泰勒误差控制与最优值敏感性

只有了解所考虑变化范围内的误差，边际近似才有用。同样，某个价格下的最优决策不一定在新价格下仍然最优。泰勒界量化有限变化误差；对最优性方程求导描述正则内部最优点如何移动。可行边界则形成不同的状态。

1 由曲率得到误差界

若 $f\in C^2$ 在 $q$ 与 $q+h$ 之间的区间上，两次使用微积分基本定理得到

$$f(q+h)=f(q)+f'(q)h+h^2\int_0^1(1-t)f''(q+th)dt.$$

推导时沿 $q+th$ 写出函数并对其导数积分两次。因此若整个区间上 $|f''|\le M$，则

$$|f(q+h)-f(q)-f'(q)h|\le\frac M2h^2.$$

若 $f''\ge0$，切线线性近似是下界，而不仅是接近的猜测；符号来自非负积分余项。高阶版本可通过重复积分或带明确导数界的一元泰勒定理得到。

对成本模型 $C(q)=100+4q+0.02q^2$，$C''=0.04$，故增量 $h$ 下边际估计的精确误差为 $0.02h^2$。十单位变化的误差为 2，不是一单位变化时的 0.02。导数是局部速率；在此模型中，计划步长以平方方式影响误差。

指数例子。 对 $f(q)=e^{0.1q}$，将 $q$ 从 0 增加 $h\in[0,1]$ 的线性估计为 $1+0.1h$。由于 $f''(q)=0.01e^{0.1q}$，误差非负且至多为 $0.005e^{0.1}h^2$。这是指定区间上的界，不是仅由 $f''(0)$ 推断的界。

2 弹性与精确对数变化

对正区间上的正 $C^1$ 函数 $f(q)$，弹性为 $E(q)=qf'(q)/f(q)$。链式法则给出 $d\log f/d\log q=E(q)$，因此精确有限变化恒等式为

$$\log\frac{f(q_1)}{f(q_0)}=\int_{q_0}^{q_1}\frac{E(q)}q\,dq.$$

若弹性恒为 $E_0$，积分得到在正的连通区间上 $f(q)=Kq^{E_0}$；反之该幂律具有恒定弹性。一阶百分比近似将积分替换为 $E(q_0)(q_1-q_0)/q_0$，对大变化一般并不精确。

对 $f(q)=q^2$，$q$ 增加 10% 时 $f$ 增加 21%，不恰好是 20%。对数恒等式给出 $\log(f(q_1)/f(q_0))=2\log1.1$，等价于精确因子 $1.1^2$。

3 内部最优点的敏感性

考虑价格参数为 $p$ 的利润 $\Pi(q,p)=pq-C(q)$。内部驻点满足 $C'(q_*(p))=p$。若 $C\in C^2$ 且 $C''(q_*)>0$，局部隐函数定理给出可微的驻点分支及

$$\frac{dq_*}{dp}=\frac1{C''(q_*)}.$$

该公式由对驻点方程求导得到。正曲率使利润局部凹，且选择随价格增加。若 $C$ 在整个可行区间严格凸，则内部驻点是该区间唯一的利润最大点。局部导数公式本身不证明全局最优或持续可行。

在光滑的内部最大化分支上令 $V(p)=\Pi(q_*(p),p)$，链式法则给出

$$V'(p)=\Pi_q(q_*,p)q_*'(p)+\Pi_p(q_*,p)=q_*(p),$$

因为驻点的第一项为零。这是包络计算：最优值的一阶变化使用最优点处的参数效应，即使最优选择本身也在移动。

4 边界改变状态

对 $C(q)=F+aq+bq^2$，其中 $b>0$、容量 $Q>0$ 且可行域为 $0\le q\le Q$，在该数学模型中，与价格无关的固定成本 $F$ 不影响最大化数量。配方或检查导数得到

$$q_*(p)=\begin{cases}0,&p\le a,\\(p-a)/(2b),&a<p<a+2bQ,\\Q,&p\ge a+2bQ.\end{cases}$$

在内部状态，$q_*'=1/(2b)$；在两个饱和状态中，$q_*'=0$。在转折价格处，选择函数连续但不可微。这里最优值仍可微，其导数为 $q_*$，可直接分段求导验证。不能将内部敏感性公式外推过产能边界。

当 $a=4$、$b=0.1$、$Q=50$，价格 10 给出 $q_*=30$。价格小幅提高 0.2 时，只要仍处于内部，最优选择移动 1；价格为 15 时产能约束已生效，相同提高不会改变选定数量。停产决策等固定成本解释需要模型说明固定成本是否可避免；该业务规则并未由此目标函数单独编码。

5 分层练习

E1 基础。 若产量增加五单位的整个范围内 $|C''|\le0.6$，给出边际近似误差界。若 $C''\ge0$，还可得到什么符号信息？

E2 精确弹性。 对 $f(q)=3q^{-2}$，求弹性及 $q$ 增加 20% 时的精确相对变化。

E3 内部敏感性。 设 $C(q)=20+2q+q^2/2$，可行域 $q\ge0$、价格 $p>2$。求最优选择、最优值及其导数。

E4 产能。 在 E3 中加入 $q\le4$。给出完整最优数量，指出无约束敏感性公式何时停止适用。

6 详解

S1. 误差的模至多为 $(0.6/2)5^2=7.5$ 成本单位。若曲率非负，实际成本增加至少等于初始边际估计，因此误差除了上界外也有已知的非负符号。

S2. $E=-2$。精确因子为 $1.2^{-2}=25/36$，相对变化为 $-11/36$，约 $-30.56\%$。一阶估计 $-40\%$ 对此有限步长并不精确。

S3. $C'=2+q$，所以 $q_*=p-2$，当 $p>2$ 时可行。严格凸性给出唯一全局最大值。$V(p)=(p-2)^2/2-20$，故 $V'=p-2=q_*$，且 $q_*'=1$。

S4. 当 $p\le2$，最优选择为 0；当 $2<p<6$，为 $p-2$；当 $p\ge6$，为 4。敏感性只在中间状态为 1，外侧为 0。在 2 和 6 处最优选择的导数不存在，所以没有跨越阈值都有效的单一内部导数公式。

总结

曲率界将局部边际速率转为受控的有限变化估计。弹性积分得到精确对数变化公式。最优性方程给出局部参数敏感性，而包络计算描述最优值变化。外推任何内部公式之前，必须检查可行边界造成的状态变化。