Cayley–Hamilton 與最小多項式應用：診斷及完整練習

全章中，$V$ 是域 $F$ 上的非零有限維向量空間，且 $T\in\operatorname{End}_F(V)$。除非另有說明，不假設代數閉性。

選擇一個有序基，寫 $A=[T]$ 及 $n=\dim V$，採用首一約定 $\chi_T(t)=\det(tI-A)$。

1. 為甚麼僅憑特徵值不能證明一般定理

對有特徵向量基 $v_j$ 的可對角化算子，多項式代入滿足 $p(T)v_j=p(\lambda_j)v_j$。每個特徵值都是 $\chi_T$ 的根，因此在此情形下立即得到 $\chi_T(T)=0$。但有缺陷的算子沒有特徵向量基；只在已有特徵向量上檢驗算子，可能只檢驗了真子空間，並非在整個 $V$ 上的證明。

一般的 Cayley–Hamilton 定理即使對有缺陷的算子也提供多項式關係，因而可用於化簡高次冪、在可逆時構造逆，以及區分特徵多項式相同但結構不同的算子。

對 $p(t)=\sum_{j=0}^dc_jt^j$，定義 $p(T)=\sum c_jT^j$，其中 $T^0=I$。同一算子的各次冪可交換，所以 $(pq)(T)=p(T)q(T)$，代入是環同態 $F[t]\to\operatorname{End}(V)$。這不允許在任意矩陣系數恆等式中，用不交換的矩陣隨意替換變量。

2. 一般 Cayley–Hamilton 定理的完整證明

特徵多項式在任意基下定義為 $\chi_T(t)=\det(tI-A)$。相似變換保持它，因為 $tI-P^{-1}AP=P^{-1}(tI-A)P$。它是次數為 $n=\dim V$ 的首一多項式。標量 $\lambda\in F$ 是特徵值當且僅當 $\chi_T(\lambda)=0$，因為方陣奇異當且僅當它有非零核。

定理。 $\chi_T(T)=0$。

證明。 令 $\chi_A(t)=\sum_{k=0}^nc_kt^k$ 且 $c_n=1$。交換多項式環 $F[t]$ 上的伴隨矩陣恆等式給出

$$(tI-A)B(t)=\chi_A(t)I,\qquad B(t)=\operatorname{adj}(tI-A)=\sum_{k=0}^{n-1}B_kt^k.$$

設 $B_{-1}=B_n=0$。比較系數得到對 $0\le k\le n$，$B_{k-1}-AB_k=c_kI$。將第 $k$ 個等式左乘 $A^k$ 並求和，各項相消：

$$\sum_{k=0}^nc_kA^k=\sum_{k=0}^n\left(A^kB_{k-1}-A^{k+1}B_k\right)=0.$$

這就是 $\chi_A(A)=0$。這裡僅使用系數恆等式和結合律，沒有未經說明地對可能含不交換系數的矩陣多項式作代入。∎

3. 最小多項式與對角化判據

凱萊–哈密頓定理提供了非零零化多項式；選擇次數最小的首一零化多項式，稱為 $m_T$。多項式除法證明

$$p(T)=0\quad\Longleftrightarrow\quad m_T\mid p.$$

事實上寫 $p=qm_T+r$，其中 $\deg r<\deg m_T$。若 $p(T)=0$，則 $r(T)=0$；由最小性 $r=0$。同一論證給出唯一性，特別有 $m_T\mid\chi_T$。非零常數多項式不能零化非零空間，所以 $m_T$ 的次數為正。

標量 $\lambda\in F$ 是 $m_T$ 的根當且僅當它是特徵值。若對 $v\ne0$ 有 $Tv=\lambda v$，則 $0=m_T(T)v=m_T(\lambda)v$，故 $m_T(\lambda)=0$。反過來，若 $m_T=(t-\lambda)q$ 且 $T-\lambda I$ 可逆，則對 $0=(T-\lambda I)q(T)$ 作用其逆可得 $q(T)=0$，與最小次數矛盾。

特徵多項式記錄總代數重數；最小多項式記錄在任一向量上所需的最強多項式關係。對 $n$ 維空間上的 $\lambda I$，有 $\chi=(t-\lambda)^n$ 但 $m=t-\lambda$。對 $\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}$，有 $(T-\lambda I)^2=0$ 但 $T-\lambda I\ne0$，故 $m=(t-\lambda)^2$。

雙因式分解。 若 $f,g\in F[t]$ 互素且 $f(T)g(T)=0$，則

$$V=\ker f(T)\oplus\ker g(T).$$

證明。 多項式歐幾里得算法給出 $af+bg=1$。對任意 $v$，

$$v=a(T)f(T)v+b(T)g(T)v.$$

第一個項屬於 $\ker g(T)$，第二個屬於 $\ker f(T)$，因為多項式算子可交換且 $f(T)g(T)=0$。若 $v$ 同時屬於兩個核，相同恆等式給出 $v=0$。∎

將這一論證反覆應用於不同首一不可約因式的分解

$$m_T=p_1^{r_1}\cdots p_s^{r_s}$$

得到主分解

$$V=\bigoplus_{j=1}^s\ker p_j(T)^{r_j}.$$

每個直和項都不變。在 $m_T$ 分解為線性因式的域上，它們是廣義特徵空間。在 $\mathbb R$ 上可能保留不可約二次式，不能把它重新稱為實特徵空間。最小多項式為 $m=t^2+1$ 的實旋轉矩陣體現了這一障礙。

對角化判據。 $T$ 在 $F$ 上可對角化，當且僅當其最小多項式是 $F[t]$ 中互不相同的線性因式之積。

若因式是互不相同的線性因式，主分解給出普通特徵空間的直和，其基合併為特徵基。反過來，若一個特徵基中出現的不同特徵值為 $\lambda_1,\ldots,\lambda_s$，乘積 $\prod(t-\lambda_j)$ 零化每個基向量，所以 $m_T$ 整除這個分裂且無重複因子的多項式。每個特徵值都必須是 $m_T$ 的根，故 $m_T$ 恰好等於該乘積。僅在擴域上沒有重根，若它不在原域上分裂，仍不能推出原域上的可對角化性。

4. 冪與逆的計算

對 $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$，由 Cayley–Hamilton 得 $A^2-3A+2I=0$。其特徵值互異，故兩個投影分別為 $P_1=2I-A$ 和 $P_2=A-I$；它們滿足 $P_1+P_2=I$，並分別投影到兩個特徵空間。因此

$$A^k=P_1+2^kP_2=\begin{pmatrix}1&2^k-1\\0&2^k\end{pmatrix},\qquad k\ge0.$$

若有缺陷矩陣 $J=2I+N$ 滿足 $N^2=0$，二項式恆等式給出 $J^k=2^kI+k2^{k-1}N$（$k\ge1$）。額外因子 $k$ 反映了僅憑特徵值看不到的冪零部分。

算子可逆，當且僅當 $m_T(0)\ne0$。若常數項非零，由 Euclid 算法存在多項式 $u,v$ 滿足 $ut+vm_T=1$，故 $u(T)T=I$。反之，若 $m_T=tq$ 且 $T$ 可逆，則 $Tq(T)=0$ 蘊含 $q(T)=0$，與最小性矛盾。因此非奇異算子的逆本身是該算子的多項式。

5. 綜合分級練習

P01 — 基礎。 在任意域 $F$ 上，令 $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$，其中整數表示它們在 $F$ 中的像。計算 $\chi_A$，通過乘法驗證 Cayley–Hamilton，準確判斷何時可逆，並在可逆時用 $A$ 表示 $A^{-1}$。

P02 — 核心。 對 $\mathbb R$ 上的 $A=\operatorname{diag}(1,1,4)$，求 $m_A$ 與 $\chi_A$。

P03 — 核心。 證明 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 不可對角化，並求其 $k$ 次冪（$k\ge0$）。

P04 — 證明。 若實算子滿足 $T^2=4I$，證明它可對角化，允許某個特徵空間為零空間。

P05 — 診斷。 兩個矩陣具有相同的特徵多項式，是否必有相同的最小多項式？給出反例。

P06 — 證明。 證明 $m_T$ 在相似變換下不變。

P07 — 核心。 一個實矩陣的最小多項式為 $t^2+1$。它在 $\mathbb R$ 上可對角化嗎？在 $\mathbb C$ 上呢？

P08 — 證明。 若 $T$ 是有限維實內積空間上的自伴算子，解釋其最小多項式為何沒有重因式，並寫出所用定理。

P09 — 擴展。 假設實算子滿足 $(T-I)(T-3I)=0$，寫出到兩個特徵空間的顯式投影，並用它們求 $T^{-1}$。

P10 — 證明診斷。 有證明對每個特徵向量驗證 $\chi_T(T)v=0$ 後就斷言 $\chi_T(T)=0$。給出使該證明成立的充分假設，並指出為甚麼一般定理還需要更多論證。

6. 完整解答

P01. 在每種特徵下，$\chi_A=t^2-5t+6$，直接相乘得 $A^2=\begin{pmatrix}4&5\\0&9\end{pmatrix}=5A-6I$。由於 $\det A=6$，矩陣可逆當且僅當 $\operatorname{char}F\notin\{2,3\}$。在此情形，$A(5I-A)=(5I-A)A=6I$，故 $A^{-1}=(5I-A)/6=\begin{pmatrix}1/2&-1/6\\0&1/3\end{pmatrix}$。在特徵二或三時，行列式為零，不存在逆；不能除以六。但特徵多項式恆等式在這兩種奇異情形仍成立。

P02. 特徵多項式為 $(t-1)^2(t-4)$。最小多項式為 $(t-1)(t-4)$，因為多項式作用於該對角矩陣為零，當且僅當它在兩個不同對角值處都為零。 題目明確在 $\mathbb R$ 上，所以兩個值不同。同一個寫出的對角矩陣若改在一般域上，則要注意邊界：特徵三時 $4=1$，於是 $A=I_3$，$m_A=t-1$，$\chi_A=(t-1)^3$。這不改變原題實數域上的答案。

P03. 唯一特徵值為一，特徵空間是 $\operatorname{span}(e_1)$，所以不存在兩個向量組成的特徵向量基。令 $N=A-I$，則 $N^2=0$，故 $A^k=I+kN=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$，其中也包括 $k=0$。

P04. 最小多項式整除 $t^2-4=(t-2)(t+2)$，後者是互異實線性因式的乘積，因此可用對角化判據。最小多項式也可能只有 $t-2$ 或只有 $t+2$，對應標量算子；缺少一個特徵值並不妨礙對角化。

P05. $I_2$ 與 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 的特徵多項式均為 $(t-1)^2$，但其最小多項式分別為 $t-1$ 與 $(t-1)^2$。

P06. 若 $S=P^{-1}TP$，則對任意多項式有 $p(S)=P^{-1}p(T)P$，故使 $S$ 與 $T$ 歸零的多項式完全相同；它們唯一的首一最小次數零化多項式因此相同。

P07. 在 $\mathbb R$ 上，多項式不能分解成實線性因式，因此不可對角化；在 $\mathbb C$ 上它為 $(t-i)(t+i)$，根互異，因此矩陣可對角化。該多項式在擴域上無重根，但原域上的分裂條件仍然重要。

P08. 實對稱譜定理給出標準正交特徵向量基。在基上對不同特徵值因式之積求值，可知該乘積零化 $T$。最小多項式整除該乘積，因此沒有重因式。這個結論使用自伴性及譜定理，而不只依賴“所有特徵值都是實數”。

P09. $P_1=(3I-T)/2$ 與 $P_3=(T-I)/2$ 之和為 $I$，像分別在 $E_1,E_3$ 中。特徵空間的直和給出 $T^{-1}=P_1+\tfrac13P_3=(4I-T)/3$。將它乘以 $T$ 並使用 $T^2=4T-3I$，可直接驗證這個逆。

P10. 可對角化是充分條件：此時特徵向量中包含一組完整的基，而線性算子若在一組基上為零，就在整個空間為零。有缺陷的算子可能只由特徵向量張成真子空間。第 2 節的系數證明不要求特徵向量基，可處理所有向量。

7. 總結

一般的 Cayley–Hamilton 證明填補了只檢驗特徵向量留下的缺口。最小多項式區分最短算子關係與特徵多項式的重數；它的分裂及重因式決定可對角化性。多項式化簡統一了逆、冪和特徵空間投影，並要求明確基本域。