核、正规性与商结构

商可以在保持运算的同时压缩一个群。只有乘法仍不依赖代表元时，这种压缩才有用。本章推导精确的相容条件，识别由同态产生的商，并证明压缩前后子群之间的对应。

1 正规子群与相容的等价类

对于 $N\le G$，正规性指对每个 $g\in G$ 有 $gNg^{-1}=N$。这等价于 $gN=Ng$：将第一个等式右乘 $g$，或将第二个右乘 $g^{-1}$ 即可。阿贝尔群的每个子群都正规；非阿贝尔群的子群则须检查。

同态 $\phi:G\to K$ 的核正规。若 $n$ 在核中，则 $\phi(gng^{-1})=\phi(g)e\phi(g)^{-1}=e$，给出一个包含方向；以 $g^{-1}$ 代替 $g$ 得到另一个方向。注意证明包含与正规性所需相等之间的区别。

定理。 规则 $(aN)(bN)=abN$ 在左陪集上定义良好，当且仅当 $N$ 正规。

证明。 若 $N$ 正规，替换代表元为 $an_1$ 和 $bn_2$，乘积为 $ab(b^{-1}n_1b)n_2$，属于 $abN$，因此任意选择给出同一输出陪集。反之，若规则定义良好，$nN=N$ 蕴含对每个 $n\in N$ 有 $ngN=gN$，故 $g^{-1}ng\in N$。这对每个 $g$ 给出 $g^{-1}Ng\subseteq N$；对 $g^{-1}$ 的相应陈述共轭，得到反向包含。$\square$

商群 $G/N$ 的单位元为 $N$，逆元为 $(aN)^{-1}=a^{-1}N$，结合律从 $G$ 继承。投影 $\pi:G\to G/N$、$a\mapsto aN$ 满射且核为 $N$。因此正规子群恰是群同态的核。

2 第一同构定理的完整证明

对 $\phi:G\to K$，定义 $\bar\phi:G/\ker\phi\to\operatorname{im}\phi$，令 $\bar\phi(g\ker\phi)=\phi(g)$。

为证明定义良好，设 $g\ker\phi=h\ker\phi$。则 $g^{-1}h\in\ker\phi$，所以 $\phi(g)^{-1}\phi(h)=e$。反过来，两像相等给出这个核条件，也证明单射。像中每个元素都有代表 $\phi(g)$，故满射。最后，

$$\bar\phi((g\ker\phi)(h\ker\phi))=\phi(gh)=\phi(g)\phi(h).$$

因此

$$G/\ker\phi\cong\operatorname{im}\phi.$$

每一步都必要：仅写公式并不能证明它定义了同构。

行列式例。 行列式映射 $GL_2(\mathbb R)\to\mathbb R^\times$ 是同态，因为行列式相乘。它是满射：对每个非零实数 $a$，$\operatorname{diag}(a,1)$ 的行列式为 $a$。其核为行列式等于一的矩阵群 $SL_2(\mathbb R)$。因此

$$GL_2(\mathbb R)/SL_2(\mathbb R)\cong\mathbb R^\times.$$

这并不表示商保留每个矩阵元素；它恰好保留乘法性的行列式信息。

3 子群对应

对应定理。 对 $N\trianglelefteq G$，$G/N$ 的子群与包含 $N$ 的子群 $H\le G$ 双射对应，映射为 $H\mapsto H/N$ 和 $L\mapsto\pi^{-1}(L)$。正规子群对应正规子群。

证明。 由同态规律，子群的原像是子群，并包含投影的核。若 $H$ 包含 $N$，则 $H/N$ 的原像为 $H$：$gN$ 属于它意味着对某个 $h\in H$ 有 $gN=hN$，故 $g=hn\in H$。反之，投影 $\pi$ 的满射性给出 $\pi(\pi^{-1}(L))=L$。对于正规性，以 $gN$ 共轭 $hN$ 得 $(ghg^{-1})N$；利用 $N\subseteq H$，它对每个 $g$ 都属于 $H/N$ 当且仅当 $H$ 正规。$\square$

若进一步有 $N\subseteq H\trianglelefteq G$，则映射 $G/N\to G/H$、$gN\mapsto gH$ 的核为 $H/N$。第一定理给出第三同构定理：

$$(G/N)/(H/N)\cong G/H.$$

将 $\pi$ 限制在任意子群 $K\le G$ 上得到第二同构定理：核为 $K\cap N$，像为 $KN/N$，故 $K/(K\cap N)\cong KN/N$。$N$ 的正规性确保 $KN$ 是子群，因为可通过共轭将 $N$ 因子移过 $K$ 因子。

下面补充证明重新约定符号：第二同构论证中 $H\le G$ 是任意子群，$N\trianglelefteq G$ 是正规子群。第三同构论证则假设 $N\subseteq K\trianglelefteq G$ 且 $N\trianglelefteq G$。特别地，该论证中的 $G/K$ 确为群；这并未声称前面使用的任意子群都正规。

代表元失效的例子与完整投影证明

在 $S_3$ 中取 $H=\{e,(1\ 2)\}$、$b=(1\ 3)$。同一个陪集 $H$ 可用 $e$ 或 $(1\ 2)$ 作代表。以 $e$ 计算它与 $bH$ 的乘积得到 $bH$；以 $(1\ 2)$ 计算则得到 $(1\ 2)bH$，二者不同，因为 $b^{-1}(1\ 2)b=(2\ 3)\notin H$。所以代表元上的规则可能根本没有定义出陪集上的运算；单纯数出陪集个数不能补救这一问题。

下面补全第二同构定理的封闭性细节。$HN$ 含 $e$，所以非空。对 $h_1n_1,h_2n_2\in HN$，有

$$(h_1n_1)(h_2n_2)^{-1} =h_1h_2^{-1}\bigl(h_2n_1n_2^{-1}h_2^{-1}\bigr)\in HN.$$

第一个因子属于 $H$；括号中的因子由正规性属于 $N$。子群判据给出 $HN\le G$。$N$ 在 $G$ 中正规也使它在 $HN$ 中正规。限制投影 $h\mapsto hN$ 的核恰为 $H\cap N$；任意 $hn\in HN$ 的陪集都等于 $hN$，所以其像是整个 $HN/N$。这就逐一证明了定理中使用的群与映射都成立。

第三同构定理中，$gN=hN$ 给出 $h^{-1}g\in N\subseteq K$，从而 $gK=hK$。所以 $gN\mapsto gK$ 定义良好。它保持乘积，因为 $(gh)K=(gK)(hK)$；它是满射，因为每个 $gK$ 都是 $gN$ 的像。其核恰由 $k\in K$ 的陪集 $kN$ 组成，即 $K/N$。核必正规，故先得到 $K/N\trianglelefteq G/N$，再取最后的商群。

4 分级练习

E1 基础。 不枚举乘法表，证明指数为 2 的子群正规。

E2 循环群映射。 分类 $\mathbb Z/6\mathbb Z\to\mathbb Z/9\mathbb Z$ 的同态，求每个核和像。

E3 对应。 通过提升到包含 $12\mathbb Z$ 的 $\mathbb Z$ 的子群，列出 $\mathbb Z/12\mathbb Z$ 的子群。

E4 分步取商。 确定 $(\mathbb Z/18\mathbb Z)/(6\mathbb Z/18\mathbb Z)$，并明确描述自然映射。

E5 反例。 在 $S_3$ 中证明 $\langle(1\ 2)\rangle$ 不正规，并解释商乘法在哪一步失效。

5 完整解答

S1. 若 $g\in H$，陪集 $gH$ 和 $Hg$ 均等于 $H$。否则两者均为 $H$ 的补集，因为指数为 2 时左右划分都只有一个其他块。故对每个 $g$ 有 $gH=Hg$。

S2. 映射由 $a=\phi([1])$ 决定，关系 $6[1]=0$ 要求模 9 有 $6a=0$。因此 $a=0,3,6$。当 $a=0$ 时核为整个定义域、像为零。当 $a=3$ 或 6 时，核为 $\{[0],[3]\}$，像为 $\{[0],[3],[6]\}$。后两个非零映射的商定义域阶为 3，与像一致。

S3. $\mathbb Z$ 的每个子群为 $d\mathbb Z$。包含关系 $12\mathbb Z\subseteq d\mathbb Z$ 等价于 $d\mid12$。因此 $d=1,2,3,4,6,12$ 给出全部六个商子群，其阶为 $12/d$。对应定理证明列表完整。

S4. 映射将 $[a]_{18}$ 送到 $[a]_6$，其核为 $\{[0]_{18},[6]_{18},[12]_{18}\}$。由第一或第三定理，商为 $\mathbb Z/6\mathbb Z$。

S5. 以 $(1\ 3)$ 共轭 $(1\ 2)$ 得 $(3\ 2)$，它在子群外。在必要性证明中，将 $eN$ 换成 $nN$ 可能改变与 $gN$ 的乘积，因为 $g^{-1}ng$ 未必属于 $N$。故所提乘法依赖代表元。

总结

正规性恰是群商乘法所需的条件。第一同构定理识别映射保留的信息，对应定理追踪子群通过投影后的结构。其他同构结果来自明确的映射和核，而非对商记号进行符号消去。