $f(x)\in B$ 或 $f(x)\in C$，恰等於屬於右邊。將“或”換成“且”得到交集恆等式。屬於補集的原像意味著 $f(x)\notin B$，恰是 $X$ 中的 $x\notin f^{-1}(B)$。每個邏輯等價都同時證明兩個包含關係。

像保持並集，但對交集只有 $f(A\cap D)\subseteq f(A)\cap f(D)$ 自動成立：來自同時屬於兩集合的輸入的輸出位於兩個像中。反方向不一定成立，因為相同輸出可能來自不同輸入。

定理：單射與像的交集

函數 $f:X\to Y$ 是單射，當且僅當對每個 $A,D\subseteq X$ 都有 $f(A\cap D)=f(A)\cap f(D)$。

證明。 若 $f$ 單射且 $y$ 位於兩個像中，寫 $y=f(a)=f(d)$，其中 $a\in A,d\in D$。單射性給出 $a=d\in A\cap D$，得到缺失的包含方向。反過來，若 $f(a)=f(d)$ 且 $a\ne d$，取 $A=\{a\}$、$D=\{d\}$。它們交集為空，但像有交集，與所假設的等式矛盾。因此不同輸入不會有相同輸出。

例題

集合恆等式顯示非單射性。 對 $\mathbb R$ 上的 $f(x)=x^2$，$A=\{-2\}$ 與 $D=\{2\}$ 交集為空，但兩者的像都是 $\{4\}$。原像的表現不同：$f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup[1,2]$。

任意指標集的德摩根律。 對子集 $A_i\subseteq U$，元素不屬於 $\bigcup_iA_i$，當且僅當它不屬於其中任何集合，等價於它屬於每個補集。因此 $U\setminus\bigcup_iA_i=\bigcap_i(U\setminus A_i)$。若指標集為空，並集為空集，交集為 $U$，約定仍一致。

分層練習

1. 基礎。 用元素關係證明 $A\setminus B=A\cap B^c$。
2. 核心。 對 $f:\mathbb R\to\mathbb R$、$f(x)=x^2-1$，求 $f([-2,1])$ 和 $f^{-1}((-1,3])$。
3. 核心。 證明 $A\subseteq f^{-1}(f(A))$。何時對每個子集 $A$ 都取等？
4. 證明。 證明 $f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$，並推出滿射性的一個刻畫。

詳解

1. 對 $x\in U$，$x\in A\setminus B$ 意味著 $x\in A$ 且 $x\notin B$，恰是 $x\in A\cap B^c$。
2. 在 $[-2,1]$ 上，$x^2$ 取遍 $[0,4]$，故像為 $[-1,3]$。原像條件為 $-1<x^2-1\le3$，即 $0<x^2\le4$，得到 $[-2,0)\cup(0,2]$。
3. 若 $x\in A$，則 $f(x)\in f(A)$，證明包含關係。若 $f$ 單射，右邊的任意 $x$ 滿足 $f(x)=f(a)$、其中 $a\in A$，故 $x=a\in A$。反過來，對單元素集 $A=\{a\}$ 取等可排除另一個輸入有相同輸出。因此該條件恰為單射性。
4. 屬於左邊意味著存在 $x$ 使 $y=f(x)$ 且 $f(x)\in B$，恰等價於 $y\in B$ 且 $y\in f(X)$。因此對每個 $B\subseteq Y$ 都等於 $B$，當且僅當 $f(X)=Y$，即滿射（反向蘊含可取 $B=Y$）。

總結與術語

像追蹤指定輸入集合的輸出；原像收集輸出落入指定目標集合的全部輸入。冪集以子集為元素。雙重包含分別證明集合相等的兩個方向。寫出元素條件可防止無效地約去函數，並精確顯示何處需要單射或滿射。