群与置换

加法下的整数、乘法下的可逆矩阵和复合下的对称变换看似不同，却具有共同模式。群抽取了使可逆运算协调运行的规则；研究这些规则，就能使一个证明适用于所有这些情形。

1 群公理

群是配备二元运算 $G\times G\to G$ 的集合 $G$：运算满足结合律，存在单位元 $e$，且每个 $g\in G$ 有逆元 $g^{-1}$，满足 $gg^{-1}=g^{-1}g=e$。若对所有元素有 $gh=hg$，则称群为阿贝尔群。将运算称为取值于 $G$ 的函数，已包含封闭性。

整数在加法下构成阿贝尔群；非零实数在乘法下构成阿贝尔群。可逆 $n\times n$ 实矩阵构成一般非阿贝尔的群 $GL_n(\mathbb R)$。非零整数在乘法下不成群：2 没有整数逆元。

消去律与唯一性。 群只有一个单位元，每个元素只有一个逆元；$ab=ac$ 蕴含 $b=c$。

证明。 若 $e,e'$ 都是单位元，则 $e=ee'=e'$。若 $u,v$ 都是 $g$ 的逆元，则 $u=u(gv)=(ug)v=v$。在 $ab=ac$ 两边左乘 $a^{-1}$，由结合律得消去律。$\square$

结合律不允许改变次序。在任意群中，$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$，因为两种乘法次序都得到单位元。公式 $a^{-1}b^{-1}$ 一般不正确。

2 置换与循环记号

集合的置换是到自身的双射。$\{1,\ldots,n\}$ 的置换在复合下构成 $S_n$；本章中 $\sigma\tau$ 表示先施行 $\tau$，再施行 $\sigma$。

循环 $(a_1\ a_2\ \cdots\ a_k)$ 将每个列出的元素送到下一个，最后一个送回第一个，其余元素不变。每个置换都可分解为不相交循环：从一个元素出发反复取像，直到回到起点；双射性保证轨道不会在尚未属于先前轨道时进入它。对未使用的元素重复。由于作用的集合不相交，不相交循环可交换。除了循环次序和每个循环内部的循环移位外，分解唯一。

例。 在 $S_4$ 中令 $\sigma=(1\ 2\ 3)$、$\tau=(1\ 4)$。追踪各元素的像得到 $\sigma\tau=(1\ 4\ 2\ 3)$，而 $\tau\sigma=(1\ 2\ 3\ 4)$。二者不同，说明不满足交换律。

$g$ 的阶是使 $g^k=e$ 成立的最小正整数 $k$；若不存在则阶为无穷。不相交循环的置换，其阶是循环长度的最小公倍数：某个幂固定每个元素，当且仅当该幂的整数指数被每个循环长度整除。因此 $(1\ 2\ 3)(4\ 5)$ 的阶为 6。

对换交换两个元素。每个循环都可写成对换的乘积：

$$(a_1\ a_2\ \cdots\ a_k)=(a_1\ a_k)\cdots(a_1\ a_2).$$

置换的奇偶性可用其置换矩阵的行列式定义，该矩阵的列是标准基向量的像。每个对换的行列式为 $-1$，而行列式满足乘积法则。因此同一置换的任意两个对换分解有相同奇偶性。符号映射满足 $\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)$。

3 以对称性为具体模型

令 $r$ 为正方形旋转 $90$ 度，$s$ 为沿一条通过相对顶点的固定轴反射。八个对称变换为 $e,r,r^2,r^3,s,rs,r^2s,r^3s$，其关系为

$$r^4=e,\qquad s^2=e,\qquad sr=r^{-1}s.$$

最后一个关系可在四个顶点上检验：反射会反转旋转方向。它把每个 $s$ 移到右边，使任意乘积化为上述八种形式之一。不同教材使用 $D_4$ 或 $D_8$ 表示同一个八元素群；应说明约定，不应从符号推断群的大小。

为什么置换奇偶性不依赖分解的选择

上文的行列式定义使用行列式的乘积定理。这里另给一个只用实系数多项式运算的证明。令

$$V(t_1,\ldots,t_n)=\prod_{1\le i<j\le n}(t_j-t_i).$$

交换两个变量使这个乘积变号。连接这两个变量的因子变号；连接其中一个变量与第三个变量的因子则成对交换。当第三个指标位于这两个指标之间时，成对的两个因子各变一次号，所以它们的乘积不变。其余因子都不变。因此每个对换把 $V$ 变为 $-V$。

若同一置换分别写成 $k$ 个和 $l$ 个对换的乘积，两种写法作用于 $V$ 得到 $(-1)^kV=(-1)^lV$。取互异实数，例如 $t_i=i$，此时 $V\ne0$；消去后得 $(-1)^k=(-1)^l$。这就证明了奇偶性定义良好。把两个对换分解接起来，便得到符号的乘积法则。论证没有预先假设奇偶性，也不只是检查几个置换。

还要核对置换确实成群：双射的复合仍是双射，函数复合满足结合律，恒等映射在其中，逆双射也仍是置换。对正方形，一个对称由某顶点的像及其相邻顶点的像确定：前者有四种选择，后者有两个相邻选择，其余顶点由距离确定。列出的八个旋转或反射实现全部八种选择，故没有遗漏其他对称。

4 分级练习

E1 基础。 判断正实数在乘法下、非负整数在加法下是否成群。

E2 循环。 按从右向左的复合顺序计算 $(1\ 2)(2\ 3)$ 和 $(2\ 3)(1\ 2)$，并求其阶。

E3 对称性。 在上述正方形群中化简 $(r^2s)(rs)$，并证明每个反射 $r^ks$ 的阶为 2。

E4 证明。 若群的每个元素满足 $g^2=e$，证明该群是阿贝尔群。

5 完整解答

S1. 正实数成群：乘法满足结合律，单位元为 1，逆元 $1/x$ 仍为正数。非负整数在加法下缺少正元素的加法逆元，所以不成群。

S2. 按右边先作用的顺序分别得到 $(1\ 2\ 3)$ 和 $(1\ 3\ 2)$，每个的阶均为 3。二者不同说明对换一般不交换。

S3. $r^2srs=r^2r^{-1}s^2=r$。由 $sr^k=r^{-k}s$，得到 $(r^ks)^2=r^kr^{-k}s^2=e$。反射不是单位元，故其阶恰为 2。

S4. 每个元素都是自身的逆元。因此 $ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$。乘积的逆元法则是关键；不能未经论证直接消去不相邻因子。

总结

群描述可逆的结合运算。置换为有限对称性提供具体通用的语言；循环结构给出阶，仔细说明复合约定可避免许多错误。非交换推理在每一步都必须保持次序。