多生产一件产品的成本是有限差分；导数则描述极小变化的单位极限成本。当模型用连续量近似离散决策时，这一区别很重要。我们用微积分预测变化，再根据可行域检查候选决策。
1 极限、连续性与导数
对在 a 附近除可能的 a 外有定义的函数，limx→af(x)=L 表示：对每个 ε>0，存在 δ>0 使 0<∣x−a∣<δ 蕴含 ∣f(x)−L∣<ε。若该极限等于其已定义的值 f(a)，函数在 a 连续。
导数为
f′(a)=h→0limhf(a+h)−f(a),
前提是有限极限存在。因此 f(a+h)=f(a)+f′(a)h+o(∣h∣)：误差除以 ∣h∣ 趋零。可微蕴含连续，因为增量等于 h 乘以零附近有界的差商。连续不蕴含可微：∣x∣ 在零的单侧斜率为 −1 和 1。
对 f(x)=x2，差商为 2a+h，故 f′(a)=2a。极限运算法则给出和及数乘法则。展开 fg 的增量得乘积法则 (fg)′=f′g+fg′；复合局部线性近似得到链式法则 (f∘g)′(a)=f′(g(a))g′(a)，其中两个导数均须存在。商法则要求分母非零。
例。 若 C(q)=100+4q+0.02q2，则 C′(q)=4+0.04q。当 q=50，边际成本为每件 6 货币单位。下一件的精确成本是 C(51)−C(50)=6.02，不是 6；线性估计省略了二次余项 0.02(1)2。
2 平均值定理与导数能说明什么
平均值定理。 若 f 在 [a,b] 连续、在 (a,b) 可微，且 a<b，则存在 c∈(a,b) 使
f(b)−f(a)=f′(c)(b−a).
证明。 减去割线，令 g(x)=f(x)−f(a)−[f(b)−f(a)](x−a)/(b−a)，则 g(a)=g(b)=0。由极值定理，g 或为常数，或在内部取得非零最大值或最小值。在内部可微极值处，正、负差商迫使 g′(c)=0。整理得到结论。□
因此区间上处处 f′≥0 蕴含 f 在该处非递减。若 ∣f′∣≤M，则 ∣f(b)−f(a)∣≤M∣b−a∣。仅在一点计算导数不能给出这种全区间界。
3 利润与约束决策
设需求价格 p(q)=30−0.1q、成本 C(q)=100+6q+0.05q2，模型定义域为 0≤q≤100。收入为 R(q)=qp(q)，不只是 p(q)。利润为
Π(q)=R(q)−C(q)=−100+24q−0.15q2.
导数在 q=80 为零。由于 Π′′=−0.3<0，导数在 80 前为正、之后为负，所以 80 是定义域上唯一全局最大点。利润为 860；相比之下，零处为 −100、100 处为 800。这是虚构模型的最优决策，不是对真实企业的建议。
内部可微最优点必须导数为零，但反过来不成立：x3 在零的导数为零，却没有局部极值。还须检查端点和不可微的可行点。数量为整数时，应比较附近可行整数及相关边界，而不是直接宣布分数生产方案。
当 f(q) 为正且 q>0，无量纲弹性为 E(q)=qf′(q)/f(q)。它近似相对响应：Δf/f≈EΔq/q。当 f(q)=0 时它无定义，且不是精确的有限百分比公式。
4 分层练习
E1 基础。 从定义推导 1/x 在非零 a 处的导数。
E2 边际解释。 对 C(q)=40+5q+q2/10，比较 C′(10) 与 C(11)−C(10)。
E3 优化。 分别在 [0,5] 和 [0,10] 上最大化 P(q)=−q2+14q−10。
E4 证明。 若区间上 f′(x)=0，证明 f 在该区间为常数。解释在不连通定义域上为何不一定成立。
5 详解
S1. 对充分小且 a+h=0 的 h，差商为 [1/(a+h)−1/a]/h=−1/[a(a+h)]，趋于 −1/a2。
S2. C′(q)=5+q/5，故导数为 7。精确增量为 5+(121−100)/10=7.1。导数单位是每单位的货币量，一单位增量的单位是货币；数值比较使用了一个单位的增量。
S3. P′=14−2q。它在 [0,5) 上为正，所以第一个最大值是 P(5)=35。在 [0,10] 上它在 7 处由正变负，最大值为 P(7)=39。第一个可行区间之外的驻点不能在其中选取。
S4. 对区间内任意两点，平均值定理给出 f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)=0。在 (−2,−1)∪(1,2) 上，令函数在第一分量取 0、第二分量取 1；它在定义域上处处导数为零，却不在整个定义域上为常数。
总结
导数是局部线性变化率；有限差分是实际变化。平均值定理连接变化率与整个区间的行为。优化需要模型定义域、边界候选值，以及所选驻点确实最大化目标的论证。
