冪零鏈與 Jordan 標準形

定理及其先備知識

每個非常數多項式 $p\in\mathbb C[z]$ 都有複根；因此每個 $n$ 次複系數多項式都是 $n$ 個線性因式的乘積，按重數計數。以下通過古薩定理、柯西估計及劉維爾定理證明該結論，並明確所用的先備知識。

全純是指在開集每一點複可微；整函數是指在整個 $\mathbb C$ 上全純。以下明確使用的初等基礎是實一元積分及鏈式法則、多項式的連續性和求導、複數模的運算法則，以及歐氏平面的緊緻性（包括遞縮緊三角形、一致連續性和緊覆蓋的勒貝格數）。這些實分析及拓撲基礎是明確的先備知識。沒有預先使用複多項式根定理、最大模定理、解析冪級數表示、恆等定理、留數定理或輻角原理。

複可微推出連續，因為 $u(z+h)-u(z)=h[(u(z+h)-u(z))/h]\to0$。展開乘積差商得到 $(uv)'=u'v+uv'$。在 $v(z)\ne0$ 處，

因此全純函數的乘積和分母非零的商仍全純。特別地，$f(z)/(z-a)$ 在 $a$ 之外全純，無根多項式的倒數是整函數。這些事實來自差商，不依賴多項式根定理或正則性定理。

1. 積分記錄路徑及其方向

分段 $C^1$ 曲線是連續映射 $\gamma:[a,b]\to\mathbb C$，它在有限個子區間上連續可微，連接點有單側導數。若 $\gamma(a)=\gamma(b)$，曲線是閉合的。其長度為 $\ell(\gamma)=\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt$。連續函數 $f$ 沿該曲線的圍道積分為

實部和虛部分別積分。微分 $dz$ 包含運動方向；若改為 $|dz|$，定義的是另一種積分。

保持端點的分段 $C^1$ 遞增參數變換由換元法保持積分不變；反向使積分變號；連接兩條相容曲線時積分相加。這些結論也允許速度為零的曲線段，不要求曲線為單射。

估計引理。 若曲線上 $|f|\le M$，則

因為實參數積分的模不超過模的積分，且 $|f(\gamma)\gamma'|\le M|\gamma'|$。這個簡單不等式是證明輔助弧在極限中貢獻為零的主要工具。

例。 對正向圓周 $z=a+re^{it}$，其中 $0\le t\le2\pi$、$r>0$，

當 $n=-1$，被積函數乘以 $dz$ 為 $i\,dt$；否則為 $ir^{n+1}e^{i(n+1)t}\,dt$，積分為零。$n=-1$ 的結果與半徑無關，但反向時變號。

2. 原函數將路徑積分化為端點之差

開集 $U$ 上 $f$ 的原函數是該處滿足 $F'=f$ 的全純函數 $F$。對每個光滑段使用實鏈式法則可得

對 $U$ 內每條圍道成立。因此有原函數的函數沿 $U$ 內任何閉圍道的積分為零。

反過來，在區域 $U$ 上，假設連續函數 $f$ 沿每條閉圍道積分為零。平面的開連通集是折線路徑連通的。固定 $a\in U$，定義 $F(z)$ 為沿 $U$ 內任意一條從 $a$ 到 $z$ 的折線路徑對 $f$ 的積分。閉路徑積分抵消保證結果與路徑無關。對充分小的 $h$，從 $z$ 到 $z+h$ 的末端線段仍在 $U$ 內，且

由連續性成立。因此 $F'=f$。只假設所有閉折線路徑的積分為零也可採用同樣構造；得到原函數後便可處理所有圍道。

3. 古薩三角形論證：不假設導數連續

定理。 若 $f$ 在包含閉三角形 $T$ 的開集上全純，則沿 $T$ 正向邊界的積分為零。

證明。 連接邊中點將 $T$ 分為四個三角形。內部邊的積分抵消，所以外邊界積分 $I$ 等於四個子三角形積分之和。至少一個子三角形的積分模不小於 $|I|/4$。在這樣的子三角形中重複，得到嵌套閉三角形 $T_n$，其直徑為 $D/2^n$、周長為 $P/2^n$，並滿足

由緊緻性及直徑趨零，存在共同點 $z_0$。在 $z_0$ 可微意味著

常數項和線性項都有原函數，故沿三角形邊界積分為零。對任意 $\eta>0$，當 $n$ 充分大時，整個 $T_n$ 上 $|\varepsilon|\le\eta$。由於 $z_0\in T_n$，估計引理給出

因此 $|I|\le\eta DP$。由 $\eta$ 的任意性，$I=0$。這裡沒有使用 $f'$ 的連續性。∎

推論：每個圓盤上有原函數。 若 $f$ 在圓盤 $D$ 上全純，固定圓心 $a$，令 $F(z)=\int_{[a,z]}f$。當 $z,z+h\in D$ 且充分接近時，以 $a,z,z+h$ 為頂點的三角形位於 $D$ 中。三角形定理給出 $F(z+h)-F(z)=\int_{[z,z+h]}f$；第 2 節的極限計算得到 $F'=f$。因此圓盤內所有閉圍道積分均為零。同樣論證適用於任何開凸集。

4. 同倫與“無孔”的含義

路徑 $\gamma_0,\gamma_1$ 之間的固定端點同倫是連續映射 $H:[0,1]^2\to U$，滿足 $H(s,0)=\gamma_0(s)$、$H(s,1)=\gamma_1(s)$，且 $H(0,t),H(1,t)$ 不隨 $t$ 改變。它在不離開 $U$ 的情況下將一條路徑變形為另一條。若每條閉路徑都可通過這樣的同倫收縮到其基點，則區域是單連通的。

同倫不變性。 若 $f$ 在 $U$ 上全純，而 $U$ 內兩條分段 $C^1$ 路徑在其中固定端點同倫，則其積分相等。

僅用局部原函數的證明。 $H$ 的緊緻像可由有限個 $f$ 有原函數的圓盤覆蓋。由勒貝格數性質和一致連續性，將參數正方形細分為矩形網格，使每個閉網格的像都落在某個這樣的圓盤中。用線段連接相鄰網格頂點的像；由於圓盤是凸的，每個網格的這些線段都位於其圓盤內。由原函數知其多邊形邊界積分為零。對所有網格求和，內部線段與其反向線段抵消。在底邊和頂邊，每段原路徑與替代線段位於同一圓盤且有相同端點，故由局部原函數它們的積分相等。端點固定，側邊線段的貢獻為零。剩下的是底邊積分減頂邊積分。這證明了結論，即使同倫的中間路徑不可微也成立。∎

圓周變形所用的開集

在柯西證明中，令 $U$ 為原來包含 $\overline{D(c,R)}$ 的開全純鄰域，$d=|a-c|<R$。取 $0<\varepsilon<R-d$。$g(z)=f(z)/(z-a)$ 所用的正確全純集是 $U\setminus\{a\}$，其中包含外圓；單獨的開圓盤 $D(c,R)\setminus\{a\}$ 不包含外圓。該開集包含邊界圓周；下面的不等式證明變形始終留在這個開集內。

令 $c_t=(1-t)c+ta$、$r_t=(1-t)R+t\varepsilon$，以及 $H(s,t)=c_t+r_te^{2\pi i s}$。對 $0\le s,t\le1$，

因此整個緊緻同倫像都在 $U\setminus\{a\}$ 內。網格／局部原函數證明也適用於閉路的這個自由同倫：$H(0,t)=H(1,t)$，所以兩條折線側邊軌跡相同、邊界方向相反，互相抵消，不必為常數。頂邊及底邊圓周為分段 $C^1$，不需要中間同倫可微。這補全了下文所用的定義域及移動基點步驟。

1. 邊界積分確定內部值

對 $c\in\mathbb C$、$R>0$，令圓周 $C:|z-c|=R$ 取逆時針方向。假設 $f$ 在閉圓盤 $\overline{D(c,R)}$ 的開鄰域上全純。對每個滿足 $|a-c|<R$ 的 $a$，

分母在 $C$ 上不為零。該公式給出內部點的值，並不適用於外部點或圍道上的點。

證明。 取 $\varepsilon>0$ 使 $|a-c|+\varepsilon<R$。用圓心 $(1-t)c+ta$、半徑 $(1-t)R+t\varepsilon$，將外圓變形為小圓 $C_\varepsilon:|z-a|=\varepsilon$ 而不經過 $a$。每個移動的圓都圍住 $a$ 並留在原圓盤內。對去心圓盤上的 $f(z)/(z-a)$ 使用 C02 的網格／局部原函數證明。雖然移動基點不固定，兩條側邊軌跡相同並互相抵消，因此閉路積分不變。故

最後一項的模至多為 $2\pi\sup_{|z-a|=\varepsilon}|f(z)-f(a)|$，由 $f$ 在 $a$ 的連續性，該上界趨於零，證明公式。∎

這個證明沒有預先假設 $(f(z)-f(a))/(z-a)$ 在 $a$ 有全純延拓；該性質是下面所得正則性的結果。

帶一致界的一階導數

劉維爾定理只需一階柯西導數估計。對固定圓周 $C$ 內部的點 $a$，令 $\delta=\min_{z\in C}|z-a|>0$。當 $0<|h|<\delta/2$，將兩個柯西公式相減得到差商核

它與 $1/(z-a)^2$ 之差為

若 $M=\max_C|f|$、$L=\ell(C)$，估計引理給出除以 $2\pi i$ 並積分後的誤差至多為 $ML|h|/(\pi\delta^3)$，趨於零。因此 $f'(a)=(2\pi i)^{-1}\int_C f(z)/(z-a)^2\,dz$。若圓心為 $a$、半徑為 $r$，便有 $|f'(a)|\le M_r/r$。重複同樣論證得到下列高階公式；劉維爾定理只使用一階估計。

2. 所有高階導數及其界

對開圓盤中的 $a$，從 $a$ 到圍道的距離為正。在 $a$ 附近充分小的圓盤內，核 $1/(z-a)$ 的差商對 $z\in C$ 一致收斂到 $1/(z-a)^2$。估計引理允許將極限移入圍道積分。重複論證得到

核的一致收斂論證證明這些導數存在，並未假設 $f$ 起初屬於 $C^\infty$。同一公式還說明導數局部連續，因為分母一致遠離零。

在以 $a$ 為圓心、半徑為 $r$ 的圓周上，令 $M_r=\max_{|z-a|=r}|f(z)|$。由長度估計得到柯西估計

所選圓盤的邊界必須有全純鄰域；不能將半徑擴大到穿過奇點。

劉維爾定理與多項式根定理

對整函數，每個半徑都可使用前面的估計。將估計用於有界整函數便得到劉維爾定理；再把劉維爾定理用於多項式的倒數便證明根的存在。

劉維爾定理。 有界整函數為常數。若 $\mathbb C$ 上 $|f|\le M$，對任意 $a$ 和任意半徑 $r$ 的圓盤使用 $n=1$ 的估計：$|f'(a)|\le M/r$。令 $r\to\infty$ 得 $f'=0$，故函數在連通平面上為常數。

代數基本定理。 每個非常數複系數多項式都有複根。若 $p$ 無根，$1/p$ 便是整函數。其最高次項表明當 $|z|\to\infty$ 時 $|p(z)|\to\infty$，故 $1/p$ 在大圓盤之外有界；在剩餘緊緻圓盤上由連續性也有界。劉維爾定理使 $1/p$ 為常數，與 $p$ 的次數矛盾。反覆除以線性因式後，每個 $n$ 次多項式都恰好分解為 $n$ 個線性因式，按重數計數。

多項式反證中的初等細節

為寫全細節，若 $F$ 在 $\mathbb C$ 上滿足 $F'=0$，則它為常數：沿 $\gamma(t)=a+t(b-a)$，$F(\gamma(t))$ 的實部和虛部導數均為零，實中值定理給出 $F(a)=F(b)$。

寫 $p(z)=a_nz^n+\sum_{k<n}a_kz^k$，其中 $n\ge1$、$a_n\ne0$，令 $S=\sum_{k<n}|a_k|$。當 $|z|\ge R=\max(1,2S/|a_n|)$，

若 $p$ 無根，其倒數處處連續並且全純，因為

上述增長界使 $1/p$ 在半徑為 $R$ 的圓盤外有界；在剩餘閉圓盤上，由緊緻性和連續性也有界。劉維爾定理使 $1/p$ 成為常數；該常數非零，因此 $p$ 為常數，矛盾。故存在根 $\alpha$。

最後，由 $z^k-\alpha^k=(z-\alpha)\sum_{j=0}^{k-1}z^{k-1-j}\alpha^j$ 得到 $p(z)-p(\alpha)=(z-\alpha)q(z)$，其中 $q$ 為 $n-1$ 次、最高次項系數為 $a_n$。若 $q$ 非常數，對它使用根定理並對次數歸納。恰好除以 $n$ 個線性因式後，餘下非零常數 $a_n$。由次數和乘積恆等式，恰有 $n$ 個線性因式，按重數計數。這也證明了有限維譜論或 Jordan 論證所需的複數域分裂結論；並未斷言任意實數域或其他基域上也分裂。

實坐標化與完備的次乘性矩陣範數

實內積、誘導範數與所需不等式

實向量空間上的內積是取值於實數的映射 $\langle u,v\rangle$，它對稱、對每個變量線性，並且正定：$v\ne0$ 時 $\langle v,v\rangle>0$。線性性給出 $\langle0,v\rangle=0$。定義 $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$，則範數恰在零向量處為零，且 $\|cv\|=|c|\|v\|$。$\mathbb R^m$ 上的標準例子是 $\langle u,v\rangle=\sum_{i=1}^mu_iv_i$。內積為零的向量稱為正交；不同成員互相正交且每個成員範數為一的列表稱為正交規範列表。

若 $v\ne0$，將 $t=\langle u,v\rangle/\|v\|^2$ 代入非負平方 $\|u-tv\|^2$，以雙線性展開得 $\|u\|^2-\langle u,v\rangle^2/\|v\|^2\ge0$，故 $|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|$。若 $v=0$，該不等式直接成立。對 $v\ne0$，等號意味着 $\|u-tv\|=0$，等價於 $u=tv$；零向量情形也取等。最後展開 $\|u+v\|^2$ 並對交叉項使用該界，得到 $\|u+v\|^2\le(\|u\|+\|v\|)^2$。待開方的兩邊非負，因此得到三角不等式。這確實定義了範數，任何非零向量的歸一化都只除以正實數；這裏不使用複雙線性的約定。

有限實坐標空間的任意範數為何完備

固定整數 $n\ge1$，在 $\mathbb R^n$ 上使用歐幾里得範數。集合若包含在某個有限半徑的球內，就稱為有界；若補集是開集，就稱為閉集；若它的每個由 $\mathbb R^n$ 中開集組成的覆蓋都有有限子覆蓋，就稱為緊集。我們使用實數完備性，包括閉區間套性質。

有限維歐幾里得空間的 Heine–Borel 定理

定理。 集合 $K\subseteq\mathbb R^n$ 緊致，當且僅當它閉且有界。空集具有這三種性質。

緊致推出有界。 開球 $B(0,m)$（整數 $m\ge1$）覆蓋 $K$。取有限子覆蓋後，$K$ 包含在其中最大的球內。

緊致推出閉。 設 $K\ne\varnothing$ 且 $y\notin K$。開球 $B(x,\|x-y\|/2)$（$x\in K$）覆蓋 $K$。取中心為 $x_1,\ldots,x_r$ 的有限子覆蓋，令 $\delta=\min_i\|x_i-y\|/2>0$。若 $z$ 在以 $x_i$ 為中心的所選球內，三角不等式給出 $\|z-y\|>\|x_i-y\|/2\ge\delta$。所以 $B(y,\delta)$ 不與 $K$ 相交，補集是開集。

閉且有界推出緊致。 設非空的 $K$ 閉且有界，把它包含在閉立方體 $Q_0=[-M,M]^n$ 內，其中 $M>0$。假設 $K$ 的某個開覆蓋沒有有限子覆蓋。把每個坐標區間分成兩個閉半區間，所得 $2^n$ 個閉子立方體覆蓋 $Q_0$。至少一個子立方體與 $K$ 的交集不能由給定覆蓋族有限覆蓋；否則把有限多個有限子覆蓋合併，就能覆蓋 $K$。選取這樣的子立方體並重複，得到閉立方體套 $Q_j$，其邊長為 $2M/2^j$，且 $K\cap Q_j$ 不能被有限覆蓋，因而非空。

對每個坐標使用閉區間套性質，得到公共坐標值；合起來得到 $p\in\bigcap_jQ_j$。$Q_j$ 中任意兩點的距離不超過 $2M\sqrt n/2^j$，所以交集中只有 $p$。選取 $x_j\in K\cap Q_j$，則 $\|x_j-p\|\le2M\sqrt n/2^j\to0$。閉集包含這種極限：若 $p$ 在開補集中，$p$ 周圍某個開球就會使最終的 $x_j$ 落在 $K$ 外，矛盾。因此 $p\in K$。

覆蓋中有一個成員 $O$ 含 $p$，由開放性，存在 $\varepsilon>0$ 使 $B(p,\varepsilon)\subseteq O$。當 $j$ 足夠大時，$Q_j$ 的每點到 $p$ 的距離都小於 $\varepsilon$，於是單個 $O$ 就覆蓋 $K\cap Q_j$，與 $Q_j$ 的選取矛盾。因此每個開覆蓋都有有限子覆蓋。這裏 $2^n$ 是有限數；若改成無限多個子塊，這個論證就不再成立。

連續像與極值

定理。 若 $K\subseteq\mathbb R^n$ 緊致，且 $F:K\to\mathbb R^m$ 相對於 $K$ 連續，則 $F(K)$ 緊致。特別地，非空緊集 $K$ 上的連續函數 $f:K\to\mathbb R$ 有界，並達到最大值和最小值。

證明。 $F(K)$ 的開覆蓋 $(O_i)$ 的原像是相對開集 $F^{-1}(O_i)=K\cap U_i$，其中 $U_i$ 在 $\mathbb R^n$ 中開。這些 $U_i$ 覆蓋 $K$，所以有限多個足夠。對應的 $O_i$ 覆蓋 $F(K)$，證明了像的緊致性。對標量函數 $f$，由已證明定理的一維情形，其像非空、閉且有界。令 $a=\sup f(K)$。對每個 $j\ge1$，由上確界定義，可取 $y_j\in f(K)$ 使 $a-1/j<y_j\le a$。於是 $y_j\to a$，閉性使 $a$ 屬於像，所以最大值可達。對 $-f$ 使用同一論證即得最小值。該結論證明存在性，而不提供極大點的計算公式。

設 $d\ge1$ 有限，$N$ 是 $\mathbb R^d$ 上任意範數：除零向量外為正，絕對齊次，並滿足三角不等式。記標準坐標向量為 $e_j$，歐氏範數為 $\|x\|_2=(\sum_jx_j^2)^{1/2}$，令 $C=\sum_{j=1}^dN(e_j)>0$。按標準基展開，得到

反三角不等式給出 $|N(x)-N(y)|\le N(x-y)\le C\|x-y\|_2$，所以 $N$ 對歐氏距離連續。已證明的緊致性定理適用於非空歐氏單位球面，故 $N$ 在其上取得最小值 $m$；球面各點都非零，所以 $m>0$。對 $x\ne0$，將此最小值用於 $x/\|x\|_2$；連同 $x=0$，得到

若 $(x_k)$ 是 $N$-柯西序列，則每個坐標都是實柯西序列，因為 $|(x_k-x_l)_j|\le\|x_k-x_l\|_2\le N(x_k-x_l)/m$。實數完備性給出各坐標極限 $a_j$。有限個坐標差平方之和趨零，故 $\|x_k-a\|_2\to0$，再由 $N(x_k-a)\le C\|x_k-a\|_2$ 得到範數收斂。因此每個 $N$-柯西序列均在 $N$ 中收斂。零維空間只有零向量，單獨即知完備；這裏不聲稱無限維空間的完備性或範數等價。

固定 $F=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$，以及整數 $d\ge1$。記 $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$；它是 $\mathbb R^2$ 的歐氏範數，因此可用已證的實三角不等式。直接展開得 $|zw|^2=|z|^2|w|^2$，所以 $|zw|=|z||w|$。對 $A\in M_d(F)$ 定義

它恰在零矩陣處為零；模的齊次性與標量三角不等式給出範數的齊次性和三角不等式。有限矩陣乘法給出

故 $\nu(AB)\le\nu(A)\nu(B)$，且 $\nu(I)=1$。另有 $|a_{ij}|\le\nu(A)$。

對實矩陣，這是 $\mathbb R^{d^2}$ 上的實範數。對複矩陣，把全部元素的實部與虛部依次列出，將該空間作為實向量空間與 $\mathbb R^{2d^2}$ 對應。同一個 $\nu$ 是這些實坐標上的實範數，所以可用已證的有限實範數完備性定理。這是明確的實坐標化論證，沒有改變該定理的標量域。兩種情形下，每個 $\nu$-Cauchy 矩陣序列都有 $\nu$ 意義下的矩陣極限。矩陣乘法保持極限：若 $A_n\to A,B_n\to B$，由 $\nu(A_n)$ 有界及

即得結論。零維矩陣空間由其唯一映射單獨處理，不對空單位球面取極值。

絕對收斂矩陣級數及保持因子次序的 Cauchy 乘積

若 $\sum_{n\ge0}\nu(A_n)<\infty$，則 $\sum A_n$ 的有限尾和範數不超過相應標量尾和，故由完備性得到矩陣和。由 $|\nu(X)-\nu(Y)|\le\nu(X-Y)$，有限範數不等式可傳至極限。再設 $\sum\nu(B_n)<\infty$，兩矩陣和為 $A,B$，絕對和為 $\alpha,\beta$。定義有限係數

對每個 $N$，有 $\sum_{n=0}^N\nu(C_n)\le\sum_{k+j\le N}\nu(A_k)\nu(B_j)\le\alpha\beta$。非負標量部分和有界，因而收斂；$\sum C_n$ 絕對存在。為求其值，令 $A^{[m]}=\sum_{k=0}^m A_k$，並類似定義 $B^{[m]}$。當 $N\ge2m$ 時，三角形 $k+j\le N$ 包含方塊 $k,j\le m$；每個額外指標對滿足 $k>m$ 或 $j>m$，所以

右側趨零，且 $A^{[m]}B^{[m]}\to AB$。故 $\sum C_n=AB$，沒有改變矩陣因子的次序，也沒有交換未經證明的二重極限。這裏只用實數列的通常完備性與有限求和。

矩陣指數的構造、乘積及實際求導

對 $B\in M_d(F)$ 定義 $\operatorname{Exp}(B)=\sum_{n=0}^{\infty}B^n/n!$，其中 $B^0=I$。若 $B=0$，級數直接等於 $I$；否則，正項標量優級數 $\sum\nu(B)^n/n!$ 收斂：一旦 $n+1\ge2\nu(B)$，相鄰項比至多為 $1/2$，餘下尾項便有幾何尾和界。因此由上一結果得到絕對存在性。

若 $B,C$ 可交換，前述 Cauchy 乘積定理及有限二項式恆等式給出

有限二項式恆等式可歸納證明；只在使用 $BC=CB$ 時交換兩因子，並不聲稱不交換矩陣也滿足此式。特別地，對實數 $s,t$，$E_A(t)=\operatorname{Exp}(tA)$ 滿足 $E_A(t+s)=E_A(t)E_A(s)$、$E_A(0)=I$ 和 $E_A(-t)E_A(t)=I$。

現直接證明可微性。令 $q=\nu(A)$。若 $q=0$，則 $E_A=I$，所有導數結論直接成立。否則對滿足 $|h|q\le1$ 的非零實數 $h$，由 $n\ge2$ 下 $n!\ge2^{n-1}$ 得

乘積法則於是給出

故對實數 $t$，有 $E_A'(t)=E_A(t)A=AE_A(t)$；複元素的導數指關於實參數逐元素求導。與 $A$ 可交換由有限部分和及乘法連續性得到。這裏沒有預先假設某個尚未證明的極限函數滿足積分定理。

逐項求導也獲得實際驗證。在固定 $|t|\le M$ 上，多項式部分和的尾部一致地被 $\sum(Mq)^n/n!$ 控制；其導數尾部被 $q\sum_{n\ge1}(Mq)^{n-1}/(n-1)!$ 控制。兩優級數均由相同的幾何比值論證收斂，$M=0$ 單獨直接處理。因此導數部分和一致收斂到 $AE_A(t)$，恰與上面獨立證明的極限導數相同。標量複指數採用同一個一維構造：$e^z=\sum z^n/n!$；並未把僅適用實數的指數 profile 改標成複數。

唯一性所需的實零導數引理

已選的有限歐氏緊致性與極值證明，保證連續實函數在 $[a,b]$ 上取得極值。內部可微極值點的左右差商迫使導數為零。連續函數 $g$ 若兩端值相同，則或者恆定，或者有內部最大值或最小值；故內部可微時有一點導數為零，這就是 Rolle 論證。對實可微函數 $f$，減去端點割線並應用該論證，得到某個 $c\in(a,b)$ 滿足 $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。因此區間上導數為零的實函數恆定。對實參數複值函數的實部與虛部分別應用該結論，得到相同的恆定結論；這裏沒有假設複中值等式。

冪零因子、相似變換與初值解

若整數 $r\ge1$、$N^r=0$ 且 $\lambda\in F$，則 $\lambda tI$ 與 $tN$ 可交換。已證的乘積法則和終止的冪零級數給出，對實數 $t$，

這包括 $\lambda=0$，常數項仍為一。若 $P$ 可逆且 $A=PJP^{-1}$，有限次冪滿足 $A^n=PJ^nP^{-1}$；絕對極限及乘法連續性給出 $E_A(t)=PE_J(t)P^{-1}$。所以 $x(t)=E_A(t)x_0$ 可微，滿足 $x'=Ax$ 及零處初值 $x_0$。它還是包含零的任意實開區間上的唯一可微解：若 $y'=Ay$，對 $E_A(-t)y(t)$ 求導；由於 $A$ 與 $E_A(-t)$ 交換，其導數為零。由前述實零導數引理，它恆等於 $y(0)$；乘以 $E_A(t)$ 得 $y(t)=E_A(t)y(0)$。這在兩個係數域上驗證了所列 Jordan 指數公式及完整初值意義，沒有借用尚未准入的矩陣常微分方程定理。