置换群与二面体群

正多边形的对称结合了循环旋转群和改变旋转方向的反射。置换使这些操作精确且有限。本章展开轮换计算，证明二面体群的标准形式，并将三角形的对称与三个顶点的全置换群联系起来。

1 置换与不相交轮换

群 $S_n$ 由 $\{1,\ldots,n\}$ 的所有双射在复合下组成。全章约定 $\sigma\tau$ 表示先应用 $\tau$。轮换 $(a_1\ \cdots\ a_k)$ 将每一项映到下一项，将最后一项映回第一项，并固定其他所有元素。

每个置换都可分解为不相交轮换。从一个元素开始，反复追踪它的像。有限性迫使某个值重复，而双射性使第一次重复必定回到起点；否则重复值会有两个不同前驱。所得轨道是一个轮换。再从未用的元素重复此过程。不同轨道不相交，因此它们的轮换可交换，且共同描述整个置换。除不相交轮换的排列次序及每个轮换所写项的循环移动外，这种分解唯一。

一个 $k$-轮换恰在迭代次数为 $k$ 的倍数时使所有受影响的元素回到原处。因此，长度为 $k_1,\ldots,k_r$ 的不相交轮换的乘积，其阶为 $\operatorname{lcm}(k_1,\ldots,k_r)$。对于 $(1\ 3\ 5)(2\ 4)$，阶为 6，而不是和 5；在其他例子中也未必是长度的乘积。

复合例。 设 $\sigma=(1\ 2\ 3)$、$\tau=(1\ 2)$。追踪各输入得到 $\tau\sigma=(2\ 3)$：1 回到 1，2 到 3，3 到 2。相反，$\sigma\tau=(1\ 3)$。改变约定会改变计算，而不会改变群本身，因此计算前应说明约定。

2 显式构造二面体群

固定 $n\ge3$，用 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ 标记多边形顶点。令 $r(k)=k+1$、$s(k)=-k$。它们是满足下式的置换：

$$r^n=e,\qquad s^2=e,\qquad sr=r^{-1}s.$$

这里将它们生成的群记作 $D_n$，其阶为 $2n$。有些书改用下标 $2n$；明确写出阶消除了记号歧义。

利用 $sr^a=r^{-a}s$，把乘积中每个 $s$ 移到右边并化简幂。每个元素均为 $r^as^\varepsilon$ 形式，其中 $0\le a<n$、$\varepsilon\in\{0,1\}$。这 $2n$ 个置换互不相同。同一类型中，零处的值区分 $a$。旋转不可能等于反射：若对每个顶点都有 $k+a=b-k$，比较 $k=0$ 和 $k=1$ 会迫使模 $n$ 有 $2=0$，这在 $n\ge3$ 时不可能。

因此标准形式不只是给出上界，而是将每个元素恰好列出一次。乘法规则为

$$(r^as^\varepsilon)(r^bs^\delta)=r^{a+(-1)^\varepsilon b}s^{\varepsilon+\delta},$$

其中旋转指数模 $n$，反射指数模 2。该公式通常比反复绘制多边形运动更快、更可靠。

3 阶、正规性与三角形

每个反射 $r^as$ 的阶为 2：

$$(r^as)^2=r^a(sr^a)s=r^ar^{-a}s^2=e,$$

且没有反射是单位元。旋转 $r^a$ 的阶为 $n/\gcd(n,a)$。旋转构成正规循环子群 $R=\langle r\rangle$：旋转共轭保持它，$s$ 的共轭将 $r^a$ 变为 $r^{-a}$。商群有两个陪集，同构于 $\mathbb Z/2\mathbb Z$，记录对称是旋转还是反射。

当 $n=3$，将顶点标为 1、2、3，取 $r=(1\ 2\ 3)$、$s=(2\ 3)$。追踪顶点可知关系 $srs=r^{-1}$ 成立。六个标准形式是六个不同置换，而 $S_3$ 恰有 $3!=6$ 个元素，所以 $D_3\cong S_3$。这不是仅仅大小相同，而是运算同构：在所给生成元下，两者都是标记顶点集上的相同变换。

对每个 $n\ge4$，$D_n$ 都是 $S_n$ 的真子群，因为 $2n<n!$。多边形对称保持邻接关系，一般置换则未必如此。例如 $D_4$ 有 8 个元素，而 $S_4$ 有 24 个。

4 分级练习

E1 基础。 将以下置换分解成不相交轮换，并求其阶：$1\mapsto4$、$4\mapsto2$、$2\mapsto1$、$3\mapsto5$、$5\mapsto3$、$6\mapsto6$。

E2 二面体群计算。 在 $D_5$ 中化简 $(r^2s)(r^3s)$，并求 $r^2$ 和 $r^2s$ 的阶。

E3 结构。 按上述约定，证明每个 $n\ge3$ 的 $D_n$ 都非阿贝尔。

E4 中心。 找出与一个反射可交换的旋转，并用它求奇数和偶数 $n$ 情形下 $D_n$ 的中心。

5 详解

S1. 分解为 $(1\ 4\ 2)(3\ 5)$，其中 6 不动。其阶为 $\operatorname{lcm}(3,2)=6$。不动点贡献长度为 1 的轮换，不改变最小公倍数。

S2. 乘积为 $r^{2-3}=r^{-1}=r^4$。旋转 $r^2$ 的阶为 $5/\gcd(5,2)=5$，而由反射计算可知 $r^2s$ 的阶为 2。

S3. 若 $sr=rs$，则关系 $sr=r^{-1}s$ 会蕴含 $r=r^{-1}$，从而 $r^2=e$。但 $r$ 的阶为 $n\ge3$，矛盾。即使每个反射都等于自身的逆，因子次序仍然重要。

S4. $sr^a=r^{-a}s$ 等于 $r^as$，当且仅当模 $n$ 有 $2a=0$。若 $n$ 为奇数，只得到 $a=0$；若 $n$ 为偶数，得到 $a=0,n/2$。没有反射与 $r$ 可交换，理由与 E3 中相同。因此，奇数 $n$ 时中心为 $\{e\}$，偶数 $n$ 时为 $\{e,r^{n/2}\}$。

小结

不相交轮换将置换组织为独立轨道。二面体群具有唯一的旋转或反射标准形式及显式乘法规则。其循环旋转子群正规，而反射将旋转反向。这些结构论证解释了群，而不依赖图形或对相同大小的猜测。