二面体群与仿射对称

正方形的例子展示了二面体群，但要对任意正多边形进行计算，需要一般公式。剩余类上的仿射映射清楚地呈现其结构，也把反射轴的几何问题转化为同余式，并将对称性与商群同态联系起来。

1 仿射映射组成的有限群

固定 $n\ge3$。在 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ 上定义 $T_{\varepsilon,a}(x)=\varepsilon x+a$，其中 $\varepsilon\in\{1,-1\}$，$a$ 为剩余类。复合为

$$T_{\varepsilon,a}T_{\delta,b}=T_{\varepsilon\delta,a+\varepsilon b}.$$

函数复合满足结合律，单位元为 $T_{1,0}$，逆为 $T_{\varepsilon,-\varepsilon a}$，所以这些映射构成群。符号相同的映射由零处的值区分。符号相反的映射不可能对所有输入都相同：比较零和一会迫使模 $n$ 有 $2=0$，与 $n\ge3$ 矛盾。因此恰有 $2n$ 个元素。我们称此群为 $D_n$，其下标计数顶点而非元素总数。

令 $r=T_{1,1}$、$s=T_{-1,0}$。则 $r^n=s^2=e$，且 $srs=r^{-1}$。每个元素唯一地写为 $r^a$ 或 $r^as$。这描述了用剩余类标记顶点的正多边形的所有旋转和反射，而非顶点的任意置换。

2 阶与反射的不动点

根据循环群运算，旋转 $r^a$ 的阶为 $n/\gcd(n,a)$。每个反射 $f_a=r^as$ 的平方为单位元，因为 $f_a(x)=a-x$ 且 $f_a(f_a(x))=x$；当 $n\ge3$ 时它们均非单位元，故阶恰为 2。

$f_a$ 的不动顶点满足 $2x\equiv a\pmod n$。若 $n$ 为奇数，2 模 $n$ 可逆，故每个反射恰有一个不动顶点。若 $n$ 为偶数，由线性同余的最大公因数判别法，当 $a$ 为偶数时有两个不动顶点，$a$ 为奇数时没有。这对应偶数边正多边形的两类反射轴。

$D_6$ 中的例子。 反射 $f_0(x)=-x$ 固定 0 和 3；反射 $f_1(x)=1-x$ 不固定任何顶点。然而两者的阶均为 2。不动点行为与群元素的阶是不同性质。

通过旋转共轭会改变反射的标号：

$$r^kf_ar^{-k}=f_{a+2k}.$$

依次追踪输入经过三个映射即可证明。因此 $n$ 为奇数时所有反射共轭；偶数情形下偶标号和奇标号分成两个旋转共轭类。这从代数上解释了反射轴的区别。

3 记录方向类型的商群

由复合公式可知，将 $T_{\varepsilon,a}$ 映到 $\varepsilon$ 的映射 $D_n\to\{1,-1\}$ 是满同态。其核为旋转子群 $R=\langle r\rangle$，因此 $R$ 正规且 $D_n/R\cong C_2$。该商群忘掉旋转量，只保留对称是否反转多边形方向。

整个群非阿贝尔：若 $rs=sr$，则 $r=r^{-1}$，从而 $r^2=e$，这与阶为 $n\ge3$ 矛盾。有循环正规子群且商群阿贝尔，并不使整个群阿贝尔；共轭规则仍将旋转反向。

4 交换子与进一步的结构例子

定义 $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$，交换子子群 $G'$ 由所有此类元素生成。商群是阿贝尔群，当且仅当其核包含每个交换子：商中像的交换等价于交换子映到单位元。

在 $D_n$ 中，$[r,s]=r^2$。反之，对 $\langle r^2\rangle$ 取商后有 $r=r^{-1}$，因此关系 $srs=r^{-1}$ 变为生成元的像彼此交换。子群 $\langle r^2\rangle$ 正规，因为旋转保持它，而反射将 $r^{2k}$ 映到 $r^{-2k}$。故

$$D_n'=\langle r^2\rangle.$$

若 $n$ 为奇数，$\langle r^2\rangle=\langle r\rangle$，阿贝尔商为 $C_2$。若 $n$ 为偶数，商有四个元素，且两个生成元的像阶均为 2；映射 $r^as^\eta\mapsto([a]_2,[\eta]_2),\quad\eta\in\{0,1\}$ 是以此子群为核的良定义满同态，证明商为 $C_2\times C_2$。这是核与第一同构定理的具体应用，不是对所有有限群的额外假设。

交换子计算中的两个包含关系

对任意群，共轭把交换子仍映为交换子：

$$x[g,h]x^{-1}=[xgx^{-1},xhx^{-1}].$$

所以它将全体交换子生成的子群映入自身。再用 $x^{-1}$ 共轭得反向包含，故 $G'$ 正规。对正规子群 $N$，陪集 $gN,hN$ 可交换当且仅当 $[g,h]\in N$。因此 $G/N$ 阿贝尔当且仅当 $G'\subseteq N$。

在二面体群中，由 $sr^{-1}s=r$ 得 $[r,s]=rsr^{-1}s=r^2$，故 $\langle r^2\rangle\subseteq D_n'$。令 $N=\langle r^2\rangle$。用 $r$ 共轭保持其生成元，用 $s$ 共轭则将其变为逆元。由于 $r,s$ 生成 $D_n$，这就证明 $N$ 正规。在 $D_n/N$ 中，关系 $r^2N=N$ 给出 $rN=r^{-1}N$，所以 $sN$ 与 $rN$ 可交换。每个元素均为这两个生成像的乘积，故商群阿贝尔，由前述判据得 $D_n'\subseteq N$。两个包含关系证明了相等。

当 $n$ 为偶数时，将每个元素唯一写为 $r^as^\eta$，其中 $a$ 取模 $n$，$\eta\in\{0,1\}$。把 $a$ 模 2 化简定义良好，正因为 $a$ 改变 $n$ 不改变奇偶性。乘法的旋转指数为 $a+(-1)^\eta b$，其奇偶性为 $a+b$；反射指数模 2 相加。因此 $r^as^\eta\mapsto([a]_2,[\eta]_2)$ 为同态。$r,s$ 的像生成 $C_2\times C_2$，核中恰有 $\eta=0$ 且 $a$ 为偶数，即为 $N$。这就核对了最后同构所需的定义良好、同态、满射与核。这里没有将 $a$ 的奇偶映射用于奇数 $n$。

5 分级练习

E1 基础。 在 $D_7$ 中计算 $(r^3s)(r^5s)$ 及其阶。

E2 不动顶点。 求 $D_8$ 中 $f_2(x)=2-x$ 的全部不动顶点，并与 $f_3$ 比较。

E3 商群。 指出 $D_5$ 中符号映射的核、像及所得商群。

E4 结构。 求 $D_8$ 的交换子子群大小及阿贝尔商的类型；按本章约定，该群的总阶为 16。

6 详解

S1. 乘积为 $r^{3-5}=r^{-2}=r^5$。其阶为 $7/\gcd(7,5)=7$。

S2. 解模 8 同余式 $2x=2$，得 $x=1,5$。模 8 的 $2x=3$ 无解，因为最大公因数 2 不能整除 3。两个反射的阶仍均为 2。

S3. 核是五个旋转，像为 $\{1,-1\}$，由第一同构定理所得商为 $C_2$。该映射忘掉旋转坐标，而不是把五个旋转量视为不同的商群元素。

S4. 子群 $\langle r^2\rangle$ 的大小为 $8/\gcd(8,2)=4$。它在 16 元群中的指数为 4，商为 $C_2\times C_2$。它不是四阶循环群，因为商中每个元素的平方都是单位元。

小结

剩余类仿射映射给出具有 $2n$ 个不同元素的一般二面体群模型。阶由循环群运算确定，反射的不动顶点由线性同余式确定，而同态分离出方向信息。交换子计算则把具体对称规则与阿贝尔商的结构联系起来。