域扩张与九元素域的运算

多项式商环可以加入一个根，同时保留精确运算。我们考察一个二次实扩张、一个三次扩张，以及一个九元素域；后者的加法和乘法不同于模九整数的运算。

1 作为向量空间的域扩张

扩张 $K/F$ 是一个包含已指定的基域 $F$ 的副本的域。用基域元素作标量相乘，使 $K$ 成为 $F$ 上的向量空间；其维数称为次数 $[K:F]$。包含 $F$ 和元素 $\alpha$ 的最小子域记作 $F(\alpha)$。

若 $\alpha$ 满足 $F$ 上某个非零多项式，取正次数最低的首一零化多项式 $p$。它不可约：否则若分解为两个次数更低的正次数多项式，代值后乘积在域中为零，就迫使其中一个较低次因子为零。多项式除法证明，在 $\alpha$ 处为零的每个多项式都是 $p$ 的倍数，因为次数更低的非零余式会与最小性矛盾。

因此代值映射的核为 $(p)$，并将 $F[\alpha]$ 与 $F[x]/(p)$ 等同。由 Bézout 恒等式可求逆，故不可约多项式的商环是域，从而 $F[\alpha]=F(\alpha)$。若 $p$ 的次数为 $d$，唯一的低于 $d$ 次余式给出基 $1,\alpha,\ldots,\alpha^{d-1}$，扩张次数为 $d$。

2 两个零特征例子

对于 $\mathbb Q$ 上的 $\alpha=\sqrt5$，$p=x^2-5$ 没有有理根，因此不可约。每个元素唯一地写为 $a+b\sqrt5$。它非零时的逆为

$$(a+b\sqrt5)^{-1}=\frac{a-b\sqrt5}{a^2-5b^2}.$$

有理数分母非零：若 $b\ne0$ 且分母为零，则 $a/b=\pm\sqrt5$ 为有理数，与用素数整除性证明的无理性矛盾；若 $b=0$，由输入非零可知 $a\ne0$。例如 $(2+\sqrt5)^{-1}=\sqrt5-2$。

对 $\beta=\sqrt[3]2$，有理根定理表明多项式 $x^3-2$ 无有理根，因此这个三次多项式不可约。故 $\mathbb Q(\beta)$ 的基为 $1,\beta,\beta^2$，次数为 3。化简幂时使用 $\beta^3=2$。特别地，

$$\beta^{-1}=\frac{\beta^2}{2},\qquad (1+\beta)^{-1}=\frac{\beta^2-\beta+1}{3},$$

因为 $(1+\beta)(\beta^2-\beta+1)=1+\beta^3=3$。域扩张为所有非零元素提供真正的逆，而不只是一个包含新符号的向量空间。

3 构造九元素域

在 $\mathbb F_3$ 中，平方只有 0 和 1。因此 $x^2+1$ 无根且不可约。令

$$K=\mathbb F_3[x]/(x^2+1),\qquad\gamma=[x],\qquad\gamma^2=-1=2.$$

每个元素唯一写为 $a+b\gamma$，其中 $a,b\in\{0,1,2\}$，因此共有九个元素。运算时将系数模 3 化简，并用 $\gamma^2=2$ 化简幂。

对非零的 $a+b\gamma$，

$$(a+b\gamma)(a-b\gamma)=a^2+b^2.$$

分母在 $\mathbb F_3$ 中非零：一个非零坐标给出平方和 1，两个非零坐标给出 2。因此这里也可用共轭除以范数的求逆公式。对 $1+\gamma$，分母为 2，其模 3 的逆为 2，所以 $(1+\gamma)^{-1}=2+\gamma$。

此域不是 $\mathbb Z/9\mathbb Z$。后者有非零零因子 $[3]$，其平方为零。这里的域特征为 3，是 $\mathbb F_3$ 上的二维向量空间；其加法群不是九阶循环群。

4 乘法与加法结构

元素 $\gamma$ 的阶为 4，因为 $\gamma^2=2$ 且 $\gamma^4=1$。它不能生成全部八个非零元素。但 $g=1+\gamma$ 可以：$g^2=2\gamma$、$g^4=2$、$g^8=1$。由 Lagrange 定理，其阶整除 8，但不整除 4，故为 8。因此本例非零元素的乘法群是由 $g$ 生成的循环群。

一般有限域的特征是素数，因为合数特征会使 1 的较小整数倍产生零因子。它含有素子域 $\mathbb F_p$，并作为该域上的有限维向量空间具有 $p^d$ 个元素。这一必要的元素个数形式解释了为什么 9 是可能的而 6 不是。它本身并不证明每个素数幂都对应存在且唯一的有限域；那是本例之外的独立定理。

代数性、基的线性无关性与有限域计数

最低次数多项式的论证以 $\alpha$ 为代数元为前提；超越元没有这样的多项式。若 $p$ 的次数为 $d$，幂 $1,\alpha,\ldots,\alpha^{d-1}$ 由除法可张成全空间；它们也线性无关，因为非零线性关系会给出次数低于 $d$ 的零化多项式。这就核对了基的两个条件。常数域的包含为单射，因为非零常数不可能被非恒定 $p$ 整除。

零特征例子的不可约判别可直接证明。若最简分数 $a/b$（$b>0$）满足 $(a/b)^2=5$，则 $a^2=5b^2$。模 5 的平方为 $0,1,4$，所以 $5\mid a^2$ 蕴含 $5\mid a$；代回又得 $5\mid b$，与互素矛盾。若最简分数满足 $(a/b)^3=2$，则 $a^3=2b^3$ 迫使 $b=1$：若某素数整除 $b$，它也整除 $a$，与互素矛盾。整数根由 $a^3=2$ 必整除 2，但 $1,-1,2,-2$ 均不满足等式。再应用上一章证明的二次、三次判据得到不可约性，不能把这一判据用于任意次数。

有限域的元素个数也有完整证明。在有限域中，序列 $0,1,2\cdot1,\ldots$ 必重复，所以存在使 $m\cdot1=0$ 的最小正整数 $m$。因 $1\ne0$，有 $m>1$。若 $m=ab$ 且 $1<a,b<m$，则 $(a\cdot1)(b\cdot1)=0$，但由最小性两个因子都非零，与域的性质矛盾。故 $m=p$ 是素数。映射 $\mathbb Z\to K$、$a\mapsto a\cdot1$ 的核于是为 $p\mathbb Z$，从而把 $\mathbb F_p$ 嵌为素子域。在 $\mathbb F_p$ 上逐次加入当前张成空间之外的向量，构造极大的线性无关列；$K$ 有限，故过程必停止，极大性使该列成为基。若其长度为 $d$，基坐标的唯一性给出恰好 $p^d$ 个元素，每个系数 $d$ 元组对应一个。这个论证只证明必要的元素个数形式；它没有证明任意素数幂的有限域存在唯一，也没有证明每个有限域的非零乘法群都循环。

5 分级练习

E1 基础。 在 $\mathbb Q(\sqrt5)$ 中计算 $(1+\sqrt5)(3-\sqrt5)$ 和 $1+\sqrt5$ 的逆。

E2 三次化简。 在 $\mathbb Q(\beta)$ 中，已知 $\beta^3=2$，将 $\beta^5+\beta^3+1$ 化为所述基下的形式。

E3 有限域乘法。 在九元素域中计算 $(2+\gamma)(1+2\gamma)$。

E4 逆与阶。 验证 $1+\gamma$ 的逆，并解释其乘法阶为何是 8 而不是 4。

6 详解

S1. 乘积为 $3-\sqrt5+3\sqrt5-5=-2+2\sqrt5$。逆为 $(1-\sqrt5)/(1-5)=(\sqrt5-1)/4$，可相乘验证。

S2. $\beta^5=2\beta^2$ 且 $\beta^3=2$，所以结果为 $3+2\beta^2$。在 $\mathbb Q$ 上唯一的基坐标为 $(3,0,2)$。

S3. 相乘得到 $2+5\gamma+2\gamma^2=2+2\gamma+4=2\gamma$，其中系数按模 3 化简。中间出现的整数代表素子域中的等价类。

S4. $(1+\gamma)(2+\gamma)=2+3\gamma+\gamma^2=2+0+2=1$，按模 3 运算。对于阶，$g^4=2\ne1$ 且 $g^8=1$。小于 8 的 8 的所有因数都整除 4，因此都不可能是它的阶。其阶恰为 8。

小结

域扩张结合了多项式关系和向量空间结构。不可约多项式的次数决定基的大小，而 Bézout 恒等式或共轭恒等式用于计算逆。九元素域的特征为 3，其加法和乘法结构不同；它不是具有相同元素个数的合数模整数环。