积分、累积与折现

流量率不是存量。每小时收入 5 货币单位，持续三小时，贡献 15 货币单位。变化的速率则由积分将小贡献相加。同一框架还可从边际成本恢复总成本，并在明确选定的折现模型下估值现金流。

1 黎曼和与定积分

将 $[a,b]$ 划分为 $a=t_0<\cdots<t_n=b$，选样本点 $\xi_i\in[t_{i-1},t_i]$，构造

$$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)(t_i-t_{i-1}).$$

若当最大子区间长度趋零时所有此类和趋于同一数，则有界函数黎曼可积，该数是 $\int_a^b f(t)\,dt$。闭有界区间上的连续函数可积：一致连续性使充分短子区间上的振幅都很小，上下和之差至多为 $(b-a)$ 乘该振幅。

积分是带符号累积。轴下贡献为负；无符号总面积是 $\int|f|$，一般不是 $|\int f|$。正长度区间上的平均值为 $(b-a)^{-1}\int_a^b f$。

2 微积分基本定理

定理。 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续、$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$，则对 $a<x<b$，$F'(x)=f(x)$。若 $G'=f$ 在包含 $[a,b]$ 的区间上成立，则 $\int_a^b f=G(b)-G(a)$。

证明。 $F$ 的差商是从 $x$ 到 $x+h$ 的有向区间上 $f$ 的平均值。它与 $f(x)$ 的差由区间上最大的 $|f(t)-f(x)|$ 界定，且由连续性趋零，故 $F'=f$。于是 $(G-F)'=0$，平均值定理使 $G-F$ 为常数；在 $a$ 和 $b$ 处计算即得结论。$\square$

若边际成本为 $C'(q)=4+0.04q$、固定成本为 $C(0)=100$，则

$$C(q)=100+\int_0^q(4+0.04s)\,ds=100+4q+0.02q^2.$$

仅凭边际速率不能推断积分常数。

3 换元与分部积分

若 $u=g(t)$ 且函数具有所需连续导数，链式法则给出

$$\int_a^b f(g(t))g'(t)\,dt=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.$$

变换后的积分限及其次序很重要。乘积法则同样给出

$$\int_a^b u(t)v'(t)\,dt=[uv]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)\,dt.$$

这些公式不允许忽略区间内部的奇点。例如 $\int_{-1}^1 1/t\,dt$ 不是普通黎曼积分，也不是收敛的广义积分，即使对称主值存在。

4 连续折现模型

假设确定的连续复利折现率为每年 $r>0$。时间 $t$ 的付款乘以 $e^{-rt}$，则 $[0,T]$ 上连续现金流率 $c(t)$ 的模型现值为

$$V=\int_0^T c(t)e^{-rt}\,dt.$$

对常数 $c$，积分得到 $V=c(1-e^{-rT})/r$。单位检查：货币／年乘以年得到货币。当 $r\to0$，极限为 $cT$，与未折现累积一致。对满足 $c_0\ge0$ 的非负增长流率模型 $c(t)=c_0e^{gt}$，当 $r\ne g$ 时公式为 $c_0[1-e^{-(r-g)T}]/(r-g)$；当 $r=g$ 时为 $c_0T$。

当 $c_0>0$ 时，无穷期积分恰在 $r>g$ 时收敛，此时等于 $c_0/(r-g)$。若 $c_0=0$，流率以及所有有限期或无穷期积分均为零，对所有利率值都是如此；正流率的收敛条件不适用。结论由计算有限积分后令 $T\to\infty$ 得到。若 $r=g$ 且 $c_0>0$，它线性增长；若 $r<g$，它指数增长。这些是有条件的模型计算，不声称真实现金流或折现率已知。

5 分层练习

E1 基础。 若 $C'(q)=3q^2+2$、$C(0)=7$，求 $C(q)$ 和从 $q=1$ 到 $q=3$ 累积的成本。

E2 技巧。 计算 $\int_0^1 2t e^{t^2}\,dt$ 和 $\int_0^1 t e^t\,dt$。

E3 应用。 模型流率为每年 $c(t)=12e^{0.02t}$ 货币单位，折现率为每年 0.05。给出有限 $T$ 和无穷期的模型值。

E4 解释。 净流率在 $[0,2]$ 上为 $f(t)=2t-2$。求净累积和绝对流量总和。

6 详解

S1. $C(q)=7+q^3+2q$。累积成本为 $C(3)-C(1)=(7+27+6)-(7+1+2)=30$。

S2. 令 $u=t^2$，第一个积分为 $\int_0^1e^u\,du=e-1$。第二个积分以 $u=t$、$v'=e^t$ 分部积分，得到 $[te^t]_0^1-\int_0^1e^t\,dt=e-(e-1)=1$。

S3. $r-g=0.03$，故 $V_T=400(1-e^{-0.03T})$ 货币单位。因为 $r>g$，无穷期值为 400。将百分数 5 和 2 与小数速率混淆会错误改变模型。

S4. 带符号积分为 $[t^2-2t]_0^2=0$。绝对值积分在 $t=1$ 处分段：$\int_0^1(2-2t)dt+\int_1^2(2t-2)dt=1+1=2$。净流量为零不代表没有活动。

总结

积分累积速率，并且只有给定初始值才能唯一恢复原函数。微积分基本定理连接两种观点。折现现金流公式要求明确速率约定、一致时间单位，以及无穷期时的收敛检查。